В статическом электромагнитном поле электрический потенциал $V$ и магнитный потенциал $\Omega$ являются гармоническими функциями. Если поле имеет ось $z$ осью сим-

метрии, эти функции могут быть разложены в степенныө ряды
\[
\left.\begin{array}{l}
V=V_{0}(z)+\frac{1}{2} R^{2} V_{1}(z)+\frac{1}{24} R^{4} V_{2}(z)+\ldots, \\
\Omega=\Omega_{0}(z)+\frac{1}{2} R^{2} \Omega_{1}(z)+\frac{1}{24} R^{4} \Omega_{2}(z)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $R^{2}=x^{2}+y^{2}$, и мы находим из уравнения Јапласа следующие соотношения:
\[
V_{0}^{\prime \prime}(z)+2 V_{1}(z)=0, \quad V_{1}^{\prime}(z)+\frac{4}{3} V_{2}(z)=0, \ldots
\]

и аналогичные уравнения для $\Omega$, так что коэффициенты в разложениях (41.1) зависят только от аксиальных потенциалов $V_{0}, \Omega_{0}$. Уравнения движения (40.1) заряженной частицы, движущейся вблизи оси $z$, могут быть рассмотрены приближенно. Из интеграла (40.3) находим $z=w$, $w^{2}=2 k\left(V_{0}-C\right)$, где $k=-e / m$ и $C=$ const, и после исключения времени получаем комплексное уравнение траектории:
\[
\left.\begin{array}{l}
\zeta+P \zeta^{\prime}+Q \zeta=0, \quad P=\frac{w^{\prime}}{w}+\frac{i k \Omega_{0}^{\prime}}{w} \\
\zeta=x+i y, \quad Q=\frac{1}{2}\left(\frac{w^{\circ}}{w}+\frac{w^{\prime 2}}{w^{2}}\right)+\frac{i k \Omega_{0}^{\prime \prime}}{2 w} .
\end{array}\right\}
\]

Штрих означает производную $\frac{d}{d z}$. Здесь $P$ и $Q-$ заданныө функции $z$. Это дифференциальное уравнение второго порядка – фундаментальное в электронной оптике; им в основном и определяется образование изображения в электронном микроскопе ${ }^{1}$ ). Чтобы исследовать аберрации, нужно привлечь приближения высших порядков ${ }^{2}$ ).