Уравнение (123.8) предполагает, что спин или внутренний момент импульса частицы, имеющей 4-импульс $M_{r}$, должен быть представлен кососимметричным тензором $H_{r s}$, удовлетворяющим условию
\[
H_{r s} M_{s}=0 .
\]
Тогда момент импульса частицы относительно какогонибудь события $a_{r}$ будет состоять из двух частей: орбитального момента импульса
\[
\left(x_{r}-a_{r}\right) M_{s}-\left(x_{s}-a_{s}\right) M_{r}
\]
и спинового момента импульса $H_{r s}$, удовлетворяющего (124.1) и не зависящего от выбора начала координат и события $a_{r}$.
Любой кососимметричный тензор может быть представлен двумя 3 -векторами, и мы можем описать спин двумя 3-векторами $H_{\rho}$ и $H_{\rho}^{*}$, где
\[
\left.\begin{array}{lll}
H_{1}=i H_{14}, & H_{2}=i H_{24}, & H_{3}=i H_{34}, \\
H_{1}^{*}=H_{23}, & H_{2}^{*}=H_{31}, & H_{3}^{*}=H_{12} .
\end{array}\right\}
\]
Множитель $i$ внесен сюда для того, чтобы получить действительный 3 -вектор, так как $H_{\rho 4}$, будучи координатами Минковского, чисто мнимые.
Четыре уравнения (124.1) дают векторное уравнение
\[
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}^{*} \times \frac{\boldsymbol{v}}{\boldsymbol{c}}
\]
(где $v$ – скорость частицы), а также следующее скалярное уравнение:
\[
\boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{v}=0,
\]
которое, конечно, является следствием уравнения (124.4). Согласно (124.4) два спиновых вектора взаимно перпендикулярны.
Если мы используем систему отсчета, покоящуюся относительно движущейся частицы, то, полагая $v=0$, получим согласно (124.4) $\boldsymbol{H}=0$ и поэтому имеем только один спин-вектор $\boldsymbol{H}^{*}$. Спиновый тензор дает возможность образовать лоренц-инвариантное выражение
\[
\Omega^{2}=\frac{1}{2} H_{r s} H_{r s}=H^{*_{2}}-H^{2} .
\]
Это выражение всегда положительно, так как выбором системы соответствующего отсчета $H$ можно сделать равным нулю, а поэтому $\Omega$ – действительное число.
Для частицы, движущейся под действием 4-силы $X$ и момента $Y_{r s}\left(=-Y_{s r}\right)$, могут быть предложены ${ }^{1}$ ) уравнения движения, которые в введенных в этой книге обозначениях имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
H_{r s} \lambda_{s} & =0, & \lambda_{r} \lambda_{r} & =-1, \\
M_{r}^{\prime} & =X_{r}, & H_{r s}^{\prime} & =M_{r} \lambda_{s}-M_{s} \lambda_{r}+Y_{r s} ;
\end{array}\right\}
\]
здесь $\lambda_{r}$ – 4-скорость, а штрих означает $d / d s$, взятую вдоль мировой линии. Масса частицы определяется как $m=-M_{r} \lambda_{r}$; приведенные уравнения заключают в себе
\[
M_{r}=m \lambda_{r}+H_{r s} \lambda_{s}^{\prime}+Y_{r s} \lambda_{s} .
\]
Если $X_{r}=0$ и $Y_{r s}=0$, то $M_{r}$ – постоянный 4-вектор, а орбита есть окружность в той системе отсчета, для которой $M_{1}=M_{2}=M_{3}=0$.
