Пусть частицы массы $m$ закреплены через равные интервалы на бесконечной прямой струне (массой которой можно пренебречь). :Если частицы испытывают малые поперечные колебания, то перемещения $y_{p}(t)$ удовлетворяют уравнениям
\[
\ddot{y}_{p}=a^{2}\left(y_{p+1}-2 y_{p}+y_{p-1}\right) \quad(p=0, \pm 1, \pm 2, \ldots),
\]

где $a^{2}=S /(m d), S$ – натяжение, $d-$ расстояние между частицами.

Если заданы следующие начальные условия:
\[
y_{p}=\alpha_{p}, \quad \dot{y}=\beta_{p} \quad \text { при } \quad t=0,
\]

то решение уравнений (54.1) имеет вид
\[
y_{p}=\sum_{l=-\infty}^{\infty}\left[\alpha_{p+l} J_{2 l}(2 a t)+\beta_{p+l} \int_{0}^{t} J_{2 l}(2 a \tau) d \tau\right] \text {, }
\]

где $J_{2 l}$ – бесселева функция порядка $2 l$. Легко упростить это выражение, используя рекуррентные формулы для функции Бесселя ${ }^{1}$ ).

Выше приведен простейший пример колебания репетки, которая может в общем случае рассматриваться как бы состоящей из частиц различных масс, и может быть двумерной или трехмерной (кристаллическая решетка трехмерного тела). Пространственная периодичность системы является ее существенной чертой ${ }^{2}$ ).

Для струны конечной длины с закрепленными концами, несущей $n$ частиц равной массы, прикрепленных к ней через равные промежутки, имеем уравнения движения вида (54.1), однако в этом случае имеются граничные условия в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
y_{p} & =a^{2}\left(y_{p+1}-2 y_{p}+y_{p-1}\right) \quad(p=1, \ldots, n), \\
y_{0} & =y_{n+1}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы решить эти уравнения, подставляем в них
\[
y_{p}=\eta_{p} \cos (\omega t+\varepsilon) \quad(p=0,1, \ldots, n+1),
\]

где $\eta_{p}$, и и $\varepsilon$ – константы; тогда уравнения (54.4) превращаются в следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
a^{2} \eta_{p+1}+\left(\omega^{2}-2 a^{2}\right) \eta_{p}+a^{2} \eta_{p-1} & =0 \quad(p=1, \ldots, n), \\
\eta_{0}=\eta_{n+1} & =0
\end{array}\right\}
\]

Эта система уравнений удовлетворяется величинами
\[
\eta_{p}=\operatorname{Re} z_{p} \quad(p=0,1, \ldots, n+1),
\]

если комплексная переменная $z$ удовлетворяет уравнениям
\[
\left.\begin{array}{rl}
a^{2} z_{p+1}+\left(\omega^{2}-2 a^{2}\right) z_{p}-a^{2} z_{p-1} & =0 \quad(p=1, \ldots, n), \\
\operatorname{Re} z_{0}=\operatorname{Re} z_{n+1} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Возьмем $z_{0}=-i \beta$ чисто мнимым и напишем
\[
\begin{array}{c}
z_{p}=-i \beta e^{i p \varphi} \\
(p=0,1, \ldots, n+1) .(54.9)
\end{array}
\]

Тогда все уравнения (54.8) удовлетворяются при условии, что выполняются только два уравнения, а именно:
\[
\left.\begin{array}{c}
a^{2} e^{i \varphi}+\left(\omega^{2}-2 a^{2}\right)+ \\
+a^{2} e^{-i \varphi}=0, \\
\operatorname{Re} i \beta e^{i(n+1) \varphi}=0 .
\end{array}\right\}
\]
$\operatorname{Re} i \beta e^{i(n+1) \varphi}=0$.
Второе уравнение выполняется, еслй $\varphi$ принимает одно из следующих значений:
\[
\varphi_{r}=\frac{r \pi}{n+1} \cdot(r=1, \ldots, n),
\]

первое же из уравнений (54.10) удовлетворяется, если при

$\varphi=\varphi_{r}$ постоянная $\omega$ имеет значение
\[
\omega_{r}=2 a \sin \overline{2} \varphi_{r} \quad(r=1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, нормальными частотами (или собственными частотами) нагруженной струны с закрешленными концами будут:
\[
v_{r}=\frac{\omega_{r}}{2 \pi}=\frac{a}{\pi} \sin \frac{r \pi}{2(n+1)} \quad(r=1, \ldots, n)
\]

и общее колебание дается наложением нормальных мод
\[
\begin{array}{c}
y_{p}=-\operatorname{Re} \sum_{r=1}^{n} i \beta \exp \left(i p \varphi_{r}\right) \cos \left(\omega_{r} t+\varepsilon_{r}\right)= \\
=\sum_{r=1}^{n} \beta_{r} \sin \frac{p r \pi}{n+1} \cos \left(2 a t \sin \frac{r \pi}{2(n+1)}+\varepsilon_{r}\right) \\
\quad(p=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Комплексные амплитуды $z_{p}$ (54.9) можно представить с помощью круговой диаграммы в комплексной плоскости, как на рис. 20.