Как простую иллюстрацию топологической ситуации, часто встречающейся в более сложной форме, рассмотрим частицу, движущуюся

по окружности, уравнение которой –
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=a^{2},
\]

где ( $\xi, \eta$ ) – прямоугольные декартовы координаты, и $a=$ const. Пространство конфигураций $Q$ есть в данном случае сама окружность и мы можем задать обобщенную координату $q$, написав
\[
\xi=a \cos q, \quad \eta=a \sin q, \quad-\infty<q<+\infty .
\]

Тогда любое значение $q$ определяет конфигурацию (точку пространства $Q$ ), но любой конфигурации (или точке пространства $Q$ ) соответствует бесконечное множество значений $q$ (отличающихся друг от друга на $2 \pi$ ). Мы
Рис. 29. Пространство изображений $Q^{\prime}$. Бесконечное множество конгруэнтных точек, циклическая координата $q$ которых отличается на кратное $2 \pi$, соответствует одной-единственной конгруэции или точке пространства $Q$.

можем тогда говорить о пространстве изображений (скажем, $Q^{\prime}$ ), которое есть бесконечная прямая с отложенными на ней через $2 \pi$ значениями $q$ (рис. 29). Однако мы всегда должны помнить, что соответствие между конфигурациями и точками пространства не взаимно однозначное. Можно назвать $q$ циклической ${ }^{1}$ ) координатой, а приращение ее, которое приводит к той же самой конфигурации, ее циклической постоянной (в нашем случае это 2л). Множество точек в пространстве $Q^{\prime}$, полученное прибавлением к циклической координате любого числа, кратного циклической постоянной, можно назвать множеством конгруэнтных точек.

Это многозначное представление вызывает возражения, но оно практично и потому широко применяется. Можно получить взаимно однозначное соответствие между конфигурациями и значениями $q$, приняв вместо определения (63.2) следующее:
\[
\begin{array}{c}
\xi=a \cos q, \quad \eta=a \sin q, \\
0 \leqslant q<2 \pi . \quad(63.3)
\end{array}
\]

Однако теперь соответствие разрывное, так как, придав частице малое смещение от конфигурации $q=0$ в сторону уменьшения $q$, мы получаем значение $q$, отличающееся от исходного сразу на $2 \pi$.

Такие разрывные представления вызывают еще большие возражения, чем многозначные представления; мы возвращаемся поэтому к знакомому топологическому плану. Он включает использование двух координатных систем, частично перекрывающихся. Мы задаем координаты $q, q^{\prime}$ следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=a \cos q, \quad \eta=a \sin q, \quad-\alpha \leqslant q \leqslant \pi+\alpha, \\
\xi=a \cos q^{\prime}, \quad \eta=-a \sin q^{\prime}, \quad 0 \leqslant q^{\prime} \leqslant \pi .
\end{array}\right\}
\]

На рис. 30 на дуге $E A D B F$ определена переменная $q$, а на дуге $A E C F B-q^{\prime}$. Очевидно, перекрываются дуги $A E$ и $B F$. В пересечении $A E$ и $B F$ мы задаем преобразования
\[
\text { AE } q=-q^{\prime}, \quad B F: q-\pi=\pi-q^{\prime} .
\]

Рассматривая частицу, которая движется по окружности против часовой стрелки, начпная от точки $A$, мы применяем координату $q$ до тех пор, пока точка не достигает $B F$. Здесь мы переходим к координате $q^{\prime}$ и пользуемся ею, пока не достигнем $A E$, где снова переходим к координате $q$. Таким образом, вне пересечения областей мы

имеем непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками $Q$ и значениями соответствующих координат ( $q$ или $q^{\prime}$ ); в каждой же области пересечения мы можем выбирать между двумя координатами, и когда мы оставляем это пересечение, то переходим в некоторую область с соответствующей ей координатой. Хотя это и более грубое представление, чем то, которое имеется при использовании циклической координаты, однако во многих отношениях это наиболее удовлетворительный метод.

В обычной динамике мы начинаем рассмотрение с физической системы, которую мы могли бы, если нужно, построить в сфере нашего опыта. Тогда на топологические вопросы относительно пространства конфигураций $Q$ можно было бы ответить, апеллируя к нашей интуиции об обычном пространстве. Однако такая интуиция непригодна, когда мы начинаем развивать общую динамическую теорию; эта теория должна быть построена на математическом основании; если наща интуиция правильна и полезна, мы смогли бы избегать чисто формальных аргументов.

Недостаточно сказать, что мы будем обсуждать динамическую систему с обобщенными координатами $q_{\rho}$ и лагранжевой функцией $L(q, t, \dot{q})$. Должна быть задана топология пространства $Q$. Для этого имеются четыре способа.
1. Можно сказать, что каждая из координат $q_{\rho}$ изменяется в границах $-\infty,+\infty$ с непрерывным взаимно однозначным соответствием между конфигурациями (или точками пространства $Q$ ) и множеством значений $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots\right)$. Это простейший случай (евклидова топология). Мы не должны, однако, применять обязательно только эти координаты; мы можем перейти к другим, при условии, что в рассматриваемой области пространства $Q$ преобразование гладкое и его якобиан отличен от нуля.
2. Можно рассматривать пространство $Q$, как погруженное в евклидово пространство более высокой размерности. Тогда топология пространства $Q$ заключена в уравнениях, которые определяют $Q$ как подпространство.
3. Можно слегка изменить случай 1 , добавив циклические координаты, и заменив, таким образом, $Q$ пространством $Q^{\prime}$. Точка пространства $Q$ соответствует множеству (вообще говоря, бесконечному) конгруэнтных точек в пространстве $Q^{\prime}$.
4. Можно ввести не одну координатную систему, а несколько с частично перекрывающимися областями и с такими преобразованиями координат в этих пересечениях, уравнения которых не имеют сингулярных точек ${ }^{1}$ ). Нам понадобятся следующие топологические термины: Контур – это замкнутая кривая в пространстве изображений. Это – приводимый контур, если непрерывным преобразованием пространства его можно стянуть в одну точку; в противном случае он неприводим. Два контура называются совместимыми, если непрерывным преобразованием можно преобразовать один в другой; если этого нельзя сделать, они называютея несовместимыми.

Все приводимые контуры совместимы. Два неприводимых контура могут быть либо совместимы, либо нет. Если они несовместимы, они называются независимыми. Пространство, обладающее несовместимыми контурами, есть многосвязное пространство, если же пространство не имеет таких контуров, то это односвязное пространство. Пространство – двухсвязное ${ }^{2}$ ), если имеется один независимый неприводимый контур; оно трехсвязное, если имеется два таких контура и т. д.

Поверхность сферы односвязна ${ }^{3}$ ); внешняя область круга или поверхность цилиндра – двусвязна; поверхность тора трехсвязна.

Если для цилиндра мы введем азимутальный угол $\varphi$ как циклическую координату и отложим $z$ вдоль обра-

зующей, то стягиваемым в точку контуром будет контур вида $\Gamma$ на рис. 31 ; нестягиваемым будет контур вида $\Gamma^{\prime 1}$ ).

Движение по контуру, который можно стянуть в точку, называется либрацией, движение по неприводимому контуру называется вращением.

Конфигурационное пространство для твердого тела, движущегося в обычном пространстве, пестимерное. Пусть $(\xi, \eta, \zeta)$ – прямоугольные декартовы координаты опорной точки, выбранной в теле. Конфигурационное пространство свободного тела есть произведение двух трехмерных пространств. В первом из них координатами являются ( $\xi, \eta, \zeta)$ и оно имеет топологию евклидова пространства. Точка во втором пространстве соответствует конфигурации твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Это

Рис. 31. Пространство $Q^{\prime}$ для частицы, движущейся по цилиндру (ф-циклическая координата); Гприводимый контур, а $\Gamma^{\prime}-$ неприводимый.

второе пространство есть пространство вращений. Обычный путь рассмотрения пространства вращений в динамике это – ввести углы Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$ (§11), рассматривая $\varphi$ и $\psi$ как циклические координаты, так что имеем пространство $Q^{\prime}$, в котором конгруэнтные точки в углах бесконечного ряда кубов со сторонами $2 \pi$ соответствуют одной и той же конфигурации (если рассматривать при этом $\varphi$ и $\psi$ как прямоугольные декартовы координаты).

Конфигурации, для которых $\vartheta=0$ и $\vartheta=\pi$, исключаются из этого представления.

Имеется другой путь для рассмотрения пространства вращений. Согласно § 10 точки этого пространства нахо-

дятся в непрерывном взаимно однозначном соответствии с парами диаметрально противоположных точек на гиперсфере в четырехмерном евклидовом пространстве; гиперсфера имеет следующее уравнение:
\[
\lambda^{2}+\mu^{2}+
u^{2}+\varrho^{2}=1 .
\]

Таким образом, топология пространства $Q$ для твердого тела, одна точка которого закреплена, такова же, как топология гиперсферы эллиптического типа, диаметрально противоположные точки которой «отождествлены» одна с другой (конгруэнтные точки). Это пространство двухсвязное; неприводимый контур соответствует полному вращению тела вокруг какой-нибудь оси.

Кратко изложить динамику, с должным углублением в топологию, практически невозможно; сделанные выше замечания имеют целью только ввести читателя в круг связанных с этой проблемой вопросов ${ }^{1}$ ).

До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений («динамика в малом»), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad hoc в частных случаях. Они могут быть оставлены без внимания до тех пор, пока мы не перейдем к рассмотрению переменных действие – угол ( $\S 98,99$ ).