При произвольном преобразовании $(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ канонические уравнения (86.6) примут вид
\[
\frac{d x_{r}^{\prime}}{d w}=X_{r}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right), \quad \frac{d y_{r}^{\prime}}{d w}=Y_{r}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) .
\]

Эти новые уравнения будут иметь каноническую форму только в том случае, если правые части уравнений удовлетворяют условиям ${ }^{1}$ )
\[
\frac{\partial X_{r}}{\partial y_{s}^{\prime}}=\frac{\partial X_{s}^{\prime}}{\partial y_{r}^{\prime}}, \quad \frac{\partial Y_{r}}{\partial x_{s}^{\prime}}=\frac{\partial Y_{s}}{\partial x_{r}^{\prime}}, \cdot \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}^{\prime}}+\frac{\partial Y_{r}}{\partial y_{r}^{\prime}}=0 .
\]

Для некоторых целей необходимо допускать общие преобразования, но особенное значение имеют канонические преобразования $\left.{ }^{2}\right)(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, которые сохраняют кано-

ническую форму уравнений лучей или траекторий, т. е. те преобразования, которые переводят уравнения
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}
\]

в уравнения
\[
\frac{d x_{r}^{\prime}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d y_{r}^{\prime}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}^{\prime}} .
\]

Понятно, что при каноническом преобразовании (которое мы ради краткости будем обозначать КП) специальный параметр $w$ должен оставаться неизменным, а функция энергии $\Omega$ должна рассматриваться как инвариант в смысле тензорного исчисления $\left[\Omega(x, y)=\Omega^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right]$. Мы рассматриваем только несингулярные (обратимые) преобразования.
Напишем уравнения
\[
z=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right), \quad \delta z=\left(\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y
\end{array}\right), \quad z^{\prime}=\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right), \quad \delta z^{\prime}=\left(\begin{array}{l}
\delta x^{\prime} \\
\delta y^{\prime}
\end{array}\right),
\]

где все правые части представляют собой $(2 N+2) \times 1$-матрицы. Тогда любое несингулярное преобразование дает соотношения в дифференциальной форме,
\[
\delta z=\boldsymbol{J} \delta \boldsymbol{z}^{\prime}, \quad \delta \boldsymbol{z}^{\prime}=\boldsymbol{J}^{-1} \delta \boldsymbol{z},
\]

где $\boldsymbol{J}$ – матрица Якоби порядка $(2 N+2) \times(2 N+2)$ :
\[
\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial x_{r}}{\partial x_{m}^{\prime}} & \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{n}^{\prime}} \\
\frac{\partial y_{s}}{\partial x_{m}^{\prime}} & \frac{\partial y_{s}}{\partial y_{n}^{\prime}}
\end{array}\right), \quad \operatorname{de} t \boldsymbol{J}
eq 0 .
\]

Имеем затем
\[
\boldsymbol{W}=\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x} \\
\frac{\partial \Omega}{\partial y}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{W}^{\prime}=\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x^{\prime}} \\
\frac{\partial \Omega}{\partial y^{\prime}}
\end{array}\right)
\]

и вводим знак «тильда» для обозначения транспонирования, которое преобразует одностолбцовую матрицу в матрицу из одной строки. Из существования инварианта
\[
\widetilde{\boldsymbol{W}} \delta z=\delta \Omega=\tilde{\boldsymbol{W}}^{\prime} \delta z^{\prime}
\]

или каким-нибудь другим способом, легко заключить, что $W$ преобразуется согласно закону
\[
\boldsymbol{W}^{\prime}=\widetilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{W}, \quad \boldsymbol{W}=\widetilde{\boldsymbol{J}}^{-1} \boldsymbol{W}^{\prime} .
\]

Введем теперь кососимметричную $(2 N+2) \times(2 N+2)$ числовую матрицу $\Gamma$, которая действительно является ключом к алгебре КП:
\[
\Gamma=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right)
\]

где 1 поставлена вместо $(N+1) \times(N+1)$ единичной матрицы. Заметим, что
$\widetilde{\boldsymbol{\Gamma}}=-\boldsymbol{\Gamma}, \quad \operatorname{det} \boldsymbol{\Gamma}=1, \quad \boldsymbol{\Gamma}^{2}=-\mathbf{1}_{(2 N+2)}, \quad \boldsymbol{\Gamma}^{-\mathbf{1}}=-\boldsymbol{\Gamma}$. (87.12)
В этих обозначениях канонические уравнения (87.3) имеют вид
\[
d z=d w \cdot \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{W} .
\]

Имеем затем согласно (87.6) и (87.10) следующее соотношение:
\[
d z-d w \cdot \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{W}=\boldsymbol{J}\left(d z^{\prime}-d w \cdot \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{\Gamma} \tilde{\boldsymbol{J}}^{-1} \boldsymbol{W}^{\prime}\right),
\]

и ясно, что условие
\[
\boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{\Gamma} \tilde{J}^{-1}=\Gamma
\]

является необходимым и достаточным ограничением, наложенным на $\boldsymbol{J}$ для того, чтобы преобразование с матрицей Якоби, равной J, было бы каноническим. Это условие можно записать в эквивалентной форме ${ }^{1}$ ):
\[
\boldsymbol{J} \boldsymbol{\Gamma}=\boldsymbol{\Gamma}, \quad \widetilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{J}=\boldsymbol{\Gamma} .
\]

Из (87.16) следует, что $\operatorname{det} \boldsymbol{J}= \pm 1$; позднее, в (88.29), мы докажем, что $\operatorname{det} \boldsymbol{J}=1$.

Пусть $\delta_{1} z$ и $\delta_{2} z$ – произвольные независимые вариации; тогда
$\delta_{1} \tilde{z} \cdot \Gamma \cdot \delta_{2} z=\left(\begin{array}{ll}\delta_{1} x, & \delta_{2} y\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}\delta_{2} x \\ \delta_{2} y\end{array}\right)=\delta_{1} x_{r} \delta_{2} y_{r}-\delta_{2} x_{r} \delta_{1} y_{r}$

являются билинейной формой. Применяя КПІ (87.6), получаем
\[
\delta_{1} \tilde{z} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \delta_{2} z=\delta_{1} z^{\prime} \cdot \tilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{J} \cdot \delta_{2} \boldsymbol{z}^{\prime}=\delta_{1} \tilde{z}^{\prime} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \delta_{2} \boldsymbol{z}^{\prime},
\]

и, следовательно, КП имеет билинейный инвариант
\[
\delta_{1} x_{r} \delta_{2} y_{r}-\delta_{2} x_{r} \delta_{1} y_{r}=\delta_{1} x_{r}^{\prime} \delta_{2} y_{r}^{\prime}-\delta_{2} x_{r}^{\prime} \delta_{1} y_{r}^{\prime} .
\]

Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные формы ( $\left.d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)$ и $\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}-d \iota^{2}\right)$ могут считаться соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и лоренц-преобразований в пространстве времени. Так же как эти квадратичные формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная форма определяет инвариантный элемент площади
\[
\{u, v\} d u d v=\{u, v\}^{\prime} d u d v
\]

в 2-пространстве с уравнениями $x_{r}=x_{r}(u, v), y_{r}=$ $=y_{r}(u, v)$, погруженном в QTPH; здесь $\{u, v\}$ и $\{u, v\}^{\prime}-$ скобки Лагранжа (см. § 89):
\[
\left.\begin{array}{c}
\{u, v\}=\frac{\partial x_{r}}{\partial u} \frac{\partial y_{r}}{\partial v}-\frac{\partial x_{r}}{\partial v} \frac{\partial y_{r}}{\partial u}, \\
\{u, v\}^{\prime}=\frac{\partial x_{r}^{\prime}}{\partial u} \frac{\partial y_{r}^{\prime}}{\partial v}-\frac{\partial x_{r}^{\prime}}{\partial v} \frac{\partial y_{r}^{\prime}}{\partial u} .
\end{array}\right\}
\]

Канонические преобразования образуют группу, ибо они содержат тождественное преобразование и каждому

КП $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ соответствует единственное обратное $\mathrm{K} \Pi\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \rightarrow(x, y)$, а из (87.16) или из билинейного инварианта следует, что последовательное применение двух КП есть также КП.