В предыдущих параграфах область, заполненная когерентной системой лучей, была
подпространством $R$ пространства $Q T$, или, может быть, самим пространством $Q T$. Предположим теперь, что лучи заполняют $Q T$ или часть его, так что они образуют конгруэнцию. Попытаемся определить волны при соответствующих начальных данных. Мы хотим, таким образом, ра решить дифференциальное уравнение в частных производных для функции $U$
\[
\Omega(x, y)=0, \quad y_{r}=\frac{\partial U}{\partial x_{r}},
\]
с начальными условиями $U=U_{0}$ в подпространстве $\Sigma_{M}$ пространства $Q T$ (вообще говоря, $U_{0}$, конечно, не постоянная); размерность $M$ может быть любым числом от нуля (одна точка) до $N^{1}$ ). Волны будут тогда иметь уравнения $U=$ const, a $U$ будет одноточечной характеристической функцией когерентной системы лучей или траекторий, удовлетворяющих указанным начальным условиям.
Это так называемый метод характеристических кривых, которые в каждый данный момент являются лучами или траекториями. Пишем обыкновенные дифференциальные уравнения
\[
\frac{d x_{1}}{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{1}}}=\ldots=\frac{d x_{N+1}}{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}}=\frac{d y_{1}}{-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{1}}}=\ldots=\frac{d y_{N+1}}{-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{N+1}}},
\]
или эквивалентную им систему, вводя параметр $w$,
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]
Эти уравнения определяют единственное решение
\[
x_{r}=x_{r}(w), \quad y_{r}=y_{r}(w),
\]
лли заданы значения $x_{r}$ и $y_{r}$ при $w=0$.
Пусть $B^{*}$ с координатами $x_{r}^{*}$ – произвольная точка на $\Sigma_{M}$. (рис. 37) и пусть $y_{\text {: }}^{*}$ выбраны так, что они удовлетворяют уравнению
\[
\Omega\left(x^{*}, y^{*}\right)=0,
\]
a также
\[
y_{r}^{*} \delta x_{r}^{*}=\delta U_{0}
\]
для каждого бесконечно малого перемещения на $\Sigma_{M}$. Невозможно рассмотреть все относящиеся сюда случаи. Условия (76.5) и (76.6) могут оказаться несовместимыми; в этом случае не существует репения уравнения (76.1), удовлетворяющего начальным условиям. И даже если эти условия совместимы, могут возникнуть некоторые случаи вырождения. В следующем, общем рассуждении мы предполагаем, что уравнения (76.5) и (76.6) содержат $M+1$ условие и поэтому величины $y_{r}^{*}$ имеют $N-M$ степеней свободы. Пусть $x_{r}^{*}$ и $y_{r}^{*}$ будут начальными
Рис. 37. Волны в QT, полученшые из начальных данных с помощью метода характеристических кривых. значениями для системы (76.3). Из первых уравнений (76.3) следует, что эти значения определяют направление в пространстве $Q T$. Существует $\propto^{N-M}$ таких направлений в каждой точке $\Sigma_{M}$ и существуют $\infty^{M}$ точек в $\Sigma_{M}$. Это означает, что мы получаем конгруэнцию кривых (лучей или траекторий), заполняющих пространство $Q T$.
Пусть $B$ – произвольная точка пространства $Q T$ с координатами $x_{i}$. Через точку $B$ проходит кривая $\Gamma$, принадлежащая описанной выше конгруэндии; пусть $\Gamma$ пересекает $\Sigma_{M}$ в точке $B^{*}$ с координатами $x_{i}^{*}$. Определим
затем $U(x)$ следующим образом:
\[
U(x)=U\left(x^{*}\right)+\int_{B^{*}}^{B} y_{r} d x_{r},
\]
где слагаемое $U\left(x^{*}\right)$ имеет заданное значение $U_{0}$ и интеграл берется по кривой $\Gamma$. Варьируя $B$ и, следовательно, $B^{*}$, мы получаем
\[
\begin{aligned}
\delta U(x)=\delta U\left(x^{*}\right)+y_{r} \delta x_{r}- & y_{r}^{*} \delta x_{r}^{*}+ \\
& +\int\left(\delta y_{r} d x_{r}-\delta x_{r} d y_{r}\right) .
\end{aligned}
\]
Теперь уравнения (76.3) заключают в себе уравнение $d \Omega / d w=0$ и поэтому, принимая во внимание (76.5), найдем
\[
\Omega(x, y)=0 .
\]
Отсюда $\delta \Omega=0$ и интеграл в выражении (76.8) обрацается в нуль. Так как, кроме того, имеет место условие (76.6), то уравнение (76.8) сводится к следующему:
\[
\delta U(x)=y_{r} \delta x_{r} .
\]
Поэтому справедливы уравнения
\[
y_{r}=\frac{\partial U}{\partial x_{r}} .
\]
Итак, согласно (76.9), $U$ удовлетворяет уравнению в частных производных (76.1), а согласно (76.7) $U$ удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, искомое решение найдено.
Чтобы вернуться к результатам, полученным в § 72 , нет необходимости находить формулы для $U(x)$ или находить схему, которая определяет эту величину и указывает условия, при которых она может не существовать.
