В предыдущих параграфах область, заполненная когерентной системой лучей, была

подпространством $R$ пространства $QT$, или, может быть, самим пространством $QT$. Предположим теперь, что лучи заполняют $QT$ или часть его, так что они образуют конгруэнцию. Попытаемся определить волны при соответствующих начальных данных. Мы хотим, таким образом, ра решить дифференциальное уравнение в частных производных для функции $U$
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=0,y_r=\frac{\partial U}{\partial x_r},$$

с начальными условиями $U=U_0$ в подпространстве ${\mathrm{\Sigma }}_M$ пространства $QT$ (вообще говоря, $U_0$, конечно, не постоянная); размерность $M$ может быть любым числом от нуля (одна точка) до $N^1$ ). Волны будут тогда иметь уравнения $U=$ const, a $U$ будет одноточечной характеристической функцией когерентной системы лучей или траекторий, удовлетворяющих указанным начальным условиям.

Это так называемый метод характеристических кривых, которые в каждый данный момент являются лучами или траекториями. Пишем обыкновенные дифференциальные уравнения
$$\frac{d{x}_1}{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_1}}=\dots =\frac{d{x}_{N+1}}{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{N+1}}}=\frac{d{y}_1}{-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_1}}=\dots =\frac{d{y}_{N+1}}{-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{N+1}}},$$

или эквивалентную им систему, вводя параметр $w$,
$$\frac{d{x}_r}{dw}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r},\frac{d{y}_r}{dw}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}.$$

Эти уравнения определяют единственное решение
$$x_r=x_r(w),y_r=y_r(w),$$

лли заданы значения $x_r$ и $y_r$ при $w=0$.

Пусть $B^{\ast }$ с координатами $x_r^{\ast }$ — произвольная точка на ${\mathrm{\Sigma }}_M$. (рис. 37) и пусть $y_{\text{: }}^{\ast }$ выбраны так, что они удовлетворяют уравнению
$$\mathrm{\Omega }(x^{\ast },y^{\ast })=0,$$
a также
$$y_r^{\ast }\delta x_r^{\ast }=\delta U_0$$

для каждого бесконечно малого перемещения на ${\mathrm{\Sigma }}_M$. Невозможно рассмотреть все относящиеся сюда случаи. Условия (76.5) и (76.6) могут оказаться несовместимыми; в этом случае не существует репения уравнения (76.1), удовлетворяющего начальным условиям. И даже если эти условия совместимы, могут возникнуть некоторые случаи вырождения. В следующем, общем рассуждении мы предполагаем, что уравнения (76.5) и (76.6) содержат $M+1$ условие и поэтому величины $y_r^{\ast }$ имеют $N-M$ степеней свободы. Пусть $x_r^{\ast }$ и $y_r^{\ast }$ будут начальными
Рис. 37. Волны в QT, полученшые из начальных данных с помощью метода характеристических кривых. значениями для системы (76.3). Из первых уравнений (76.3) следует, что эти значения определяют направление в пространстве $QT$. Существует ${\propto }^{N-M}$ таких направлений в каждой точке ${\mathrm{\Sigma }}_M$ и существуют ${\mathrm{\infty }}^M$ точек в ${\mathrm{\Sigma }}_M$. Это означает, что мы получаем конгруэнцию кривых (лучей или траекторий), заполняющих пространство $QT$.

Пусть $B$ — произвольная точка пространства $QT$ с координатами $x_i$. Через точку $B$ проходит кривая $\mathrm{\Gamma }$, принадлежащая описанной выше конгруэндии; пусть $\mathrm{\Gamma }$ пересекает ${\mathrm{\Sigma }}_M$ в точке $B^{\ast }$ с координатами $x_i^{\ast }$. Определим

затем $U(x)$ следующим образом:
$$U(x)=U\left(x^{\ast }\right)+{\int }_{B^{\ast }}^B{y}_{r}d{x}_r,$$

где слагаемое $U\left(x^{\ast }\right)$ имеет заданное значение $U_0$ и интеграл берется по кривой $\mathrm{\Gamma }$. Варьируя $B$ и, следовательно, $B^{\ast }$, мы получаем
$$\begin{array}{rl}\delta U(x)=\delta U\left(x^{\ast }\right)+y_r\delta x_r-& y_r^{\ast }\delta x_r^{\ast }+\\ & +\int (\delta y_{r}d{x}_r-\delta x_{r}d{y}_r).\end{array}$$

Теперь уравнения (76.3) заключают в себе уравнение $d\mathrm{\Omega }/dw=0$ и поэтому, принимая во внимание (76.5), найдем
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=0.$$

Отсюда $\delta \mathrm{\Omega }=0$ и интеграл в выражении (76.8) обрацается в нуль. Так как, кроме того, имеет место условие (76.6), то уравнение (76.8) сводится к следующему:
$$\delta U(x)=y_r\delta x_r.$$

Поэтому справедливы уравнения
$$y_r=\frac{\partial U}{\partial x_r}.$$

Итак, согласно (76.9), $U$ удовлетворяет уравнению в частных производных (76.1), а согласно (76.7) $U$ удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, искомое решение найдено.

Чтобы вернуться к результатам, полученным в § 72 , нет необходимости находить формулы для $U(x)$ или находить схему, которая определяет эту величину и указывает условия, при которых она может не существовать.