Упорядоченный ортогональный триәдр ( $\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}$ ) может иметь две ориентации правую или левую. В некоторой точке земной поверхности мы получим правый триәдр, если выберем вектор $I$ горизонтальным и направленным на восток, $\boldsymbol{J}$ — горизонтальным и направленным на север и $\boldsymbol{K}$ — направленным вверх.

В этом параграфе (если только не оговорено противное) все триэдры векторов, включая и системы координат, будут правыми, как это и принято обычно.

Положительное направление вращения вокруг оси $\boldsymbol{K}$ — это направление вращения на $90^{\circ}$, в результате которого вектор $I$ совмещается с вектором $\boldsymbol{J}$.

Какое-нибудь вращение вокруг оси, совпадающей по направлению с единичным вектором $U$, можно описать символом $[U, \chi]$, где $\chi$ — угол вращения, положительный в указанном выше смысле. Однако соответствие между вращениями и такими представлениями многозначно.

Если $\boldsymbol{R}$ обозначает вращение вокруг $\boldsymbol{U}$, мы можем нап исать в символической форме:
\[
\boldsymbol{R}=[\boldsymbol{U}, \chi+2 n \pi]=[-U,-\chi+2 n \pi],
\]

где $n$ — произвольное целое число.
Мы уменьшим многозначность такого соответствия, введя вектор $V$ и скаляр е следующим образом:
\[
\boldsymbol{V}=\boldsymbol{U} \sin \frac{1}{2} \chi, \quad \varrho=\cos \frac{1}{2} \chi .
\]

Пусть компоненты вектора $V$ по каким-нибудь осям равны $(\lambda, \mu, v)$. Тогда из (10.2) следует уравнение
\[
\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=1 .
\]

Легко видеть, что любая совокупность значений $(\lambda, \mu, v)$, удовлетворяющая условию (10.3), определяет единственное вращение, но что данному вращению соответствуют две системы значений этих величин. Итак, мы можем написать в символической форме:
\[
\boldsymbol{R}=\{\lambda, \mu,
u, \varrho\}=\{-\lambda,-\mu,-
u,-\varrho\} .
\]

Величины ( $\lambda, \mu, v, \varrho$ ) называются параметрами Эйлера¹). Они удобны для описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак, можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации $C_{0}$ к конечной конфигурации $C$ с помощью некоторого определенного вращения $\boldsymbol{R} ; \boldsymbol{R}$ определяется параметрами ( $\lambda, \mu,
u, \varrho)$. Будем считать ( $\lambda, \mu, v, \varrho)$ прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись (10.4), мы можем высказать следующие утверждения:
(I) Точка на гиперсфере (10.3) определяет конечную конфигурацию тела.

(II) Конечная конфигурация тела определяет пару диаметрально противоположных точек на гиперсфере (10.3).

(III) Существует непрерывное взаимное однозначное соответствие между конечными конфигурациями тела и прямыми линиями пространства четырех измерений, проходящими через начало координат.

Так как $(\lambda, \mu,
u, \varrho)$ определяют вращение вокруг неподвижной точки, то матрицу $\boldsymbol{M}$ из $§ 9$ можно внразить через них. Это делается следующим образом:
Пусть $P(\boldsymbol{r})$ и $P^{\prime}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)$ (рис. 4) начальное и конечное положения точки тела, подвергнутого вращению (10.2). Пусть $N$ — общее основание перпендикуляров, опущенных из точек $P$ и $P^{\prime}$ на $V$; пусть, кроме того, $\overrightarrow{N P}=\boldsymbol{p}$, и пусть $s$ — единичный вектор, такой, что $(p, s, V)$ образуют правый ортогональный триэдр векторов. Тогда
\[
r^{\prime}=\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{N P^{\prime}}=\overrightarrow{O N}+\boldsymbol{p} \cos \chi+s p \sin \chi .
\]

Но, с другой стороны,
\[
\boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}-\overrightarrow{O N}, \quad \boldsymbol{s}=\frac{\boldsymbol{V} \times \boldsymbol{p}}{V p}=\frac{\boldsymbol{V} \times \boldsymbol{r}}{V p}
\]

п, значит, согласно (10.2)
\[
\begin{aligned}
r^{\prime}=r \cos \chi+\overrightarrow{O N} & (1-\cos \chi)+\frac{\sin \chi(\boldsymbol{V} \times \boldsymbol{r})}{V}= \\
& =\boldsymbol{r}\left(\varrho^{2}-V^{2}\right)+2 V^{2} \overrightarrow{O N}+2 \varrho(V \times r) .
\end{aligned}
\]

Кроме того,
\[
V^{2} \overrightarrow{O N}=V(V \cdot r)
\]

и, следовательно, преобразование $\boldsymbol{r} \rightarrow \boldsymbol{r}^{\prime}$ имеет вид
\[
\boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{r}\left(\varrho^{2}-\boldsymbol{V}^{2}\right)+2 \boldsymbol{V}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{r})+2 \varrho(\boldsymbol{V} \times \boldsymbol{r}),
\]

а в матричной форме $r^{\prime}=M r$, где
\[
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{2}-\mu^{2}-v^{2}+\varrho^{2} & 2(\lambda \mu-v \varrho) & 2(
u \lambda+\mu \varrho) \\
2(\lambda \mu+v \varrho) & \mu^{2}-v^{2}-\lambda^{2}+\varrho^{2} & 2(\mu
u-\lambda \varrho) \\
2(v \lambda-\mu \varrho) & 2(\mu
u+\lambda \varrho) & v^{2}-\lambda^{2}-\mu^{2}+\varrho^{2}
\end{array}\right),
\]
$\lambda, \mu, v$ — компоненты вектора $V$, так что имеют место условия
\[
\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}=\sin ^{2} \frac{1}{2} \chi, \quad \lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=1 .
\]

Заметим, что $\boldsymbol{M}$ не изменяется, если ( $\lambda, \mu, v, \varrho)$ заменить на $(-\lambda,-\mu,-v,-\varrho)$, как конечно, и должно быть.