В этом и следующих параграфах, мы, ради краткости, вместо слов «ньютонова динамика» будем писать НД; вместо «релятивистская динамика»- РД.

Слово «событие» употребляется и в НД и в РД. Математически можно представить событие совокупностью четырех чисел (координат) или понятием, эквивалентным этому, – точко ї в четырехмерном пространственно-временно́м континуумс, который представляет физически все возможные события. Физическое понятие события есть явление, происходящее в весьма малой области пространства в течение очень малого промежутка времени.

В дальнейшем в этом параграфе (а также и во всей книге) понятия рассматриваются только как математические понятия. Как объяснено в § 2, соответствующие физические понятия иногда чрезвычайно сложны; мы не можем рассуждать о них с точностью, удовлетворяющей современным требованиям. Для этих физических понятий читатель может составить свой собственный трехстолбцовый словарь (см. § 2); если требуемого понятия не окажется в третьем столбце, его нужно позаимствовать из других источников информации.

В НД событие имеет абсолютное положение и абсолютное время ( $t$. Совокупность всевозможных положений образует абсолютное пространство. Два абсолютных положения определяют растояние, и абсолютное пространство будет евклидовым, если это расстояние определяет метрику. Это означает существование координат $x, y, z$ таких, что элемент длины $d \sigma$ имеет вид
\[
d \sigma=\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и множеством четверок чисел $x, y, z, t$; изменяющихся в пределах $-\infty,+\infty$.

В РД (здесь рассматривается тольюо специальная теория относительности) два события определяют интервал. Существуют координаты $(x, y, z, t)$, изменяющиеся от $-\infty$ до $+\infty$, так что интервал $d s$ между двумя близкими событиями есть ${ }^{1}$ )
\[
d s=\left|d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}-d t^{2}\right|^{1 / 2} .
\]

Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и такими четверками чисел $(x, y, z, t)$.

И в НД и в РД употребляется слово частица. История частицы это кривая в пространстве – времени (мировая линия); она может быть описана уравнениями вида
\[
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t) .
\]

В НД производные функций в уравнениях (4.3), т. е. компоненты скорости, могут принимать любые значения. В РД эти производные ограничены условием
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}<1,
\]

так что вдоль мировой линии частицы имеем
\[
d s=\left(d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} ;
\]

это – так называемый элемент собственного времени. Мы можем использовать собственное время в качестве параметра мировой линии, записав ее уравнения в виде
\[
x=x(s), \quad y=y(s), \quad z=z(s), \quad t=t(s)
\]

вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетвя ряют уравнению
\[
\left(\frac{d t}{d s}\right)^{2}-\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}-\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}-\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1 .
\]

Как в НД, так и в РД употребляется слово масса (в РД используется термин «масса покоя» или «собственная масса», но здесь мы будем говорить просто «масса»). Это – число $m$, связанное с частицей ${ }^{1}$ ); оно может быть постоянным, а может и изменяться вдоль мировой линии частицы.

В НД на частицу действует сила с компонентами $(X, Y, Z)$. В этом случае мировая линия удовлетворяет следующим уравнениям движения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(m \frac{d x}{d t}\right)=X, \quad \frac{d}{d t}\left(m \frac{d y}{d t}\right)=Y, \\
\frac{d}{d t}\left(m \frac{d z}{d t}\right)=Z .
\end{array}
\]

Если ( $X, Y, Z)$ – заданные функции величин
\[
m, x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t},
\]

то мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. В этом случае уравнения движения вместе с уравнением $m=m(t)$ (обычно $m=$ const) определяют единственную мировую линию, соответствующую заданным начальным значениям величин (4.9).

В РД на частицу может действовать 4-сила с компонентами ( $X, Y, Z, T$ ). Тогда уравнениями движения являются уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d s}\left(m \frac{d x}{d s}\right)=X, \quad \frac{d}{d s}\left(m \frac{d y}{d s}\right)=Y, \\
\frac{d}{d s}\left(m \frac{d z}{d s}\right)=Z, \quad \frac{d}{d s}\left(m \frac{d t}{d s}\right)=T .
\end{array}
\]

Из (4.7) следует, что эти уравнения движения заключают в себе уравнение
\[
\frac{d m}{d s}=T \frac{d t}{d s}-X \frac{d x}{d s}-Y \frac{d y}{d s}-Z \frac{d z}{d s} .
\]

Если ( $X, Y, Z, T$ ) – заданные функции величиин (4.9), мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. Тогда уравнения (4.10) определяют единственную мировую линию и массу $m$ вдоль нее, соответствующую начальным значениям переменных (4.9).

Пусть теперь $m=$ const в НД и РД. В НД уравнения движения примут вид
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z .
\]

В РД мы имеем согласно уравнению (4.11)
\[
T=X \frac{d x}{d t}+Y \frac{d y}{d t}+Z \frac{d z}{d t},
\]

так что в этом случае произвольно заданными можно считать $X, Y, Z$, но не $T$. Последнее из уравнений (4.10) заключено в первых трех и если мы возьмем $t$ в качестве параметра, то уравнения движения могут быть записаны следующим образом:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=P, \quad \cdot m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Q, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=R,
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
P=\frac{X}{\gamma^{2}}-\frac{m}{\gamma} \frac{d \gamma}{d t} \frac{d x}{d t}, \quad C=\frac{Y}{\gamma^{2}}-\frac{m}{\gamma} \frac{d \gamma}{d t} \frac{d y}{d t}, \\
R=\frac{Z}{\gamma^{2}}-\frac{m}{\gamma} \frac{d \gamma}{d t} \frac{d z}{d t}, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}, \\
v^{2}=\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Сравнивая уравнения (4.12) для НД с уравнениями (4.14) для РД, мы замечаем только формальную замену $(X, Y, Z)$ на $P, Q, R$. Однако здесь имеется существенное различие. Предшоложим, что ( $X, Y, Z$ ) не зависят от скорости ( $d x / d t, d y / d t, d z / d t$ ), как это часто имеет место в НД. В то же время $(P, Q, R)$ зависят от скорости, стремясь к нулю, когда $v$ приближается к единице, т. е. когда $\gamma$ стремится к $\infty$. Этот факт и неравенство (4.4) отличают РД от НД, пока речь идет о движении частицы цостоянной массы в заданном поле силы.

Значительно более важное различие между НД и РД возникает, когда мы рассматриваем не отдельную частицу в заданном поле силы, а систему частич, движущихся под действием сил, которые обусловлены только взаимодействием частиц.