В этом и следующих параграфах, мы, ради краткости, вместо слов «ньютонова динамика» будем писать НД; вместо «релятивистская динамика»- РД.

Слово «событие» употребляется и в НД и в РД. Математически можно представить событие совокупностью четырех чисел (координат) или понятием, эквивалентным этому, — точко ї в четырехмерном пространственно-временно́м континуумс, который представляет физически все возможные события. Физическое понятие события есть явление, происходящее в весьма малой области пространства в течение очень малого промежутка времени.

В дальнейшем в этом параграфе (а также и во всей книге) понятия рассматриваются только как математические понятия. Как объяснено в § 2, соответствующие физические понятия иногда чрезвычайно сложны; мы не можем рассуждать о них с точностью, удовлетворяющей современным требованиям. Для этих физических понятий читатель может составить свой собственный трехстолбцовый словарь (см. § 2); если требуемого понятия не окажется в третьем столбце, его нужно позаимствовать из других источников информации.

В НД событие имеет абсолютное положение и абсолютное время ( $t$. Совокупность всевозможных положений образует абсолютное пространство. Два абсолютных положения определяют растояние, и абсолютное пространство будет евклидовым, если это расстояние определяет метрику. Это означает существование координат $x,y,z$ таких, что элемент длины $d\sigma$ имеет вид
$$d\sigma ={(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)}^{\frac{1}{2}}.$$

Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и множеством четверок чисел $x,y,z,t$; изменяющихся в пределах $-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$.

В РД (здесь рассматривается тольюо специальная теория относительности) два события определяют интервал. Существуют координаты $(x,y,z,t)$, изменяющиеся от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$, так что интервал $ds$ между двумя близкими событиями есть ${}^1$ )
$$ds={|d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2-d{t}^2|}^{1/2}.$$

Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и такими четверками чисел $(x,y,z,t)$.

И в НД и в РД употребляется слово частица. История частицы это кривая в пространстве — времени (мировая линия); она может быть описана уравнениями вида
$$x=x(t),y=y(t),z=z(t).$$

В НД производные функций в уравнениях (4.3), т. е. компоненты скорости, могут принимать любые значения. В РД эти производные ограничены условием
$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2<1,$$

так что вдоль мировой линии частицы имеем
$$ds={(d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2)}^{\frac{1}{2}};$$

это — так называемый элемент собственного времени. Мы можем использовать собственное время в качестве параметра мировой линии, записав ее уравнения в виде
$$x=x(s),y=y(s),z=z(s),t=t(s)$$

вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетвя ряют уравнению
$${\left(\frac{dt}{ds}\right)}^2-{\left(\frac{dx}{ds}\right)}^2-{\left(\frac{dy}{ds}\right)}^2-{\left(\frac{dz}{ds}\right)}^2=1.$$

Как в НД, так и в РД употребляется слово масса (в РД используется термин «масса покоя» или «собственная масса», но здесь мы будем говорить просто «масса»). Это — число $m$, связанное с частицей ${}^1$ ); оно может быть постоянным, а может и изменяться вдоль мировой линии частицы.

В НД на частицу действует сила с компонентами $(X,Y,Z)$. В этом случае мировая линия удовлетворяет следующим уравнениям движения:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(m\frac{dx}{dt}\right)=X,\frac{d}{dt}\left(m\frac{dy}{dt}\right)=Y,\\ \frac{d}{dt}\left(m\frac{dz}{dt}\right)=Z.\end{array}$$

Если ( $X,Y,Z)$ — заданные функции величин
$$m,x,y,z,\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt},$$

то мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. В этом случае уравнения движения вместе с уравнением $m=m(t)$ (обычно $m=$ const) определяют единственную мировую линию, соответствующую заданным начальным значениям величин (4.9).

В РД на частицу может действовать 4-сила с компонентами ( $X,Y,Z,T$ ). Тогда уравнениями движения являются уравнения
$$\begin{array}{c}\frac{d}{ds}\left(m\frac{dx}{ds}\right)=X,\frac{d}{ds}\left(m\frac{dy}{ds}\right)=Y,\\ \frac{d}{ds}\left(m\frac{dz}{ds}\right)=Z,\frac{d}{ds}\left(m\frac{dt}{ds}\right)=T.\end{array}$$

Из (4.7) следует, что эти уравнения движения заключают в себе уравнение
$$\frac{dm}{ds}=T\frac{dt}{ds}-X\frac{dx}{ds}-Y\frac{dy}{ds}-Z\frac{dz}{ds}.$$

Если ( $X,Y,Z,T$ ) — заданные функции величиин (4.9), мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. Тогда уравнения (4.10) определяют единственную мировую линию и массу $m$ вдоль нее, соответствующую начальным значениям переменных (4.9).

Пусть теперь $m=$ const в НД и РД. В НД уравнения движения примут вид
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=X,m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Y,m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=Z.$$

В РД мы имеем согласно уравнению (4.11)
$$T=X\frac{dx}{dt}+Y\frac{dy}{dt}+Z\frac{dz}{dt},$$

так что в этом случае произвольно заданными можно считать $X,Y,Z$, но не $T$. Последнее из уравнений (4.10) заключено в первых трех и если мы возьмем $t$ в качестве параметра, то уравнения движения могут быть записаны следующим образом:
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=P,\cdot m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Q,m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=R,$$

где
$$\begin{array}{l}P=\frac{X}{{\gamma }^2}-\frac{m}{\gamma }\frac{d\gamma }{dt}\frac{dx}{dt},C=\frac{Y}{{\gamma }^2}-\frac{m}{\gamma }\frac{d\gamma }{dt}\frac{dy}{dt},\\ R=\frac{Z}{{\gamma }^2}-\frac{m}{\gamma }\frac{d\gamma }{dt}\frac{dz}{dt},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}},\\ v^2={\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2.\end{array}\}$$

Сравнивая уравнения (4.12) для НД с уравнениями (4.14) для РД, мы замечаем только формальную замену $(X,Y,Z)$ на $P,Q,R$. Однако здесь имеется существенное различие. Предшоложим, что ( $X,Y,Z$ ) не зависят от скорости ( $dx/dt,dy/dt,dz/dt$ ), как это часто имеет место в НД. В то же время $(P,Q,R)$ зависят от скорости, стремясь к нулю, когда $v$ приближается к единице, т. е. когда $\gamma$ стремится к $\mathrm{\infty }$. Этот факт и неравенство (4.4) отличают РД от НД, пока речь идет о движении частицы цостоянной массы в заданном поле силы.

Значительно более важное различие между НД и РД возникает, когда мы рассматриваем не отдельную частицу в заданном поле силы, а систему частич, движущихся под действием сил, которые обусловлены только взаимодействием частиц.