Центром масс системы частиц с массами $m_{i}$ и радиусами векторами $r_{i}$ является точка, радиус-вектор которой определяется уравнением
\[
r=\frac{\sum_{i} m_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}}{\sum_{i} m_{i}} .
\]

Если система жестко перемещается, то ее центр масс перемещается с ней.

В однородном гравитационном поле гравитационные силы, действующие на систему частиц, статически эквивалентны (или эгвиполентны) одной силе, действующей на центр масс. Поэтому центр масс обычно называют центром тяжести. Иногда также употребляют название барицентр. В этой книге всюду будет употребляться термин центр масс.

Для континуума плотности @ центр масс определяется формулой, аналогичной (21.1), в которой суммирование заменено интегрированием:
\[
r=\frac{\int \varrho \boldsymbol{r} d \tau}{\int \varrho d \tau} .
\]

Эта формула применима в случаях распределения масс по объемам, поверхностям или кривым. В этих случаях $d \tau$ означает соответственно элемент объема, поверхности или длины, а $\varrho$ – соответствующую нлотность.

Если система $S$ состоит из $n$ частей $S_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ с массами $m_{i}$ и центрами масс $r_{i}$, то центр масс системы $S$ можно найти по формуле (21.1), если заменить каждую часть $S_{i}$ частицей с массой $m_{i}$, сосредоточенной в точке $\boldsymbol{r}_{i}$.

Линейным моментом частицы относительно начала координат называют вектор $m r$, а ее квадратичным моментом относительно осей координат – матрицу или тензор
\[
\left(\begin{array}{lll}
m x^{2} & m x y & m x z \\
m y x & m y^{2} & m y z \\
m z x & m z y & m z^{2}
\end{array}\right) .
\]

Линейный и квадратичный моменты системы получаются суммированием или интегрированием.

С квадратичным моментом тесно связаны моменты и произведения инерции. Момент инерции частицы $P$ с массой $m$ относительно прямой $L$ есть произведение $m p^{2}$, где $p$ – расстояние точки $P$ от $L$. Произведение инерции частицы относительно двух взаимно першендикулярных плоскостей есть $m p q$, где $p, q$ – расстояния частицы $P$ от плоскостей, взятые с соответствующими знаками. Моменты и произведения инерции системы находятся суммированием или интегрнрованием ${ }^{1}$ ). Таким образом, для системы дискретных частиц моменты инерции относительно осей координат Oxyz имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
A=\sum_{i} m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right), \quad B=\sum_{i} m_{i}\left(z_{i}{ }^{2}+x_{i}\right)^{2} \\
C=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

а шроизведения инерции относительно координатных плоскостей –
\[
F=\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}, \quad G=\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}, \quad H=\sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i} .
\]

Если $\boldsymbol{V}=(l, m, n)$ – единичный вектор, проходящий через начало координат, то момент инерции системы

относительно $\boldsymbol{V}$, по определению, будет равен
\[
\begin{aligned}
I= & \sum_{i} m_{i} p_{i}^{2}=\sum_{i} m_{i}\left|r_{i} \times V\right|^{2}= \\
& =A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}-2 F m n-2 G n l-2 H l m .
\end{aligned}
\]

Так как $I$ – величина, не зависящая от выбора направления осей координат, то әлементы симметричной матрицы инерции
\[
\boldsymbol{I}=\left(\begin{array}{rrr}
A & -H & -G \\
-H & B & -F \\
-G & -F & C
\end{array}\right)
\]

являются компонентами тензора второго ранга.
Для непрерывного распределения масс имеем для всех этих величин аналогичные выражения:
\[
\left.\begin{array}{ll}
A=\int \varrho\left(y^{2}+z^{2}\right) d \tau, & B=\int \varrho\left(z^{2}+x^{2}\right) d \tau, \\
C=\int \varrho\left(x^{2}+y^{2}\right) d \tau, & F=\int \varrho y z d \tau, \\
G=\int \varrho z x d \tau, & H=\int \varrho x y d \tau .
\end{array}\right\}
\]