Пусть $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$ некоторое несингулярное преобразование, не обязательно каноническое. Пусть $A,B$ — две любые точки пространства QTPH и $C$ — какая-нибудь кривая, соединяющая их. Рассмотрим интеграл
$$I(A,B;C)=\int (y_{r}d{x}_r-y_r^{\prime }d{x}_r^{\prime }),$$

взятый по кривой $C$ от $A$ до $B$. Здесь
$$d{x}_r^{\prime }=\frac{\partial x_r^{\prime }}{\partial x_s}d{x}_s+\frac{\partial x_r^{\prime }}{\partial y_s}d{y}_s,$$

так что на самом деле интеграл имеет вид
$$I(A,B;C)=\int (X_{s}d{x}_s+Y_{s}d{y}_s),$$

где
$$X_s=y_s-y_r^{\prime }\frac{\partial x_r^{\prime }}{\partial x_s},Y_s=-y_r^{\prime }\frac{\partial x_r^{\prime }}{\partial y_s}.$$

Договоримся раз и навсегда считать точку $A$ фиксированной, тогда можно обозначить интеграл через $I(B;C)$. А если взять точку $B$ совпадающей с $A$, так что $C$ — замкнутый контур, то интеграл можно обозначить $I(C)$. Ниже употребляются и другие, очевидно совершенно аналогичные обозначения.

Придавая $A,B$ и $C$ произвольные вариации, получим из (88.1) интегрированием по частям
$$\begin{array}{l}\delta I(A,B;C)={[y_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }]}_A^B+\\ +\int [(d{x}_r\delta y_r-\delta x_{r}d{y}_r)-(d{x}_r^{\prime }\delta y_r^{\prime }-\delta x_r^{\prime }d{y}_r^{\prime })].\end{array}$$

Предположим, что преобразование $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })-$ каноническое. Тогда вследствие существования билиней-

ного инварианта (87.19) интеграл в правой части выражения (88.5) обращается в нуль, т. е. имеем выражение
$$\delta I(A,B;C)={[y_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }]}_A^B.$$

Отсюда вытекают следствия:
I) Так как вариация $I$ обращается в нуль, когда $A$ и $B$ закреплены, то $I(A,B,C)$ имеет одно и то же значение для всех допустимых кривых, соединяющих $A$ и $B$; в символической форме $I(A,B;C)=I(A,B)$.
II) Если точка $A$ фиксирована, то $I(B;C)=I(B)$, т. е. интеграл — функция только точки $B$, многозначная в случае многосвязной области; имеем
$$y_r\delta x_r^{\prime }-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=\delta I(B)$$

для произвольной вариации ${}^1)$.
III) Если $A$ и $B$ совпадают, так что $C$ — замкнутый контур и можно обозначить рассматриваемый интеграл через $I(C)$, то $\delta I(C)=0$ для произвольной вариации контура. Этот результат заключает в себе условие, что $I(C)$ имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров и $I(C)=0$ для стягиваемых в точку контуров. Эквивалентно
$$\oint y_{r}d{x}_r=\oint y_r^{\prime }d{x}_r^{\prime }$$

для каждого стягиваемого в точку контура. Этот результат можно выразить следующим образом: циркуляция действия по стягиваемому в точку контуру инвариантна относительно КП. В случае неприводимого контура КП увеличивает или уменьшает циркуляцию на величину, одинаковую для всех совместимых контуров.

Согласно (88.7) имеем следующий вывод: если $(x,y)\to$ $\to (x^{\prime },y^{\prime })-$ КП, то пфаффиан
$$y_{r}d{x}_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=X_s\delta x_s+Y_s\delta y_s$$

есть полный дифференциал. Докажем обратное утверждение. Дано преобразование $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$, так что
$$y_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=\delta I(B),$$

где $I(B)$ — некоторая функция переменных $(x,y)$. Возьмем 2-пространство $x_r=x_r(u,v),y_r=y_r(u,v)$, так что $(x,y,x^{\prime },y^{\prime },I)$ все являются функциями переменных $u$ и $v$. Тогда справедливо уравнение
$$y_r\frac{\partial x_r}{\partial v}-y_r^{\prime }\frac{\partial x_r^{\prime }}{\partial v}=\frac{\partial I}{\partial v}.$$

Дифференцируя его по $u$, меняя местами $u$ и $v$, и вычитая один результат из другого, получаем
$$\{u,v\}=\{u,v{\}}^{\prime },$$

пользуясь обозначениями (87.21). Тем самым установлено существование билинейного инварианта, а отсюда и канонический характер преобразования $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$.

Теперь мы имеем три критерия для установления каноничности преобразования: I) критерий симплектичности (87.16), основанный на матрице Г, II) критерий билинейного инварианта (87.19) и III) критерий полного дифференциала (88.10).

Канонические преобразования могут быть осуществлены следующим образом. Пусть $G_1(x,x^{\prime })$ — некоторая произвольная функции. Если определить $(y,y^{\prime })$ как
$$y_r=\frac{\partial G_1(x,x^{\prime })}{\partial x_r},y_r^{\prime }=-\frac{\partial G_1(x,x^{\prime })}{\partial x_r^{\prime }},$$

то
$$y_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=\delta G_1(x,x^{\prime }),$$
т. е. $\delta G_1(x,x^{\prime })$ — полный дифференциал в пространстве $(x,x^{\prime })$. Однако изложенное отнюдь не обязательно определяет преобразование $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$, потому что нет уверенности в том, что из уравнений (88.13) можно выразить $(x,y)$ через $(x^{\prime },y^{\prime })$ или наоборот. Для того чтобы исследовать этот вопрос, продифференцируем (88.13), получив

при этом
$$\begin{array}{l}\delta y_r=\frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial x_r\partial x_s}\delta x_s+\frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial x_r\partial x_s^{\prime }}\delta x_s^{\prime },\\ \delta y_r^{\prime }=-\frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial x_r^{\prime }\partial x_s}\delta x_s-\frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial x_r^{\prime }\partial x_s^{\prime }}\delta x_s^{\prime }.\end{array}$$

Наложим на $G_1(x,x^{\prime })$ условие
$$\det \frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial x_r\partial x_s^{\prime }}eq0.$$

Тогда уравнение (88.15) можно разрешить относительно $(\delta x,\delta y)$, выразив их через $(\delta x^{\prime },\delta y^{\prime })$, и наоборот. Эти решения можно проинтегрировать, потому что если в пространстве $(x,x^{\prime })$ мы обходим малый контур, то и в пространствах $(x,y)$ и $(x^{\prime },y^{\prime })$ мы также обходим малые контуры. Отсюда получаем обратимое преобразование: $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$; вследствие уравнения (88.14) это КІІ.

Таким образом, начав с производяцей функции $G_1(x,x^{\prime })$, на которую наложено единственное условие (88.16), мы получаем КП из (88.13) или (88.14). Этот мощный метод установления КП не дает, однако, всех КП. Он не дает тех канонических преобразований, для которых переменные ( $x,x^{\prime }$ ) связаны одним или более соотношениями ${}^1$ ); таким путем, в частности, не получаются также КП Матье, для которых ${}^2$ )
$$y_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=0.$$

Точно так же с помощыо других производящих функций, описанных ниже, не удается получить некоторые специальные КП. Но для понимания общей теории КП целесообразно пренебречь такими специальными случаями и предположить, что КП, встречающиеся в рассуждениях, таковы, что любая из следующих совокупностей $(2N+2)$ переменных образует координатную систему в пространстве $QTPH$ в том смысле, что переменные любой такой

совокунности мокно варьировать произвольно и независимо:
$$(x,y),(x^{\prime },y^{\prime }),(x,x^{\prime }),(x,y^{\prime }),(y,x^{\prime }),(y,y^{\prime }).$$

Формула (88.14) может быть записана в следующих әквивалентных формах:
$$\begin{array}{l}{y}_r\delta x_r-y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=\delta G_1,\\ x_r{\delta }_{i_r^{\prime }}-x_r^{\prime }\delta y_r^{\prime }=\delta G_2^{\prime },\\ y_r\delta x_r+x_r^{\prime }\delta y_r^{\prime }=\delta G_3,\\ x_r\delta y_r+y_r^{\prime }\delta x_r^{\prime }=\delta G_4,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{rl}{G}_2& =x_r{y}_r-x_r^{\prime }{y}_r^{\prime }-G_1,\\ G_3& =x_r^{\prime }{y}_r^{\prime }+G_1,\\ G_4& =x_r{y}_r-G_1.\end{array}\}$$

Имеются, таким образом, четыре различных способа порождения КП:
$$\begin{array}{ll}{y}_r=\frac{-\partial G_1(x,x^{\prime })}{\partial x_r},& y_r^{\prime }=-\frac{\partial G_1(x,x^{\prime })}{\partial x_r^{\prime }},\\ x_r=\frac{\partial G_2(y,y^{\prime })}{\partial y_r},& x_r^{\prime }=-\frac{\partial G_2(y,y^{\prime })}{\partial y_r^{\prime }},\\ y_r=\frac{\partial G_3(x,y^{\prime })}{\partial x_r},& x_r^{\prime }=\frac{\partial G_3(x,y^{\prime })}{\partial y_r^{\prime }},\\ x_r=\frac{\partial G_4(y,x^{\prime })}{\partial y_r},& y_r^{\prime }=\frac{\partial G_4(y,x^{\prime })}{\partial x_r^{\prime }}.\end{array}$$

Любая из этих формул дает КП; производящая функция, входящая в них, должна удовлетворять только одному неравенству вида $(88,16)$.

Можно привести некоторые особенно простые примеры КП. Во-первых, применяя формулы (88.20a), имеем
$$\begin{array}{c}G(x,x^{\prime })=x_r{x}_r^{\prime },\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial x_r\partial x_s^{\prime }}=1,\\ y_r=x_r^{\prime },y_r^{\prime }=-x_r,\end{array}\}$$

так что при этом преобразовании переменные меняются местами, причем в одном случае изменяется знак. Вовторых, взяв другую производящую функцию, применяя при этом формулы (88.20c),
$$\begin{array}{rlrl}G(x,y^{\prime })& =x_r{y}_r^{\prime },& \det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial x_r}\frac{\partial y_s^{\prime }}{}& =1,\\ y_r& =y_r^{\prime },& x_r^{\prime }& =x_r,\end{array}\}$$

получим тождественное преобразование. Наконец, в-третьих, вновь применим (88.20c), выбирая новую функцию $G(x,y^{\prime })$ :
$$G(x,y^{\prime })=f_r(x)y_r^{\prime },\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial x_r\partial y_s^{\prime }}==\det \frac{\partial f_s}{\partial x_r}eq0,$$

причем на произвольные функции $f_s(x)$ накладывается только это последнее условие. Получаем
$$y_r=\frac{\partial f_s}{\partial x_r}{y}_s^{\prime },x_r^{\prime }=f_r(x),$$

следовательно, имеем произвольное преобразование $(x)\to \left(x^{\prime }\right)$, а $y_r$ преобразуется как ковариантный вектор. Это обобщенное точечное преобразование ${}^1$ ).

В обозначениях $(q,t,p,H$ ) (ср. с (86.1)) каноническое преобразование (88.20) принимает следующий вид:
$$\begin{array}{c}{G}_1=G_1(q,t,q^{\prime },t^{\prime }):\\ p_{\rho }=\frac{\partial G_1}{\partial q_{\rho }},-H=\frac{\partial G_1}{\partial t},\\ p_{\rho }^{\prime }=-\frac{\partial G_1}{\partial q_{\rho }^{\prime }}-H^{\prime }=-\frac{\partial G_1}{\partial t^{\prime }};\end{array}\}$$

Следующие КП оставляют неизменным время:
$$\begin{array}{l}{G}_3(q,t,p^{\prime },H^{\prime })=-tI{I}^{\prime }+g(q,t,p^{\prime }):\\ p_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial q_{\rho }},H=H^{\prime }-\frac{\partial g}{\partial t},q_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }^{\prime }},t^{\prime }=t;\end{array}\}$$

$$\begin{array}{l}{G}_4(p,H,q^{\prime },t^{\prime })=-H{t}^{\prime }+g(p,q^{\prime },t^{\prime }):\\ q_{\rho }=\frac{\partial g}{\partial p_p},t=t^{\prime },p_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial q_{\rho }^{\prime }},H^{\prime }=H-\frac{\partial g}{\partial }.\end{array}\}$$

Следующие КП оставляют неизменным гамильтониан:
$$\begin{array}{l}{G}_3(q,t,p^{\prime },H^{\prime })=-t{H}^{\prime }+g(q,p^{\prime }):\\ p_{\rho }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }},H=H^{\prime },q_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }^{\prime }},t^{\prime }=t-\frac{\partial g}{\partial H^{\prime }}\cdot \}\\ G_4(p,H,q^{\prime },t^{\prime })=-H{t}^{\prime }+g(p,H,q^{\prime }):\\ q_{\rho }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }},t=t^{\prime }-\frac{\partial g}{\partial H},p_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial q_{\rho }^{\prime }},H^{\prime }=H.\end{array}\}$$

Следующие КП оставляют неизменными и время, и гамильтониан:
$$\begin{array}{l}{G}_3(q,t,p^{\prime },H^{\prime })=-t{H}^{\prime }+g(q,p^{\prime }):\\ p_{\rho }=\frac{\partial g}{\partial q_{\rho }},H=H^{\prime },q_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }^{\prime }},t^{\prime }=t;\\ G_4(p,H,q^{\prime },t^{\prime })=-H{t}^{\prime }+g(p,q^{\prime }):\\ q_{\rho }=\frac{\partial g}{\partial p_{\rho }},t=t^{\prime },p_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial g}{\partial q_{\rho }^{\prime }},H^{\prime }=H.\end{array}\}$$

Покажем теперь ${}^1$ ), что КП унимодулярны в том смысле, что
$$\det J=1.$$

Пусть КП вводится формулами, аналогичными (88.20c); продифференцируем их. В матричных обозначениях имеем уравнения
$$\delta y=\mathit{A}\delta x+B\delta y,\delta x^{\prime }=\tilde{B}\delta x+C\delta y^{\prime },$$

где
$$\mathit{A}=\left(\frac{{\partial }^2{G}_3}{\partial x_r\partial x_s}\right),\mathit{B}=\left(\frac{{\partial }^2{G}_3}{\partial x_r\partial x_s}\right),\mathit{C}=\left(\frac{{\partial }^2{G}_3}{\partial y_r\partial y_s^{\prime }}\right).$$

Эти уравнения можно записать в виде
$$\delta y-A\delta x=B\delta y^{\prime },-B\delta x=-\delta x^{\prime }+C\delta y^{\prime },$$

или
$$\left(\begin{array}{ll}-\mathit{A}& 1\\ -\tilde{B}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\delta x\\ \delta y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0& \mathit{B}\\ -1& \mathit{C}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\delta x^{\prime }\\ \delta y^{\prime }\end{array}\right).$$

Сравнивая это последнее уравнение с (87.6), имеем следующее соотношение:
$$\left(\begin{array}{rr}0& B\\ -1& C\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}-A& 1\\ -B& 0\end{array}\right)J.$$

Выражение (88.29) получается, если вычислить детерминанты матриц, стоящих справа и слева.