Если на частицу действует 4-сила $X_{r}$, то предполагаем, что уравнения движения частицы имеют вид
\[
\frac{d}{d s}\left(m \lambda_{r}\right)=X_{r} .
\]

Эти уравнения согласно (108.12) приводят к следующим:
\[
\frac{d m}{d s}=-X_{r} \lambda_{r} .
\]

Следовательно, собственная масса изменяется, если только не имеет места условие
\[
X_{r} \lambda_{r}=0,
\]

которое является условием ортогональности 4-силы и 4-скорости.

Используя соотнопение $\gamma d s=c d t$, можно написать первые три уравнения (109.1) в форме
\[
\frac{d}{d t}\left(m \gamma v_{\rho}\right)=\frac{c^{2} X_{\rho}}{\gamma} ;
\]

әта квазиньютонова формула определяет скорость изменения релятивистского импульса. Последнее из уравнений (109.1) дает формулу для скорости изменения релятивистской энергии:
\[
\frac{d E}{d t}=\frac{d}{d t}\left(m \gamma c^{2}\right)=-i \frac{c^{3} X_{4}}{\gamma} .
\]

Если уравнение (109.3) удовлетворяется, то имеем
\[
-i X_{4}=\frac{v_{\rho} X_{\rho}}{c}
\]

и отсюда получаем формулу, связывающую скорость изменения энергии со скоростью изменения релятивистского импульса,
\[
\frac{d E}{d t}=v_{\rho} \frac{c^{2} X_{\rho}}{\gamma}=v_{\rho} \frac{d}{d t}\left(m \gamma v_{\rho}\right) .
\]

Условие ортогональности (109.3) удовлетворяется (и поэтому сохраняется собственная масса), если 4-сила зависит от 4-скорости следующим образом:
\[
X_{r}=Y_{r s} \lambda_{s},
\]

где $Y_{r s}$ — кососимметричный тензор, так что имеют место соотношения
\[
Y_{\text {rs }}=-Y_{s r} .
\]
4-сила такого типа появляется в случае заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле (ср. §115, 116).