Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Система может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан $L(=T-V)$, когда $V$ – обычная потенциальная функция. В настоящей общей теории на функцию $L(q, t, \dot{q})$ не накладывается никаких таких ограничений; ее можно считать произвольной функцией $2 N+1$ аргументов.

Приведем два примера, иллюстрирующих общие выводы.
а) Релятивистская система (PC). Берем однородный лагранжиан
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=\sqrt{b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}}+A_{r} x_{r}^{\prime},
\]

где $b_{r s}\left(=b_{s r}\right.$ ) и $A_{r}$ – функции переменных $x_{r}$. Это обобщение релятивистского лагранжиана для случая заряженной частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле ${ }^{1}$ ). Однородный лагранжиан проще чем обычный, который согласно обозначениям (64.11) имеет вид
\[
\begin{array}{r}
L(q, t, \dot{q})=\left(b_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}+2 b_{\rho, N+1} \dot{q}_{\rho}+b_{N+1, N+1}\right)^{1 / 2}+ \\
+A_{\rho} \dot{q}_{\rho}+A_{N+1} .
\end{array}
\]
в) Обыкновенная динамическая система ${ }^{*}(\mathrm{ДC)}$. Это голономная, склерономная, консервативная система с $\qquad$

обычной цотөнциальной функцией, так что
\[
L(q, \dot{q})=T(q, \dot{q})-V(q)=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}-V,
\]

коэффициенты $a_{\rho \sigma}\left(=a_{\sigma \rho}\right)$ и $V$ – функции переменных $q$. Таким образом, $t$ не входит явно в $L$. В этом случае однородный лагранжиан согласно соотношению (64.13) равен
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=\frac{\frac{1}{2} a_{\rho \sigma}^{\prime} x_{\rho}^{\prime} x_{\sigma}^{\prime}}{x_{N+1}^{\prime}}-V x_{N+1}^{\prime} ;
\]

это выражение имеет не стоть простой вид, как выражение для $L(q, \dot{q})$.

Ясно, что теория для PC упростится, если положить в основу $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$, а теория для ОДС будет проще, если построить се па $L(q, \dot{q})$. Прищци Гамильтопа выражастся в этих случаях так:
\[
\begin{aligned}
\text { PC: } \quad \delta \int\left[\left(b_{r s} d x_{r} d x_{s}\right)^{1 / 2}+A_{r} d x_{r}\right]=0, \\
\text { ОДС: } \delta \int\left(\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}-V\right) d t=0 .
\end{aligned}
\]

Уравнения Лагранжа в случае РC принимают вид
\[
\frac{d}{d u}\left[\frac{b_{r s}^{\prime}}{\sqrt{b_{m n} x_{m}^{\prime} x_{n}^{\prime}}}+A_{r}\right]-\frac{\frac{\partial b_{s t}}{\partial x_{r}} x_{s}^{\prime} x_{t}^{\prime}}{\sqrt{b_{m n} x_{m}^{\prime} x_{n}^{\prime}}}-\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{r}} x_{z}^{\prime}=0,
\]

а если мы выберем за $u$ параметр на луче, который обращает в единицу выражение
\[
b_{m n} x_{m}^{\prime} x_{n}^{\prime}=1,
\]

то уравнения упрощаются и превращаются в следующие
\[
\frac{d}{d u}\left(b_{r s} x_{s}^{\prime}\right)+\left(\frac{\partial A_{r}}{\partial x_{s}}-\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{r}}\right) x_{s}^{\prime}-\frac{\partial b_{s t}}{\partial x_{r}} x_{s}^{\prime} x_{t}^{\prime}=0,
\]

или
\[
\begin{aligned}
b_{r s} x_{s}^{\prime \prime}+\left(\frac{\partial A_{r}}{\partial x_{s}}-\frac{\partial A_{s}}{\partial x_{r}}\right) & x_{s}^{\prime}+ \\
& +\left(\frac{\partial b_{r s}}{\partial x_{t}}-\frac{\partial b_{t s}}{\partial x_{r}}\right) x_{s}^{\prime} x_{t}^{\prime}=0 .
\end{aligned}
\]

В случае ОДС лагранжевы уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{\rho}},
\]

или
\[
a_{\rho \sigma} \ddot{q}_{\sigma}+[\mu
u, \varrho] \dot{q}_{\mu} \dot{q}_{v}=-\frac{\partial}{\partial q_{\rho}},
\]

или
\[
\ddot{q}_{\rho}+\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu
u
\end{array}\right\} \dot{q}_{\mu} \dot{q}_{v}=-a^{\rho \sigma} \frac{\partial V}{\partial q_{\sigma}},
\]

где символы Кристоффеля равны
\[
\begin{array}{c}
{[\mu
u, \sigma]=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial a_{\mu \sigma}}{\partial q_{
u}}+\frac{\partial a_{v \sigma}}{\partial q_{\mu}}-\frac{\partial a_{\mu v}}{\partial q_{\sigma}}\right),} \\
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{Q} \\
\mu
u
\end{array}\right\}=a^{\rho \sigma}[\mu
u, \sigma], \quad a^{\rho \sigma} a_{\mu \sigma}=\delta_{\mu}^{\rho} .
\end{array}
\]