Обратимся к рассмотрению неконсервативных систем с гамильтонианом $H(q, t, p)$, явно зависящим от времени, так что
\[
\frac{\partial H}{\partial t}
eq 0 .
\]

Так как функция энергии в пространстве $Q T P H$ имела вид $\Omega(x, y)$, а не $\Omega(x, y, \omega)$, то нельзя перенести теорию, развитую для QTPH, простым уменьшением размерности, как мы сделали это для консервативных систем в § 96 . Правда, теория для пространства QTPH остается справедливой во всей ее общности, однако она развита для пространства, в котором $t$ является координатой, а в пространстве $Q P$ мы низводим $t$ до роли простого параметра.

Рассмотрим функцию $G\left(q, q^{\prime}, t\right)$ и преобразование $(q, p) \rightarrow\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)$, заданное формулами
\[
p_{\rho}=\frac{\partial G\left(q, q^{\prime}, t\right)}{\partial q_{\rho}}, \quad p_{\rho}^{\prime}=-\frac{\partial G\left(q, q^{\prime}, t\right)}{\partial q_{\rho}^{\prime}} .
\]

Тогда имеет место уравнение
\[
p_{\rho} \delta q_{\rho}-p_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}^{\prime}=\delta G-\frac{\partial G}{\partial t} \delta t
\]

или
\[
\begin{aligned}
p_{\rho} \delta q_{\rho}-H(q, t, p) \delta t & = \\
& =p_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}^{\prime}-K\left(q^{\prime}, t, p^{\prime}\right) \delta t+\delta G,
\end{aligned}
\]

где
\[
K\left(q^{\prime}, t, p^{\prime}\right)=H(q, t, p)+\frac{\partial G\left(q, q^{\prime}, t\right)}{\partial t} .
\]

Теперь $G$ – функция положения в пространстве QTP (так как можно разрешить (97.2) относительно $q_{\rho}^{\prime}$, выразив его через $(q, t, p)$ ) и мы можем применить доказа-

тельство Пфаффа, аналогичное проведенному иа стр. 329 ; отсюда заключаем, что канонические уравнения преобра-
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}
\]

зуются в следующие:
\[
\begin{array}{l}
\text { ующие: } \\
\dot{q}_{\rho}^{\prime}=\frac{\partial K}{\partial p_{\rho}^{\prime}}, \quad \dot{p}_{\rho}^{\prime}=-\frac{\partial K}{\partial q_{\rho}^{\prime}},
\end{array}
\]

причем гамильтониан изменяется согласно (97.5). Таким образом, (97.2) есть каноническое преобразование (КП) в пространстве $Q P$; производящая функция $G$ содержит время $t$ как параметр.

Это исследование в пространстве $Q P$ является менее общим, чем исследование, данное в § 94 для пространства $Q T P$, потому что в случае пространства $Q P$ время не подвергается преобразованию. О КП, сохраняющих время в QTPH, см. уравнения (88.26).

Пусть $u$ и $v$ – две произвольные функции $2 N+1$ величин $(q, p, t)$, т. е. функции положения в пространстве $Q P$ и параметра $t$; их скобки IІуассона определяются следующим образом:
\[
[u, v]=\frac{\partial u}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial v}{\partial p_{\rho}}-\frac{\partial v}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial u}{\partial p_{\rho}} .
\]

Когда изображающая точка движется вдоль траектории, скоростью изменения любой функции $F(q, p, t)$ будет
\[
\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial q_{\rho}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial F}{\partial p_{\rho}} \dot{p}_{\rho}=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H] .
\]

В частности, с помощью скобок Пуассона имеем другую возможную запись канонических уравнений:
\[
\left.\dot{q}_{\rho}=\left[q_{\rho}, H\right], \quad \dot{p}_{\rho}=p_{\rho}, H\right] .
\]

Покажем теперь, что ес.и $u(q, p, t) u v(q, p, t)-$ две постоянные движения, то их скобки Пуассона $[u, v]$ также являются постоянной движения.

Нам даны выражения
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+[u, H]=0, \quad \frac{d v}{d t}=\frac{\partial v}{\partial t}+[v, H]=0 .
\]

Согласно (97.9) имеем уравнение
\[
\frac{d}{d t}[u, v]=\frac{\partial}{\partial t}[u, v]+[[u, v], H]
\]

последний член его можно изменить, принив во внимание тождества Якоби – Пуассона
\[
[[u, v], w]+[[u, w], v]+[[w, u], v]=0
\]
(ср. с (89.3)), так что вследствие кососимметричности скобок Пуассона получаем соотношение
\[
\frac{d}{d t}[u, v]=\frac{\partial}{\partial t}[u, v]-[[v, H], u]+[[u, H], v] .
\]

Подставляя значения (97.11), получаем
\[
\frac{d}{d t}[u, v]=\frac{\partial}{\partial t}[u, v]+\left[\frac{\partial v}{\partial t}, u\right]-\left[\frac{\partial u}{\partial t}, v\right]=0,
\]

что и доказывает сформулированное утверждение.
Рассмотрим теперь $\infty^{2}$ семейство траекторий с уравнениями
\[
q_{\rho}=q_{\rho}(u, v, t), p_{\rho}=p_{\rho}(u, v, t),
\]

где $u$ и $v$ – постоянны вдоль каждой траектории. Тогда скобки Лагранжа
\[
\{u, v\}=\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}-\frac{\partial q_{\rho}}{\partial v} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial u}
\]

есть функции $u, v$ и $t$; докажем непосредственным вычислением, что эти скобки Лагранжа – постоянная движения. Имеем уравнения
\[
\frac{\partial q_{\rho}}{\partial t}=\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}{ }^{\prime}}, \quad \frac{\partial p_{\rho}}{\partial t}=\dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} ;
\]

эти величины являются функциями $u, v$ и $t$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}\right)= \\
= \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}\right) \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}-\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}\right) \\
= \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{\rho} \partial q_{\sigma}} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}+\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{\rho} \partial p_{\sigma}}-\frac{\partial p_{\sigma}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}- \\
-\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{\rho} \partial q_{\sigma}} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial v}-\frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{\rho} \frac{\partial p_{\sigma}}{\partial v}}= \\
=\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{\rho} \partial p_{\sigma}} \frac{\partial p_{\sigma}}{\partial u} \frac{\partial p_{\rho}}{\partial v}-\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{\rho} \partial q_{\sigma}} \frac{\partial q_{\rho}}{\partial u} \frac{\partial q_{\sigma}}{\partial v} .
\end{array}
\]

Меняя местами $u$ и $v$ и вычитая из (97.18) полученное таким образом уравнение, приходим к уравнению
\[
\frac{d}{d t}\{u, v\}=0,
\]

которое и доказывает наше утверждение.