В релятивистской динамике теория, связанная со свободной частицей, не тривиальна, ибо она служит для того, чтобы связать физические понятия и математическую схему.

Выбираем для свободной частицы постоянной массы инвариантный однородный лагранжиан
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=m c \sqrt{-x_{r}^{\prime} x_{r}^{\prime}},
\]

так что элемент действия есть
\[
\begin{aligned}
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi=m c \sqrt{-x_{r}^{\prime} x_{r}^{\prime}} d \chi & =m c \sqrt{-d x_{r} d x_{r}}= \\
& =m c d s=m c \sqrt{-\lambda_{r} \lambda_{r}} d s .(111.2)
\end{aligned}
\]

Отметим,что он имеет правильную размерность действия $\left[M L^{-2} T^{-1}\right]$.

Уравнения Јагранжа (110.13) в рассматриваемом случае приводят к выражению
\[
\frac{d \lambda_{r}}{d s}=0,
\]

тақ что мировой линией является прямая.
Для гамильтонова 4-вектора имеем, как в случае (110.8), выражение
\[
y_{r}=-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}=\frac{m c x_{r}^{\prime}}{\sqrt{-x_{n}^{\prime} x_{n}^{\prime}}},
\]

и исключение производных $x_{r}^{\prime}$ приводит к уравнению энергии
\[
2 \Omega(x, y)=y_{r} y_{r}+m^{2} c^{2}=0,
\]

в которое не входят пространственновременнь́е координаты. Канонические уравнения (110.7) в данном случае имеют вид
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=y_{r}, \quad-\frac{d y_{r}}{d w}=0
\]

Мы можем выразить уравнения (111.4) через 4-скорость
\[
y_{r}=m c \lambda_{r} .
\]

Таким образом, в случае свободной частицы гамильтонов 4-вектор есть касательная мировой линии; для движущейся в поле частицы это, вообще говоря, несправедливо. Из уравнений $(108.6),(110.9)$ и (111.7) видим, что гамильтонов 3 -импульс есть
\[
p_{\rho}=m \gamma v_{\rho},
\]

и имеем также
\[
y_{4}=i m \gamma c=\frac{i E}{c},
\]

где $E$ — энергия, определенная согласно § 108. Далее, имея в виду (110.19), получим
\[
H=E \text {. }
\]

Для того чтобы найти форму гамильтониана, мы должны разрешить (111.5) относительно $y_{4}$, получив при этом
\[
y_{4}= \pm i \sqrt{y_{\rho} y_{\rho}+m^{2} c^{2}},
\]

где знак + должен быть выбран вследствие (111.9). Тогда, аналогично (110.20), гамильтониан равен
\[
H=c \sqrt{p_{\rho} p_{\rho}+m^{2} c^{2}} .
\]

Остается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы. Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаем
\[
L d t=m c d s=\frac{m c^{2}}{\gamma} d t, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},
\]

так что
\[
L=\frac{m c^{2}}{\gamma}=m c^{2} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=m c^{2}-\frac{1}{2} m v^{2}+\ldots
\]

ненаписанные члены содержат квадраты и более высокие степени $v / c$.
Это выражение отличается от лагранжиана
\[
L=T=\frac{1}{2} m v^{2}
\]

для свободной частицы в ньютоновой динамике, во-первых, наличием постоянной $m c^{2}$, представляющей собственную энергию; во-вторых, знаком минус при $-\frac{1}{2} m v^{2}$, и в-третьих, членами, не выписанными в явном виде. Если лагранжиан есть просто подынтегральное выражение в вариационном уравнении для ошределения уравнений движения, то наличие слагаемого $m c^{2}$ тривиально, так как оно добавляет один и тот же член к интегралу $\int L d t$ для всех варьированных движений. Так же несуществен знак $-\frac{1}{2} m v^{2}$, так как лагранжиан $-L$ дает. те же экстремали, что и $L$. Что касается ненаписанных членов, то они представляют род релятивистской поправки, которая, как можно предполагать, стремится к нулю вместе с $v / c$.

Однако если само действие имеет физический смысл, то имеет физический смысл и различие между (111.14) и (111.15). Для покоящейся тастицы выражение (111.14) дает положительное действие $m c^{2} \int d t$, в то время как (111.15) дает нуль. Если сравнить две частицы, одна из которых находится в покое, а другая движется, то формула (111.14) приписывает (в данный интервал времени) большее действие покоящейся частице, в то время как (111.15) приписывает большее действие движущейся частице.

Возвратимся теперь к вопросу об изменении знака, введенного в (110.4) и соответственно в (110.8), и рассмотрим определение гамильтонова 4-вектора, когда координаты действительны.

Если применять действительные координаты $x^{r}$ в пространстве — времени, то надо различать ковариантные и контравариантные векторы. Переход от одних к другим выполняется с помощью фундаментального тензора $g_{m n}$ (107.1). Однако геометрия пространства — времени не изменится, если изменить знаки всех величин $g_{m n}$ на обратные. Отсюда, когда мы приведем $g_{m n}$ к диагональному виду, применяя вещественные декартовы координаты, могут иметь место два случая: можно взять

диагональную форму в виде
\[
\left(g_{m n}\right)=(+1,+1,+1,-1),
\]

или в виде
\[
\left.\bar{g}_{m n}\right)=(-1,-1,-1,+1) .
\]

Некоторые авторы предпочитают первую форму, другие вторую. Между ними нет никакой физической разницы, однако (111.16) имеет то преимущество, что можно перейти к единичной матрице (координаты Минковского) при помощи введения одной мнимой координаты, в то время как в случае (111.17) для этого требуются три мнимые координаты. С помощью действительных координат и величин $g_{m n}$ и $\bar{g}_{m n}$, определенных как указано выше, можно написать лагранжиан (111.1) в форме
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=m c \sqrt{-g_{r s} x^{r^{\prime}} x^{s^{\prime}}}=m c \sqrt{\bar{g}_{r s} x^{r^{\prime}} x^{s^{\prime}}} ;
\]

частное дифференцирование дает в обоих случаях один и тот же ковариантный вектор:
\[
\frac{\partial \Lambda}{\partial x^{r^{\prime}}}=-m c \frac{g_{r s} x^{s^{\prime}}}{\sqrt{-g_{m n} x^{m^{\prime}} x^{n^{\prime}}}}=m c \frac{\bar{g}_{r s} x^{s^{\prime}}}{\sqrt{\bar{g}_{m n} x^{m^{\prime}} x^{n^{\prime}}}} .
\]

Этот единственный ковариантный вектор дает два (противоположных) контравариантных вектора в зависимости от того, какую из групп уравнений мы используем: (111.6) или (111.7); это соответственно векторы
\[
\left.\begin{array}{l}
g^{r s} \frac{\partial \Lambda}{\partial x^{s^{\prime}}}=-\frac{m c x^{r^{\prime}}}{\sqrt{-g_{m n} x^{m^{\prime}} x^{n^{\prime}}}}, \\
\bar{g}^{r s} \frac{\partial \Lambda}{\partial x^{s^{\prime}}}=\frac{m c x^{r^{\prime}}}{\sqrt{\bar{g}_{m n} x^{m^{\prime}} x^{n^{\prime}}}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Первый из них направлен в прошлое, второй — в будущее. Итак, имеются два возможных определения ковариантного гамильтонова 4-вектора, а именно, $y_{r}=$ $= \pm \delta \Lambda / \delta x^{r^{\prime}}$. Удобно выбрать тот знак, при котором соответствующий контравариантный 4-вектор направлен в будущее, по крайней мере в случае свободой частищы.

Таким образом, нам нужны два различных определения $y_{r}$ :
\[
\begin{array}{lll}
y_{r}=-\frac{\partial \Lambda}{\partial x^{r,}} & \text { для } & (111.16), \\
y_{r}=\frac{\partial \Lambda}{\partial x^{r^{\prime}}} & \text { для } & (111.17) .
\end{array}
\]

В координатах Минковского мы не должны делать различия между ковариантными и контравариантными векторами. Мы уже видели, что (111.21) — удовлетворительное определение, так как (111.7) показывает, что вектор $y_{r}$, определенный таким образом, направлен в будущее.