Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Пусть гамильтонова функция не содержит явно времени (консервативная система; ср. § 62; этот случай часто встречается на практике). Применим теорию, развитую в предыдущем параграфе; будем отыскивать функцию $J$, как в (77.4), в форме где $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N+1}, E$ — произвольные постоянные. Тогда согласно (77.3) функция $K$ должна удовлетворять уравнению Когда такой полный интеграл найден, уравнения (77.5) и (77.6) дают для траекторий следующие уравнения: Первые $N-1$ уравнений (78.3) определяют кривую в пространстве $Q$, а последнее — время $t$. Величина $H$ имеет постоянное значение в течение движения (это — следствие условия $\partial H / \partial t=0$ ) и это постоянное значение равно $E$. Уравнение Гамильтона — Якоби (78.2) иногда монно решить с помощью метода разделения переменных. Пусть $H$ — функция вида где $H_{1}, A_{1}$ — зависят только от переменных $q_{1}, p_{1} ; H_{2}, A_{2}$ зависят только от $q_{2}, p_{2}$ и т. д. Тогда уравнение (78.2) можно написать в форме где Потребуем при этом, чтобы $K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{N}$ удовлетворяли уравнениям вида где величины $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}$ — произвольные постоянные, связанные единственным условием так что $N-1$ из них независимы. Теперь уравнение (78.9) — обыкновенное дифференциальное уравнение. Если разрешить его относительно $d K_{1} / d q_{1}$, то $K_{1}$ получается квадратурой; аналогично квадратурами получаются $K_{2}, \ldots, K_{N}$, и имеем полный интеграл уравнения $Г \mathrm{a}-$ мильтона — Якоби (78.2) в форме (78.8), содержацей $N$ произвольных постоянных (напоминаем, что аддитивная постоянная отбрасывается при переходе от $U: \kappa \quad J$ ). Одним из частных случаев, когда $H(q, p)$ может быть представлена в виде (78.5), являются системы тина Лиу- вилля ${ }^{1}$, для которых кинетическая и потенциальная әнергии имеют следующий ‘вид: где $A_{1}, B_{1}, V_{1}$ зависят только от $q, A_{2}, B_{2} ; V_{2}$ — только от $q_{2}$ и т. д. Соответствующая гамильтонова функция при этом имеет вид Обыкновенные дифференциальные уравнения типа (78.9), с помощью которых задача сводится к квадратурам, имеют в данном случае следующий вид: В качестве простого примера рассмотрим проблему Кеплера ${ }^{2}$ ) (§ 36). В полярных координатах $(r, \vartheta$ ) имеем следующую лагранжеву функцию: а импульсы равны но это выражение имеет форму (78.12). Уравнение Гамильтона — Якоби (78.2) выглядит теперь так: Полный интеграл его получаем в форме где $a$ и $E$ — произвольные постоянные, а $F$ получается квадратурой из уравнения Согласно (78.3) траектории определяются уравнениями Очевидно, что такой метод можно применить, когда потенциал является любой функцией $r$. Метод разделения переменных требует специального выбора системы координат. Так, в проблеме Кеплера ничего не удалось бы сделать, пользуясь прямоугольными декартовыми координатами. В проблеме с двумя центрами притяжения можно разделить переменные, преобразуя прямоугольные декартовы координаты $(x, y$ ) в эллиптические координаты $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ) по формулам если центры притяжения находятся в точках $x= \pm c$. Если один притягивающий центр удаляется на бесконечность, а сила притяжения к нему бесконечно возрастает, то приходим в пределе к задаче о заряженной частице, движущейся в поле, которое является наложением однородного электрического поля на поле Кулона (штаркэффект $)^{\mathbf{1}}$ ).
|
1 |
Оглавление
|