Пусть гамильтонова функция не содержит явно времени (консервативная система; ср. § 62; этот случай часто встречается на практике). Применим теорию, развитую в предыдущем параграфе; будем отыскивать функцию $J$, как в (77.4), в форме
\[
J=-E t+K\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, a_{1}, \ldots, a_{N-1}, E\right),
\]

где $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N+1}, E$ – произвольные постоянные. Тогда согласно (77.3) функция $K$ должна удовлетворять уравнению
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \frac{\partial K}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial K}{\partial q_{N}}\right)=E .
\]

Когда такой полный интеграл найден, уравнения (77.5) и (77.6) дают для траекторий следующие уравнения:
\[
b_{1}=\frac{\partial K}{\partial a_{1}}, \ldots, \quad b_{N-1}=\frac{\partial K}{\partial a_{N-1}}, \quad b_{N}=-t+\frac{\partial K}{\partial E},
\]
n
\[
p_{1}=\frac{\partial K}{\partial q_{1}}, \ldots, p_{N-1}=\frac{\partial K}{\partial q_{N-1}}, \quad p_{N}=\frac{\partial K}{\partial q_{N}} .
\]

Первые $N-1$ уравнений (78.3) определяют кривую в пространстве $Q$, а последнее – время $t$. Величина $H$ имеет постоянное значение в течение движения (это – следствие условия $\partial H / \partial t=0$ ) и это постоянное значение равно $E$.

Уравнение Гамильтона – Якоби (78.2) иногда монно решить с помощью метода разделения переменных. Пусть $H$ – функция вида
\[
H(q, p)=\frac{H_{1}+H_{2}+\ldots+H_{N}}{A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{N}},
\]

где $H_{1}, A_{1}$ – зависят только от переменных $q_{1}, p_{1} ; H_{2}, A_{2}$ зависят только от $q_{2}, p_{2}$ и т. д. Тогда уравнение (78.2) можно написать в форме
\[
D_{1}+D_{2}+\ldots+D_{N}=0,
\]

где
\[
D_{1}=H_{1}\left(q_{1}, \frac{\partial K}{\partial q_{1}}\right)-E A_{1}\left(q_{1}, \frac{\partial K}{\partial q_{1}}\right),
\]
$D_{2}, \ldots, D_{N}$ имеют аналогичные выражения. Уравнение (78.6) будет удовлетворено, если положить
\[
\begin{array}{l}
K=K_{1}\left(q_{1}, a_{1}, E\right)+K_{2}\left(q_{2}, a_{2}, E\right)+\ldots+ \\
+K_{N}\left(q_{N}, a_{N}, E\right) .
\end{array}
\]

Потребуем при этом, чтобы $K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{N}$ удовлетворяли уравнениям вида
\[
H_{1}\left(q_{1}, \frac{d K_{1}}{d q_{1}}\right)-E A_{1}\left(q_{1}, \frac{d K_{1}}{d q_{1}}\right)=a_{1},
\]

где величины $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}$ – произвольные постоянные, связанные единственным условием
\[
a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{N}=0,
\]

так что $N-1$ из них независимы. Теперь уравнение (78.9) – обыкновенное дифференциальное уравнение. Если разрешить его относительно $d K_{1} / d q_{1}$, то $K_{1}$ получается квадратурой; аналогично квадратурами получаются $K_{2}, \ldots, K_{N}$, и имеем полный интеграл уравнения $Г \mathrm{a}-$ мильтона – Якоби (78.2) в форме (78.8), содержацей $N$ произвольных постоянных (напоминаем, что аддитивная постоянная отбрасывается при переходе от $U: \kappa \quad J$ ).

Одним из частных случаев, когда $H(q, p)$ может быть представлена в виде (78.5), являются системы тина Лиу-

вилля ${ }^{1}$, для которых кинетическая и потенциальная әнергии имеют следующий ‘вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
T & =\frac{1}{2}\left(A_{1}+\ldots+A_{N}\right)\left(B_{1} \dot{q}_{1}^{2}+\ldots+B_{N} \dot{q}_{N}^{2}\right), \\
V & =\frac{V_{1}+\ldots+V_{N}}{A_{1}+\ldots+A_{N}},
\end{array}\right\}
\]

где $A_{1}, B_{1}, V_{1}$ зависят только от $q, A_{2}, B_{2} ; V_{2}$ – только от $q_{2}$ и т. д. Соответствующая гамильтонова функция при этом имеет вид
\[
H=\frac{\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2} / B_{1}+\ldots+p_{N}^{2} / B_{N}\right)+V_{1}+\ldots+V_{N}}{A_{1}+\ldots+A_{N}} .
\]

Обыкновенные дифференциальные уравнения типа (78.9), с помощью которых задача сводится к квадратурам, имеют в данном случае следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d K_{1}}{d q_{1}}\right)^{2}=2 B_{1}\left(E A_{1}-V_{1}+a_{1}\right), \ldots \\
\left(\frac{d K_{N}}{d q_{N}}\right)^{2}=2 B_{N}\left(E A_{N}-V_{N}+a_{N}\right) . \\
\end{array}
\]

В качестве простого примера рассмотрим проблему Кеплера ${ }^{2}$ ) (§ 36). В полярных координатах $(r, \vartheta$ ) имеем следующую лагранжеву функцию:
\[
L=T-V=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+\dot{r}^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right)+\frac{\mu}{r} .
\]

а импульсы равны
\[
p_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\dot{r}, \quad p_{\vartheta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}=r^{2} \dot{\vartheta}
\]
(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтонова функция равна тогда
\[
\begin{aligned}
H=\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}+\dot{\vartheta} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}-L & =T+V= \\
& =\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\vartheta}^{2}\right)-\frac{\mu}{r},
\end{aligned}
\]

но это выражение имеет форму (78.12). Уравнение Гамильтона – Якоби (78.2) выглядит теперь так:
\[
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial K}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial K}{\partial \vartheta}\right)^{2}\right]-\frac{\mu}{r}=E .
\]

Полный интеграл его получаем в форме
\[
K=F(r, a, E)+a \vartheta,
\]

где $a$ и $E$ – произвольные постоянные, а $F$ получается квадратурой из уравнения
\[
\left(\frac{d F}{d r}\right)^{2}=2 E+\frac{2 \mu}{r}-\frac{a^{2}}{r^{2}} .
\]

Согласно (78.3) траектории определяются уравнениями
\[
b_{1}=\frac{d F}{d a}+\vartheta, \quad b_{2}=-t+\frac{\partial F}{\partial E} .
\]

Очевидно, что такой метод можно применить, когда потенциал является любой функцией $r$.

Метод разделения переменных требует специального выбора системы координат. Так, в проблеме Кеплера ничего не удалось бы сделать, пользуясь прямоугольными декартовыми координатами. В проблеме с двумя центрами притяжения можно разделить переменные,

преобразуя прямоугольные декартовы координаты $(x, y$ ) в эллиптические координаты $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ) по формулам
\[
x=c \operatorname{ch} q_{1} \cos q_{2}, \quad y=c \operatorname{sh} q_{1} \sin q_{2},
\]

если центры притяжения находятся в точках $x= \pm c$. Если один притягивающий центр удаляется на бесконечность, а сила притяжения к нему бесконечно возрастает, то приходим в пределе к задаче о заряженной частице, движущейся в поле, которое является наложением однородного электрического поля на поле Кулона (штаркэффект $)^{\mathbf{1}}$ ).
Релятивистская проблема Кеплера исследована в § 116.