Пусть $V(x_1,x_2,x_3)$ — потенциальная функция, и пусть
$$\mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })=mc\sqrt{-x_r^{\prime }{x}_r^{\prime }}-\frac{iV{x}_4^{\prime }}{c}$$
— однородный лагранжиан для частицы постоянной собственной массы $m$, движущейся в этом поле. Это выражение не является лоренц-инвариантным; необходимо выбрать специальную систему отсчета.
Можно написать
$$\mathrm{\Lambda }(x,\lambda )=mc\sqrt{-{\lambda }_T{\lambda }_r}-\frac{iV{\lambda }_4}{c},$$

а соответствующий обыкновенный лагранжиан $L$ определяется формулами
$$\begin{array}{c}Ldt=\mathrm{\Lambda }(x,dx)=mcds+Vdt\\ L=\frac{m{c}^2}{\gamma }+V.\end{array}\}$$

Согласно (110.13) уравнения движения принимают вид
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{ds}(-mc{\lambda }_{\rho })+\frac{i}{c}\frac{\partial V}{\partial x_{\rho }}{\lambda }_4& =0,\\ \frac{d}{ds}(-mc{\lambda }_4-\frac{iV}{c})& =0,\end{array}\}$$

так что имеют место следующие уравнения:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(m\gamma v_{\rho }\right)=-\frac{\partial V}{\partial x_{\rho }},\\ m\gamma c^2+V=K,\end{array}\}$$

где $K$ — постоянная (постоянная энергии).
Для того чтобы обсудить движение гармонического осциллятора, рассмотрим движение вдоль оси $x_1$ при $V=\frac{1}{2}{k}^2{x}_1^2$. Пусть частица начинает двигаться от начала координат с начальной скоростью $v=v_0$. Тогда согласно последнему уравнению (114.5) имеем
$$\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=K-V,\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}=K.$$

Частица приходит в состояние покоя в $x=a$ (полагаем для простоты $x_1=x$ ), где $a$ определяется из выражения
$$m{c}^2=K-\frac{1}{2}{k}^2{a}^2,$$

и постоянные $v_0$ и $а$ связаны соотношениями
$$\begin{array}{c}K=m{c}^2+\frac{1}{2}{k}^2{a}^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}},\\ \frac{1}{2}{k}^2{a}^2=m{c}^2({\gamma }_0-1),{\gamma }_0=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}\end{array}\}$$

и следовательно, период гармонического осциллятора $\tau$ определяется следующими формулами:
$$\begin{array}{r}\tau =4{\int }_{x=0}^{x=a}dt=4{\int }_0^a\frac{dx}{v}=\frac{4}{c}{\int }_0^a\frac{(K-V)dx}{(K-V{)}^2-m^2{c}^4}=\\ =\frac{2a}{cx}{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{(1+2x^2{\cos }^2\phi )d\phi }{\sqrt{1+x^2{\cos }^2\phi }},\end{array}$$

где
$$x^2=\frac{k^2{a}^2}{4m{c}^2}.$$

Формула (114.10) — точная; разлагая в ряд по степеням $x$, получаем
$$\tau =2\pi \frac{\sqrt{m}}{k}(1+\frac{3}{16}\frac{k^2{a}^2}{m{c}^2}+\dots ),$$

в котором первый член есть ньютонов период.