Пусть $V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ – потенциальная функция, и пусть
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=m c \sqrt{-x_{r}^{\prime} x_{r}^{\prime}}-\frac{i V x_{4}^{\prime}}{c}
\]
– однородный лагранжиан для частицы постоянной собственной массы $m$, движущейся в этом поле. Это выражение не является лоренц-инвариантным; необходимо выбрать специальную систему отсчета.
Можно написать
\[
\Lambda(x, \lambda)=m c \sqrt{-\lambda_{T} \lambda_{r}}-\frac{i V \lambda_{4}}{c},
\]

а соответствующий обыкновенный лагранжиан $L$ определяется формулами
\[
\left.\begin{array}{c}
L d t=\Lambda(x, d x)=m c d s+V d t \\
L=\frac{m c^{2}}{\gamma}+V .
\end{array}\right\}
\]

Согласно (110.13) уравнения движения принимают вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d}{d s}\left(-m c \lambda_{\rho}\right)+\frac{i}{c} \frac{\partial V}{\partial x_{\rho}} \lambda_{4} & =0, \\
\frac{d}{d s}\left(-m c \lambda_{4}-\frac{i V}{c}\right) & =0,
\end{array}\right\}
\]

так что имеют место следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(m \gamma v_{\rho}\right)=-\frac{\partial V}{\partial x_{\rho}}, \\
m \gamma c^{2}+V=K,
\end{array}\right\}
\]

где $K$ – постоянная (постоянная энергии).
Для того чтобы обсудить движение гармонического осциллятора, рассмотрим движение вдоль оси $x_{1}$ при $V=\frac{1}{2} k^{2} x_{1}^{2}$. Пусть частица начинает двигаться от начала координат с начальной скоростью $v=v_{0}$. Тогда согласно последнему уравнению (114.5) имеем
\[
\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=K-V, \quad \frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}}}=K .
\]

Частица приходит в состояние покоя в $x=a$ (полагаем для простоты $x_{1}=x$ ), где $a$ определяется из выражения
\[
m c^{2}=K-\frac{1}{2} k^{2} a^{2},
\]

и постоянные $v_{0}$ и $а$ связаны соотношениями
\[
\left.\begin{array}{c}
K=m c^{2}+\frac{1}{2} k^{2} a^{2}=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}}}, \\
\frac{1}{2} k^{2} a^{2}=m c^{2}\left(\gamma_{0}-1\right), \quad \gamma_{0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}}}
\end{array}\right\}
\]

и следовательно, период гармонического осциллятора $\tau$ определяется следующими формулами:
\[
\begin{array}{r}
\tau=4 \int_{x=0}^{x=a} d t=4 \int_{0}^{a} \frac{d x}{v}=\frac{4}{c} \int_{0}^{a} \frac{(K-V) d x}{(K-V)^{2}-m^{2} c^{4}}= \\
=\frac{2 a}{c x} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\left(1+2 x^{2} \cos ^{2} \varphi\right) d \varphi}{\sqrt{1+x^{2} \cos ^{2} \varphi}},
\end{array}
\]

где
\[
x^{2}=\frac{k^{2} a^{2}}{4 m c^{2}} .
\]

Формула (114.10) – точная; разлагая в ряд по степеням $x$, получаем
\[
\tau=2 \pi \frac{\sqrt{m}}{k}\left(1+\frac{3}{16} \frac{k^{2} a^{2}}{m c^{2}}+\ldots\right),
\]

в котором первый член есть ньютонов период.