Если на систему из $P$ частиц действуют ударные импульсы $\hat{\boldsymbol{F}}_{i}$, то
\[
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \boldsymbol{w}_{i}=\sum \hat{\boldsymbol{F}}_{i} \cdot \boldsymbol{w}_{i},
\]

где $\boldsymbol{w}_{i}$ – произвольные векторы и $\boldsymbol{v}_{i}, \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}$ – скорости частиц до и после приложения ударных импульсов. Здесь и ниже суммирование производится по $i=1, \ldots, P$.

Уравнение (60.1) можно рассматривать как особую форму принципа Даламбера (§ 45), справедливую для движения под действием ударного импульса ${ }^{1}$ ).

Система может быть подчинена связям, вследствие которых определоншые частицы должны оставаться нөцодвижными или двигаться по гладким неподвижным кривым или поверхностям; связи могут быть также такими, что расстояния между некоторыми частицами остаются постоянными (жесткость). Такие связи могут сохраниться при действии ударных импульсов; они могут также внезапно появиться или внезапно разрушиться. В любом случае можно разбить ударный импульс на две части:
\[
\hat{\boldsymbol{F}}_{i}=\hat{\boldsymbol{P}}_{i}+\hat{\boldsymbol{R}}_{i},
\]

где $\hat{\boldsymbol{P}}_{i}$ – данные (или приложенные) ударные импульсы, a $\hat{\boldsymbol{R}}_{i}$ – ударные импульсы, обусловленные связями. Последние удовлетворяют условию
\[
\sum \hat{\boldsymbol{R}}_{i} \cdot \boldsymbol{w}_{i}=0,
\]

если $w_{i}$ – скорости, удовлетворяющие связи.

а) Теорема Карно (первая часть). Если к системе не приложены ударные импульсы, то внезапное наложение связей уменьшает кинетическую энергию системы ${ }^{1}$ ).

Для того чтобы доказать эту теорему, выберем $w_{i}$ равными $v_{i}$; правая часть уравнения (60.1) обращается в нуль по (60.3) и имеем уравнение
\[
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}=0 .
\]

Потеря кинетической энергии, может быть, поэтому представлена положительно определенным выражевием
\[
\begin{aligned}
T-T^{\prime}=\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}-\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}= \\
=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)>0 .
\end{aligned}
\]
в) Теорема Карно (вторая часть). Кинетическая энергия возрастает, если жесткие ${ }^{2}$ ) связи разрушаются «взрывом».

В случае «взрыва» ударные импульсы, действующие между частицами системы, попарно равны и противоположно направлены вдоль прямых, соединяющих их (подобно действию и противодействию в третьем законе Ньютона). Хотя они и появляются такими «взаимно уравновепивающимися» парами, это именно ударные импульсы $\hat{\boldsymbol{F}}_{i}$, а не ударные импульсы $\hat{R}_{i}$, обусловленные связями; последние и будут представлены в тех жестких связях, которые остаются после взрыва неразрушенными.

По тем же геометрическим соображениям, согласно которым реакции обыкновенных жестких связей не совершают работы, имеет место уравнение
\[
\sum \hat{\boldsymbol{P}}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}=0 .
\]

Здесь $v_{i}$ – скорости перед взрывом. Имеем также уравнение
\[
\sum \hat{\boldsymbol{R}}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}=0,
\]

а отсюда, долагая в уравнении (60.1) $w_{i}=v_{i}$, получаем
\[
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}=0 .
\]

Следовательно, приращение кинетической энергии можно представить положительно определенным выражением
\[
\begin{array}{c}
T^{\prime}-T=\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i} \cdot v_{i}= \\
=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-v_{i}\right) \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right)>0 .
\end{array}
\]

ү) Теорема Кельвина. Если система, первоначально находившаяся в покое, приведена в движение ударными импульсами, приложенными к некоторым определенным частицам системы, причем ударные импульсы таковы, что скорости этих частиц приобретают наперед заданные значения, то кинетическая энергия этого движения меньше, чем кинетическая энергия любого мыслимого движения, возможного при связях, наложенных на систему, для которого все указанные частицы имеют те же наперед заданные скорости.

Пусть $v_{i}$ – действительные скорости и $v_{i}^{\prime \prime}$ – скорости в мыслимом движении, так что для выбранных частиц $v_{i}^{\prime}=v_{i}^{\prime \prime}$. Тогда если $w_{i}=v_{i}^{\prime}-v_{i}^{\prime \prime}$, то имеет место уравнөние
\[
\sum \hat{\boldsymbol{P}}_{\boldsymbol{i}} \cdot \boldsymbol{w}_{\boldsymbol{i}}=0,
\]

потому что $\hat{\boldsymbol{P}}_{i}=0$ для всех частиц, кроме выбранных, а для них $\boldsymbol{w}_{i}=0$. Кроме того, выполняется уравнение
\[
\sum \hat{\boldsymbol{R}}_{i} \cdot w_{i}=0,
\]

так как $\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}, \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}$ удовлетворяют связям. Полагая в уравнении (60.1) $v_{i}=0$ (так как первоначально система находится в покое), имеем уравнение
\[
\sum m_{i} v_{i}^{\prime} \cdot\left(v_{i}^{\prime}-v_{i}^{\prime \prime}\right)=0 .
\]

Отсюда $T^{\prime \prime}-T^{\prime}$ можно представить положительно опре-

деленным выражением
\[
\begin{aligned}
T^{\prime \prime}-T^{\prime} & =\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}-\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}= \\
& =\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)>0 .
\end{aligned}
\]
§) Теорема Бертрана. Пусть на некоторую движущуюся систему действуют данные ударные импульсы, вследствие чего ее кинетическая энергия делается равной $T^{\prime}$. Тогда $T^{\prime}>T^{\prime \prime}$, где $T^{\prime \prime}-$ кинетическая энергия, возникающая вследствие приложения тех же ударных имшульсов $к$ системе в том же начальном движении, но подчиненной связям, совместным с этим движением.

Пусть $\boldsymbol{v}_{i}$ – начальные скорости, $\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-$ конечные скорости при отсутствии дополнительных связей и $v_{i}^{\prime \prime}$ скорости при наличии этих связей. Если $\hat{\boldsymbol{R}}_{i}^{\prime}$ и $\hat{\boldsymbol{R}}_{i}^{\prime \prime}-$ ударные импульсы связей в этих двух случаях, то имеем уравнения
\[
\sum \hat{\boldsymbol{R}}_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}=0, \quad \sum \hat{\boldsymbol{R}}_{i}^{\prime \prime} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}=0,
\]

принимая во внимание только дополнительные связи. Поскольку согласно уравнению (60.1) $\hat{\boldsymbol{P}}_{i}$ – заданные ударные импульсы, то получаем уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}=\hat{\boldsymbol{P}}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}, \\
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}-\boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}=\hat{\boldsymbol{P}}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}
\end{array}\right\}
\]

Затем, вычитая их друг из друга, получаем уравнение
\[
\sum m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}=0 .
\]

Поэтому $T^{\prime}-T^{\prime \prime}$ можно представить положительно определенным выражением
\[
\begin{aligned}
T^{\prime}-T^{\prime \prime} & =\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\frac{1}{2} \sum m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}= \\
& =\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(v_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}\right) \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime \prime}\right)>0
\end{aligned}
\]