В главах Д II-VI были введены различные пространства изображений для того, чтобы пролить свет на математическую структуру гамильтоновой динамики. Несмотря на разнообразие представлений, все они связаны между собой теорией одного типа, теорией, основанной на допущении уравнения энергии $\mathrm{\Omega }(x,y)=0$ или на гамильтониане $H(q,t,p)$. Из этих пространств пространства $QT,QTPH$ и $QTP$ лучше других подходят для обсуждения теории наиболее общего типа: $PH$ имеет несколько более узкий интерес в связи с проблемами столкновений; $Q$ — полезно в случае консервативных гамильтоновых систем (для которых $H=H(q,p)$ ), а также для негамильтоновой динамики.

Мы переходим к последнему пространству изображений — $2N$-мерному фазовому пространству $QP$, в котором координатами ${}^1$ ) точки являются $q_{\rho },p_{\rho }$. Вероятно, пространство $QP$ наиболее знакомо физикам в связи с использованием его в статистической механике ${}^2$ ).

При изучении гамильтоновой динамики в $QP$ нужно рассматривать время $t$ как параметр, а гамильтониан как заданную функцию $H(q,t,p)$ переменных $(q,p)$ п этого параметра. Канонические уравнения
$${\dot{q}}_{\rho }=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }},{\dot{p}}_{\rho }=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}$$

описывают движение изображающей точки в пространстве $QP$. Нужно различать общий случай ( $\partial H/\partial teq0$ ) и случай консервативности ( $\partial H/\partial t=0$ ). В случае консервативной системы имеем
$$H=H(q,p)$$

и видим, что $QP$ заполнено естественной конгруэнцией с уравнениями
$$\frac{d{q}_1}{\frac{\partial H}{\partial p_1}}=\dots =\frac{d{q}_N}{\frac{\partial H}{\partial p_N}}=-\frac{d{p}_1}{-\frac{\partial H}{\partial q_1}}=\dots =\frac{d{p}_N}{-\frac{\partial H}{\partial q_N}};$$

каждая кривая конгруэнции (т. е. каждая траектория) лежит на ( $2N-1)$-мерной поверхности, уравнение которой имеет вид
$$H(q,p)=E,$$

где $E=$ const. Соответствующая картина для случая, когда $H=H(q,t,p)$, более сложна потому, что направление траектории в точке пространства $QP$ зависит от значения $t$, так что существует ${\mathrm{\infty }}^1$ возможных направлений в точке пространства, зависящих от значения $t$.

В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только консервативные системы, для которых функция $H$ имеет вид (96.2).

Сравнивая (86.6) и (96.1), видим, что динамика консервативной системы в пространстве $QP$ с гамильтоновой функцией $H(q,p)$ математически тождественна динамике в пространстве QTPH с функцией энергии $\mathrm{\Omega }(x,y)$. Единственное отличие заключается в обозначениях.

Этот изоморфизм интересен потому, что он объединяет вместе противоположные подходы к гамильтоновой динамике. С одной стороны, динамика в пространстве QTPH имеет столь большую общность, какую только можно пожелать в настоящее время, причем как время $t$, так и гамильтониан $H$ входят в уравнения математически равноправно с $(q,p)$, так что теория вполне пригодна для применения в релятивистском случае. С другой стороны, динамика консервативной системы в $QP$ охватывает те проблемы, которые являются напболее известными в ньютоновой динамике и возникают из рассмотрения движения систем частиц и твердых тел.

Однако хотя динамика в пространстве QTPH и динамика консервативных систем в $QP$ математически изоморфны, их физические интерпретации совершенно различны и целесообразно перевести теорию, развитую для QTPH, в форму, приложимую к динамике консервативных систем в $QP$.

В таблице на стр. 336 приведены отмеченные соответствия ${}^1$ ).

Если сместить контур $C$ в пространстве $QP$ на ( $dq$, $dp$ ) вдоль естественной конгруэнции, то, как и в формуле (90.17), циркуляция изменится при этом на
$$dx(C)=d{\oint }_C{p}_{\rho }\delta q_{\rho }=-{\oint }_{C}dt\delta H.$$

Поэтому циркуляция не изменяется при перемещении, если
1) контур $C$ движется вместе с системой, так что $dt=$ const, или
2) контур $C$ проведен на изоэнергетической поверхности $H=$ const.

Канонические преобразования (88.20) здесь принимают вид
$$\begin{array}{lll}{p}_{\rho }=\frac{\partial G_1(q,q^{\prime })}{\partial q_{\rho }},& p_{\rho }^{\prime }=-\frac{\partial G^{\prime }(q,q^{\prime })}{\partial q_{\rho }^{\prime }};& (96.6\mathrm{a})\\ q_{\rho }=\frac{\partial G_2(p,p^{\prime })}{\partial p_{\rho }},& q_{\rho }^{\prime }=-\frac{\partial G_2(p,p^{\prime })}{\partial p_{\rho }^{\prime }};& (96.6\mathrm{b})\\ p_{\rho }=\frac{\partial G_3(q,p^{\prime })}{\partial q_{\rho }},& q_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial G_3(q,p^{\prime })}{\partial p_{\rho }^{\prime }};& (96.6\mathrm{c})\\ q_{\rho }=\frac{\partial G_4(p,q^{\prime })}{\partial p_{\rho }},& p_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial G_4(p,q^{\prime })}{\partial q_{\rho }^{\prime }}\end{array}$$

Здесь производящие функции произвольны и должны только удовлетворять условию несингулярности, а именно
$$\det \frac{{\partial }^2{G}_1(q,q^{\prime })}{\partial q_{\rho }\partial q_{\sigma }^{\prime }}eq0.$$

Различные производящие функции, выполняющие одно и то же преобразование, связаны уравнениями вида (88.19).

В $QTPH$ функция $\mathrm{\Omega }$ была инвариантом, а специальный параметр $w$ оставался неизменным при КП. Поэтому в $QP,H$ преобразуется как инвариант, а $t$ не изменяется. Канонические уравнения (96.1) преобразуются в следующие:
$${\ddot{q}}_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p_{\rho }^{\prime }},{\ddot{p}}_{\rho }^{\prime }=-\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q_{\rho }^{\prime }},H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime })=H(q,p).$$

Для того чтобы преобразовать траектории в пространстве $QP$ в параллельные прямые, повторим рассуждения $\mathrm{\S }{91}^1)$. Находим функцию $G(q,p^{\prime })$, удовлетворяющую уравнению Гамильтона — Якоби,
$$H(q,\frac{\partial G}{\partial q})=p_N^{\prime },\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial q_{\rho }\partial p_{\sigma }^{\prime }}eq0.$$

Тогда КП
$$p_{\rho }=\frac{\partial G(q,p^{\prime })}{\partial q_{\odot }},q_{\rho }^{\prime }=\frac{\partial G(q,p^{\prime })}{\partial p_{\rho }^{\prime }}$$

определяет гамильтониан
$$H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime })=H(q,p)=p_N^{\prime },$$

и после интегрирования траектории будут представлены следующим образом:
$$\begin{array}{l}{q}_1^{\prime }=a_1,\dots ,q_{N-1}^{\prime }=a_{N-1},q_N^{\prime }=t,\\ p_1^{\prime }=b_1,\dots ,p_{N-1}^{\prime }=b_{N-1}^{+},p_N^{\prime }=E\end{array}\}$$

где $a_i,b_i$ и $E$ — постоянные.

В случае консервативной системы всегда можно уменьшить число канонических уравнений на два с помощью интеграла энергии
$$H(q,p)=E,$$

который является очевидным следствием уравнений (96.1). Это уменьшение проводилось в § 92 и здесь достаточно отметить, как выполняется эта операция. Разрепаем уравнение (96.13) относительно одного из импульсов, например $p_N$, получая, таким образом,
$$p_N=-f(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_{N-1},E);$$

тогда система $2N-2$ полученных уравнений имеет вид (92.34), с той лишь разницей, что $\omega$ заменена на $f$.

Если дан первый интеграл $F(q,p)$, т. е. постоянная движения, то можно уменьшить число уравнений движения на два, как в § 92, решая уравнение
$$F(q,\frac{\partial G}{\partial q})=p_N^{\prime },\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial q_{\rho }\frac{\partial p_{\sigma }^{\prime }}{}}eq0$$

относительно $G(q,p^{\prime })$ и применив КГІ (96.10). Так как $p_N^{\prime }$ — шостоянная при движении, то новый гамильтониан $H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime })$ не содержит $q_N^{\prime }$ и новые уравнения движения имеют следующий вид:
$$\begin{array}{l}{\ddot{q}}_1^{\prime }=\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p_1^{\prime }},\dots ,{\dot{q}}_{N-1}^{\prime }=\frac{\partial H}{\partial p_{N-1}^{\prime }},\\ {\dot{p}}_1=-\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q_1^{\prime }},\dots ,{\dot{p}}_{N-1}^{\prime }=-\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q_{N-1}^{\prime }}\end{array}\}$$

Кроме этого, мы можем уменьшить число уравнений на два с помощью интеграла энергии (96.13).

Заметим, что решение уравнения (96.15) эквивалентно определению движения. Рёшение (96.15) может быть гораздо более простым, если $F(q,\varrho )$ будет простой функцией, аналогичной $p_1+p_2+p_3$ (ср. (92.35)).