Пусть $S$ – твердое тело, находящееся в заданном движении самого общего характера. Возьмем $S$ в качестве системы отсчета и найдем уравнения движения динамической системы относительно этого тела. В § 32 мы решали такую задачу для одной частицы. Теперь рассмотрим динамическую систему, состоящую из $P$ частиц со склерономными голономными связями, так что имеются обобщенные координаты $q_{\rho}$ $(\varrho=1,2, \ldots, N)$, определяющие конфигурацию системы относительно тела $S$; эти координаты могут свободно изменяться, не нарушая связей.

Так, например, $S$ может быть Землей, которая находится в орбитальном движении вокруг Солнца и одновременно вращается вокруг своей оси; система может быть

твердым телом, одна точка которого закренлена на Земле; $q_{\rho}$ могут быть тремя углами Эйлера относительно триәдра, закрепленного на Земле. Нап план исследования состоит в том, чтобы привести $S$ к ньютоновой системе при помощи введения фиктивных сил. Аналогично уравнению (32.1), для одной частицы, уравнения движения частиц можно записать в виде
\[
m_{i} \boldsymbol{a}_{i}^{\prime}=\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}+\boldsymbol{F}_{0 i}+\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{c} \boldsymbol{i}}+\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{t} i} \quad(i=1, \ldots, P) ; \quad \text { (50.1) }
\]

здесь $\boldsymbol{F}_{i}$ – полная сила, действующая на частицу (активная сила + сила реакции связи), а другие три вектора правой части – те же, что выражения (32.2), но с индексами $i$, при симнолах $m, \boldsymbol{r}^{\prime}, \boldsymbol{v}^{\prime}$. Пусть $\delta q_{\rho}-$ произвольные вариации обобщенных координат и пусть $\delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}$ – соответствующие смещения частиц относительно $S$. Умножив скалярно (50.1) на $\delta r_{i}^{\prime}$ и суммируя по $i$ от 1 до $P$, нолучаем уравнение
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{P} m_{i} \boldsymbol{a}_{i}^{\prime} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{0 i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+ \\
+\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{c i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{t i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} .
\end{array}
\]

Так как $a_{i}^{\prime}$ – ускорение частицы относительно тела $S$, то согласно чисто кинематической формуле (46.9) имеем следующее уравнение:
\[
\sum_{i=1}^{P} m a_{i}^{\prime} \delta r_{i}^{\prime}=\sum_{\rho=1}^{N}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{\rho}}\right) \delta q_{\rho},
\]

где $T^{\prime}\left(q, q^{\prime}\right)$ – кинетическая энергия движения относительно $S$, т. е.
\[
T^{\prime}(q, \dot{q})=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p} m_{i} \dot{r}_{i}^{\prime} \cdot \dot{r}_{i}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{P} m_{i} v_{i}^{\prime 2} .
\]

Для того чтобы провести суммирование в уравнении (50.1a) по другим индексам, определим прежде всего обобщенные силы $Q_{\rho}$ следующим образом:
\[
\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho} \delta q_{\rho} ;
\]

это – работа, произведенная активными силами; в течение виртуального перемещения система отсчета $S$ остается неподвижной. При этом силы реакции связей не входят в $Q_{\rho}$. Затем определяем $A_{\rho}, B_{\rho}, C_{\rho}(\varrho=1, \ldots$ . . ., $N$ ) уравнепиями (ср. с (32.2)):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{o i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=-\sum_{i=1}^{P} m_{i} \boldsymbol{a}_{0} \cdot \delta_{\boldsymbol{r}}^{\prime}=\sum_{\rho=1}^{N} A_{\rho} \delta q_{\rho}, \\
\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{\mathrm{c} i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=-2 \sum_{i=1}^{P} m\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=\sum_{\rho=1}^{N} B_{\rho} \delta q_{\rho}, \\
\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{t i} \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=-\sum_{i=1}^{P} m\left(\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}\right) \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}-\omega \sum_{i=1}^{P} m_{i}\left(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}\right) \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+ \\
& +\omega^{2} \sum_{i=1}^{P} m \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}=\sum_{\rho=1}^{N} C_{\rho} \delta q_{\rho},
\end{array}\right\}
\]

в которых вариации $\delta q_{\rho}$ – произвольные. В этих выражениях $\boldsymbol{a}_{0}$ и $\omega$ являются соответственно ускорением полюса $O$ (неподвижного относительно $S$ ) и угловой скоростью тела $S$; они даны как функции $t$ (так как движение $S$ задано). Отсюда $A_{\rho}$ и $C_{\rho}$ – функции переменных $(q, t)$, в то время как $B_{\rho}$ – функция $(q, \dot{q}, t)$.

После этих предварительных замечаний мы можем использовать уравнение (50.1a) для того, чтобы получить уравнения в форме Лагранжа для движения системы относительно тела $S$ в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{q}_{\rho}^{\prime}}-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{q}_{\rho}^{\prime}}=Q_{\rho}+A_{\rho}+B_{\rho}+C_{\rho} \\
(\varrho=1, \ldots, N) ;
\end{array}
\]

последние три члена, которые являются фиктивными обобщенными силами, обусловлены движением тела $S$.