Некоторые важные аспекты динамической теории лучше всего иллюстрировать, рассматривая изображающие точки в пространствах более высоких измерений, чем $N+1$-мерное пространство событий $Q T$. Эти пространства: $(2 N+2)$-мерное пространство состояний и энергии $\left.{ }^{1}\right)$ QTPH, $(2 N+1)$-мерное пространство состояний $\left.{ }^{2}\right)$ QTP и $2 N$-мерное фазовое пространство $Q P$ (как всегда, $N$ обозначает число степеней свободы системы). Рассмотрим rеперь пространство $Q T P H$, отложив $Q T P$ до гл. ДVI, а $Q P$ – до гл. ДVII. Как мы увидим, теорию, развитую для пространства $Q T P H$, можно приложить к $Q P$ простым изменениям обозначений, при условии, что система в $Q P$ консервативна $(\partial H / \partial t=0)$.
В QTPH мы берем в качестве координат ${ }^{3}$ ) изображающей точки $(2 N+2)$ величин $q_{\dot{\rho}}, t, p_{\rho}, H$ или, в обозначениях (64.1) и $\left.(67.6)^{4}\right)$,
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{\rho}=q_{\rho}, & x_{N+1}=t, \\
y_{\rho}=p_{\rho}, & y_{N+1}=-H .
\end{array}\right\}
\]
Переменные $y_{r}$ называют переменными, сопряженными $x_{r}$.
Динамическая система определена, если задана $(2 N+1)$-мерная поверхность энергии в QTPH и находящаяся на этой поверхности изображающая точка. Будем вообще писать уравнение поверхности энергии в виде
\[
\Omega(x, y)=0 .
\]
Данной поверхности соответствует бесконечно много уравнений, каждое из которых представляет ее. Если разрешить уравнение (86.2) относительно $y_{N+1}$, то уравнение поверхности энергии можно написать в форме
\[
\Omega(x, y)=y_{N+1}+\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}\right)=0
\]
или, в эквивалентном виде $\left.{ }^{1}\right)$,
\[
H=\omega(q, t, p) .
\]
Целесообразно расширить рамки динамики в QTPH, введя в рассмотрение функцию энергии $\Omega(x, y)$ вместо поверхности энергии. Заданной функции энергии соответствует единственная поверхность энергии с уравнением $\Omega(x, y)=0$; данной поверхности энергии соответствует бесконечно много функций энергии.
Определим лучи или траектории в пространстве QTPH посредством вариационного принципа и дополнительного условия
\[
\delta \int y_{r} d x_{r}=0, \quad \Omega(x, y)=\mathrm{const}
\]
(ср. с (68.5)), причем концевые значения $x_{r}$ фиксированы. Отсюда получаем канонические уравнения
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}},
\]
где $w-$ специальный параметр. Эти уравнения, конечно, заключают в себе условие $\Omega=$ const вдоль каждого луча или траектории. Решения системы (86.6) заполняют пространство QTPH, образуя естественную конгруэнцию лучей или траекторий, так что через каждую точку пространства проходит один луч конгруэнции; часть этих кривых заполняют поверхность энергии $\Omega=0$. Таким образом, вся совокупность динамических траекторий, включая те, которые лежат вне поверхности энергии, представляет собой более простую геометрическую картину, чем та, которую мы имели в $Q T$, где через любую точку проходили траектории в любом направлении.
