Теперь маленькие латинские индексы будут принимать значения $1,2,3,4$, а греческие – 1, 2, 3 (суммирование в обоих случаях производится по повторяющимся индексам).

Пусть $x^{r}$ – действительные координаты некоторого события в 4-мерном многообразии пространства – времени; и пусть интервал $d s$ между двумя соседними событиями определяется формулой
\[
d s^{2}=\varepsilon g_{m n} d x^{m} d x^{n},
\]

где коэффициенты – функции координат, а $\varepsilon$ берется равным +1 или -1 так, чтобы сделать $d s$ действительным.

В специальной теории относительности (а мы касаемся здесь только ее) пространство – время плоское; это

означает, что существуют действительные координаты $(x, y$, $z, t)$, такие, что
\[
d s^{2}=\varepsilon\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}-c^{2} d t^{2}\right),
\]

где $c$ – фундаментальная постоянная (скорость света).
Удобно ввести координаты Минковского с «мнимым временем», определенные следующим образом:
\[
x_{1}=x, \quad x_{2}=y, \quad x_{3}=z, \quad x_{4}=i c t ;
\]

тогда выражение (107.2) можно компактно записать как
\[
d s^{2}=\varepsilon d x_{r} d x_{r} .
\]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время $x_{4}$ окажется некоторнм источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского $x_{r}$ к действительным декартовым координатам $x^{r}$, положив $x_{\rho}=x^{\rho}, x_{4}=i x^{4}$. Нам представится случай нерейти к действительным координатам в § 111 для того, ттобы обсудить вопрос о знаке.

Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно линейных), которые сохраняют квадратичную форму $d x_{r} d x_{r}$. Любое такое преобразование имеет вид
\[
x_{r}^{\prime}=A_{r s} x_{s}+B_{r},
\]

где коэффициенты удовлетворяют условию
\[
A_{r s} A_{r t}=\delta_{s t} .
\]

Сравнение с (9.6) показывает, что, формально говоря, $A$ есть ортогональная матрица, и это наводит на мысль, что преобразование Лоренца – это «жесткое» преобразование пространства – времени в себя. В известном смысле это справедливо и очень важно для понимания преобразования Јоренца, но наличие мнимых элементов в $\boldsymbol{A}$ (обусловленных мнимостью времепи) существенно отличает геометрию преобразований Лоренца от геометрии ортогональных преобразований 4-пространства с четырьмя действительными координатами.

Нулевой конус, проведенный из любого события $a_{r}$ как из верпины (рис. 51), имеет уравнение
\[
\left(x_{r}-a_{r}\right)\left(x_{r}-a_{r}\right)=0 .
\]

События, лежащие вне нулевого конуса, удовлетворяют условию
\[
\left(x_{r}-a_{r}\right)\left(x_{r}-a_{r}\right)>0,
\]

а лежащие внутри – условию
\[
\left(x_{r}-a_{r}\right)\left(x_{r}-a_{r}\right)<0 .
\]

События внутри конуса делятся на две совокупности в зависимости от того, положительно или отрицательно
Рис. 51. Нулевой конус. Прошедшев и будущее. Времениподобный, пространственноподобный и нулевой векторы.
$\left(x_{4}-a_{4}\right) / i$. Эти две совокупности представляют собой соответственно будущее или прошедшее по отношению к событию $a_{r}$.

Смещение $d x_{r}$ из $a_{r}$ в будущее иліи в прошедшее называется времениподобным, и для него $\varepsilon=-1$; смещение на нулевом конусе называется нулевым, а смещение, направленное во вне нулевого конуса, – пространственноподобным смещением $(\varepsilon=+1)$.

Нулевой конус остается инвариантным при преобразованиях Лоренца, а следовательно, инвариантны и его внешняя и внутренняя области. Однако будущее и прошедшее могут поменяться местами; в нашем исследовании мы отбросим преобразования Лоренца, допускающие это изменение. Согласно (107.6) якобиан $J$ преобразования Лоренца есть $J= \pm 1$; преобразование называется собственным, если $J=+1$, и несобственным, если $J=-1$.

Основной постулат теории относительности состоит в том, что все законы динамики должны быть инвариантными относительно собственных лоренцовых преобразований, сохраняющих будущее. Это эквивалентно утверждению, что законы допускают геометрическое построение с помощью геометрии пространства – времени Минковского (ср. § 5). Кроме того, предполагается, что любое перемещение материальной частицы $d x_{r}$ вдоль мировой линии – времениподобное. Это эквивалентно утверждению, что ни одна частица не может передвигаться со скоростью света (ср. § 108 ниже).

Абстрактное понятие интервала $d s$ приобретает физическое содержание при помощи утверждения, что вдоль мировой линии материальной частицы $d s$ является мерой собственного времени, т. е. времени, определяемого стандартными часами, перемещающимися вместе с частицей.

Говорят, что наблюдатель галилеев (или, что употребляется чаще, галилеева система отсчета), если интервал $d s$ между любыми двумя событиями можно выразить в виде (107.2) или (107.4) через его координаты. Когда два галилеевых наблюдателя, $S$ и $S^{\prime}$, наблюдают одно и то же событие, их наблюдения связаны преобразованием Лоренца. При соответствующем выборе пространственных осей для обоих наблюдателей лоренц-преобразование, связывающее два наблюдения, может быть выражено в простой форме,
\[
x^{\prime}=\gamma(x-v t), y^{\prime}=y, z^{\prime}=z, t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right) \text {, }
\]

где
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},
\]

а $v$ – относительная скорость $S$ и $S^{\prime}$; более точно, скорость наблюдателя $S^{\prime}$ относительно $S$ есть $(v, 0,0)$, а скорость наблюдателя $S$ относительно $S^{\prime}$ есть ( $-v, 0,0$ ).