Пусть $S$ – гладкая неподвижная поверхность и $O$ – точка на ней, и пусть касательная плоскость к поверхности в точке $O$ горизонтальна. Пусть $O x y z$ – система координат, в которой ось $O z$ направлена вертикально вверх и плоскость $O x y$ совпадает с плоскостью, образуемой главными направлениями кривизны поверхности $S$, так что приближенно ее уравнение в окрестности точки $O$ имеет вид
\[
z=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{R_{1}}+\frac{y^{2}}{R_{2}}\right),
\]
где $R_{1}$ и $R_{2}$ – главные радиусы кривизны. Если частица с массой $m$ движется по поверхности $S$ под действием силы тяжести, ее точные уравнения движения имеют вид
\[
\ddot{x}=\lambda N, \quad \ddot{y}=\mu N, \quad \ddot{z}=v N-g,
\]
где $m N$ – реакция поверхности и $\lambda, \mu, v$ – направляющие косинусы нормали. С точностью до величин первого порядка относительно $x, y$ имеем соотношения
\[
\lambda=-\frac{x}{R_{1}}, \quad \mu=-\frac{y}{R_{2}}, \quad v=1 ;
\]
отсюда $N=g$ и
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\ddot{x}+k_{1}^{2} x & =0, & \ddot{y}+k_{2}^{2} y & =0, \\
k_{1}^{2} & =\frac{g}{R_{1}}, & k_{2}^{2} & =\frac{g}{R_{2}} .
\end{array}\right\}
\]
Решение имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
x=A \cos \left(k_{1} t+B\right), \\
y=C \cos \left(k_{2} t+D\right) .
\end{array}\right\}
\]
Эти кривые в плоскости $x y$ (называемые фигурами Јиссажу ${ }^{1}$ )) представляют собой результат сложения простых гармонических движений с различными частотами. Этозамкнутые кривые, если $k_{1} / k_{2}$ – рациональное число; в противном случае они заполняют ${ }^{2}$ ) весь прямоугольник $x^{2} \leqslant A^{2}, \quad y^{2} \leqslant C^{2}$.
Сферический маятник состоит из тяжелой частиды, подвешенной к неподвижной точке на легкой нерастяжимой нити. По существу, это тот же случай, что и частица, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой неподвижной сфере. Чтобы исследовать малые колебания, мы полагаем $R_{1}=R_{2}$ в изложенной выше теории; период колебания равен
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{R_{1}}{g}}
\]
и орбита (39.5) является эллипсом с центром, совпадающим с началом координат.
Значительно более сложны конечные колебания под действием силы тяжести на гладкой сфере. Выбирая центр сферы за начало системы координат, ось $O z$ которой
направлена вертикально вверх, мы найдем четыре уравнения
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{x}=-\frac{x}{a} N, \quad \ddot{y}=-\frac{y}{a} N, \quad \ddot{z}=-\frac{z}{a} N-g, \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},
\end{array}\right\}
\]
где $a$ – радиус сферы. Затем можно использовать либо сохранение энергии ( $m E$ ), либо сохранение момента импульса $(m h)$ относительно оси $O z$. Мы получаем уравнения $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(a^{2}-z^{2}\right) \dot{\varphi}=h, \quad \dot{z}^{2}=f(z), \\
f(z)=\frac{2 g}{a^{2}}\left[\left(z^{2}-a^{2}\right)\left(z-\frac{E}{g}\right)-\frac{h^{2}}{2 g}\right],
\end{array}\right\}
\]
в которых $(r, \varphi, z)$ – цилиндрические координаты. Три корня $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ кубического уравнения $f(z)$ обязательно действительные и удовлетворяют условию – $a<z_{1}<z_{2}<$ $<a<z_{3}$ и решение может быть выражено следующим образом с помощью эллиптических функций:
\[
\left.\begin{array}{l}
z-z_{1}-\left(z_{2}-z_{1}\right) \operatorname{sn}^{2} p\left(t-t_{0}\right) \\
z_{2}-z=\left(z_{2}-z_{1}\right) \mathrm{cn}^{2} p\left(t-t_{0}\right) \\
z_{3}-z=\left(z_{3}-z_{1}\right) \operatorname{dn}^{2} p\left(t-t_{0}\right)
\end{array}\right\}
\]
где
\[
p=\sqrt{\frac{g\left(z_{3}-z_{1}\right)}{2 a^{2}}}
\]
II модуль эллиптических функций равен $k$, где
\[
k^{2}=\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}} .
\]
Когда колебания малы, проекция орбиты на плоскость $x y$ есть небольшой эллипс, который вращается на малый угол $3 A / 4 a^{2}$ за оборот орбиты; $A$ – площадь эллипса. Это вращение (в том же направлении, в каком описывается орбита) нельзя смешивать с вращением Фуко (ср. § 43).
