а) Общая теория. Рассмотрим систему из $P$ частиц, такую же, как в § 44 и 45. Предположим, что система подчинена связям, вообще говоря, реономным и неголономным. Пусть $q_{\rho}(\varrho=1, \ldots, N)$ – обобщенные координаты, так что радиусы-векторы частиц можно записать как функции:
\[
\boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{r}_{i}(q, t) \quad(i=1, \ldots, P) .
\]

Пусть уравнения связей имеют вид (28.2), т. е.
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} d q_{\rho}+A_{c} d t=0 \quad(c=1, \ldots, M),
\]

где коаффициенты – заданные функции $N+1$ переменных $(q, t)$. Скорости частиц выражаются уравнениями
\[
\dot{r}_{i}=\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial r_{i}}{\partial t} \quad(i=1, \ldots, P),
\]

так что компоненты скорости являются функциями $2 N+1$ переменных $(q, \dot{q}, t)$. Как легко проверить, частные производные этих функций удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{\rho}}=\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}}, \quad \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial q_{\rho}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}} \\
(i=1, \ldots, P ; \varrho=1, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Кипетическая энергия
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{l} m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i}
\]

также является функцией $(q, \dot{q}, t)$ и ее частные производные имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}} & =\sum_{i=1}^{p} m_{i} \dot{r}_{i} \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial q_{\rho}}, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}=\sum_{i=1}^{p} m_{i} \dot{r}_{i} \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{\rho}}=\sum_{i=1}^{p} m_{i} \dot{r}_{i} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{\rho}}
\end{array}\right\}
\]

Отсюда, цринимая во внимание систему уравнений (46.4), приходим к уравнениям
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}=\sum_{i=1}^{p} m_{i} \ddot{r}_{i} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{\rho}} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Пусть $\delta q_{\rho}(\varrho=1, \ldots, N)$ – произвольная совокупность бесконечно малых величин и пусть $\delta r_{i}$ – соответствующие им смещения частиц системы, полученные дифференцированием уравнений (46.1) при фиксированном $t$, т. e.
\[
\delta_{i}=\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho} \quad(i=1, \ldots, P) .
\]

Умножая уравнения (46.7) на $\delta q_{\rho}$ и суммируя по е, получаем уравнение
\[
\sum_{\rho=1}^{N}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}\right) \delta q_{\rho}=\sum_{i=1}^{P} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \delta r_{i}
\]

Отметим, что это чисто кинематический результат. При получении его не использованы ни силы, ни уравнения движения; оно не включает также и уравнений связей (46.2).

Вводим затем обобщенную силу $Q_{p}^{*}$ (29.6), представленную в виде двух слагаемых, как в (29.6):
\[
Q_{\rho}^{*}=Q_{\rho}+Q_{\rho}^{\prime} \quad(\varrho=1, \ldots, N),
\]

где $Q_{\rho}$ – заданная (или приложенная) сила, а $Q_{\rho}^{\prime}$ – сила реакции связей. Предполагаем, что связи не производят работы в том смысле, что
\[
\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}=0
\]

для всех значений $\delta q_{\rho}$, удовлетворяющих условиям
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \delta q_{\rho}=0 \quad(c=1,2, \ldots, M) .
\]

Вернемся теперь к принципу Даламбера в форме (45.1). Выберем какие-нибудь $\delta q_{\rho}$, удовлетворяющие условиям (46.12), и пусть $\delta r_{i}$ – соответствующие перемещения частиц системы, данные формулой (46.8). Заменим первый член уравнения (45.1) с помощью уравнения (46.9); для последнего члена уравнения (45.1), приняв во внимание (46.11), имеем
\[
\delta W=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho}^{*} \delta q_{\rho}=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho} \delta q_{\rho} .
\]

Таким образом, уравнение (45.1) преобразуется к виду
\[
\sum_{\rho=1}^{N}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}-Q_{\rho}\right) \delta q_{\rho}=0
\]

для всех $\delta q_{0}$, удовлетворяюцих условпям (46.12).

Из этого последнего уравнения получим лагранжевы уравнения движения неголономной системы,
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}=Q+\sum_{c=1}^{M} \vartheta_{c} A_{c \rho}, \quad(\varrho=1, \ldots, N),
\]

где $\vartheta_{c}$ – неопределенные множители. К этим уравнениям нужно добавить уравнения связей (46.2) в форме
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \dot{q}_{\rho}+A_{c}=0 \quad(c=1, \ldots, M),
\]

так что имеем $N+M$ уравнений для определения $N+M$ величин $\left(q_{\rho}, \vartheta_{c}\right)$. Можно записать уравнения (46.15) для любой системы в явном виде, как только мы зададим вид функции $T$ и функций $Q_{\rho}$. Последние функции легче всего получить, вычисляя работу $\delta W$ и используя (46.13).
в) Голономные системы. Для голономной системы можно принять за $N$ наименьшее возможное число обобзают из уравнений (46.15) и лагранжевы уравнения движения для голономной системы имеют следующий вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}}=Q_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Но даже когда система голономна, иногда удобно рассматривать число координат больше, чем минимально необходимое. Тогда система уравнений движения состоит из уравнений (46.15) и из (интегрируемых) уравнений вида (46.16).

Если силы голономной системы имеют потенциальную функцию, т. е. имеют место уравнения (29.9) (другими словами, система имеет потенциальную энергию) или если существует обобщенная потенциальная функция вида (29.11), то уравнения движения можно записать в следующей форме:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}=0 \quad(\varrho=1, \ldots, N),
\]

гдө
\[
L=T-V .
\]

Здесь $L-$ функция $2 N+1$ переменных ( $q, \dot{q}, t$; она называется лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом. Особое достоинство уравнений (46.18) состоит в том, что уравнения движения системы могут быть составлены сразу, если задана одва-единственная функция. Необходимо указать также, что если две различные физические системы имеют лагранжеву функцию одной и той же формы, то они ведут себя одинаково.

Если умножить уравнения (46.18) на $\dot{q}_{\rho}$ и просуммировать по $е$, то результат можно преобразовать к виду
\[
\frac{d}{d t}\left(\sum_{\rho=1}^{N} \dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-L\right)+\frac{\partial L}{\partial t}=0 .
\]

Если $L$ не зависит явно от $t$ (а это может быть даже в случае реономной системы), мы имеем $\partial L / \partial t=0$; в этом случае уравнение (46.20) имеет интеграл
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-L=K
\]

Кинетическая энергия – функция второй степени относительно обобщенных скоростей ( $\left.\dot{q}_{\rho}\right)$ и ее можно представить в виде суммы
\[
T=T_{2}+T_{1}+T_{0},
\]

где индексы указывают степень однородности выражения относительно обобщенных скоростей. Если $V=V(q)$ обычная потенциальная функция, то, прилагая теорему Эйлера для однородных функций к уравнению (46.21), получим
\[
T_{2}-T_{0}+V=K .
\]

Если, кроме того, система склерономна – имеет место $T=T_{2}$ и выражение (46.23) принимает следующий вид:
\[
T+V=K,
\]

т. е. получаем уравнение энергии вли интеграл энергии вида (45.4).

ү) Иәнорируемые координаты. Рассмотрим голономную систему с лагранжөвой функцией $L$. Если одна из координат $q_{\rho}$ не входит в $L$, то говорят, что эта координата игнорируемая ${ }^{1}$ ).

Если координата $q_{\rho}$ – игнорируемая, то соответствующее уравнение движения системы (46.8) дает интеграл
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}=c_{\rho} .
\]

Это – первый интеграл уравнений движения. Если $q_{1}, \ldots, q_{M}$ – игнорируемые координаты, то имеются $M$ интегралов, аналогичных (46.25). Решая эти уравнения, получаем скорости, соответствующие игнорируемым координатам (т. е. $\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{M}$ ), как функции остальных координат и скоростей, времени $t$ и констант $c_{1}, \ldots, c_{M}$. Функция Payca $R$, определенная уравнением
\[
R=L-\sum_{\rho=1}^{M} \dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}=L-\sum_{\rho=1}^{M} \dot{q}_{\rho} c_{\rho},
\]

может быть выражена в следующей форме:
\[
R=R\left(q_{M+1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{M+1}, \ldots, \dot{q}_{N}, c_{1}, \ldots, c_{M}\right) .
\]

Этой функцией, как мы сейчас покажем, можно заменить функцию $L$ в уравнөниях движения.

Так как динамическая система может рассматриваться в любой конфигурадии в любой момент времени с любыми $\qquad$

обобщенными скоростямп, то $2 N \sim M+1$ величив
\[
q_{M+1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}
\]

можно считать независимыми переменными; соответственно $2 N-M+1$ величин
\[
q_{M+1}, \ldots, q_{N}, t, c_{1}, \ldots, c_{M}, \dot{q}_{M+1}, \ldots, \dot{q}_{N}
\]

тоже являются независимыми переменными; используя эти переменные для составления вариации раусовой функции $R$, получим из (46.27) и (46.26), приняв во внимание интегралы (46.25), выражение
\[
\begin{array}{c}
\delta R=\sum_{\rho=M+1}^{N} \frac{\partial R}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial R}{\partial t} \delta t+\sum_{\rho=M+1}^{N} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho}+ \\
+\sum_{\rho=1}^{M} \frac{\partial R}{\partial c_{\rho}} \delta c_{\rho}=\sum_{\rho=M+1}^{N} \frac{\partial L}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial L}{\partial t} \delta t+ \\
\quad+\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho}-\sum_{\rho=1}^{M}\left(\dot{q}_{\rho} \delta c_{\rho}+c_{\rho} \delta \dot{q}_{\rho}\right)= \\
=\sum_{\rho=M+1}^{N} \frac{\partial L}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial L}{\partial t} \delta t+\sum_{\rho=M+1}^{N} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho}-\sum_{\rho=1}^{M} \dot{q}_{\rho} \delta c_{\rho} .
\end{array}
\]

Отсюда, считая вариадии величин (46.29) независимыми, найдем уравнения
\[
\frac{\partial R}{\partial q_{\rho}}=\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}, \quad \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{\rho}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \quad(\varrho=M+1, \ldots, N)
\]

и
\[
\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{\partial L}{\partial t}, \quad \frac{\partial R}{\partial c_{\rho}}=-\dot{q}_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, M) .
\]

Подставляя в лагранжевы уравнения (46.18) значения частных производных функций $L$ из (46.31), получаем

уравнения движения в форме
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial R}{\partial q_{\rho}}=0 \quad(\varrho=M+1, \ldots, N) .
\]

Неизвестными в этих уравнениях являются только $N-M$ неигнорируемых координат $q_{\rho}$. Уравнения содержат постоянные $c_{1}, \ldots, c_{M}$. Исходные дифференциальные уравнения (46.18) представляют собой систему $N$ уравнений второго порядка.

В уравнениях (46.33) мы имеем систему $N-M$ уравнений второго порядка, причем лагранжева форма сохраняется с заменой $L$ на $R$. Переход от уравнений (46.18) к (46.33) называется операцией исключения игнорируемых координат.

Если система (46.33) разрешена относительно неигнорируемых координат, то игнорируемые координаты определяются формулами
\[
q_{\rho}=-\int \frac{\partial \tilde{R}}{\partial c_{\rho}} d t \quad(\varrho=1, \ldots, M) .
\]