Продолжаем рассматривать общую систему, для которой $H=H(q, t, p)$. Пусть большие индексы $A$, $A_{1}, \ldots$ принимают значения $1,2, \ldots, 2 M$, где $M \leqslant$ $\leqslant N$, а $N$, как всегда, число степеней свободы системы. Рассмотрим $\infty^{2 M}$ семейство траекторий с уравнениями
\[
q_{\rho}=q_{\rho}(u, t), \quad p_{\rho}=p_{\rho}(u, t),
\]

где $u$ означает совокупность $2 M$ величин $u_{A}$, которые постоянны вдоль каждой траектории.

Для любого фиксированного значения $t$ уравнения (98.1) определяют $2 M$-мерную поверхность в пространстве $Q P$. Пусть $D$ — некоторая область на этой поверхности, ограниченная пределами изменения $u_{A}$. Введем

следующий $2 M \times 2 M$ детерминант, зависящий от $u_{\text {A }}$ и $t$ : $\Delta_{M}\left(\varrho_{1}, \ldots, \varrho_{M}, \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{M}\right)=$

Здесь $\varrho_{1}, \ldots, \varrho_{M}, \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{M}$ — любые числа в пределах $1,2, \ldots, N$. Тогда интеграл
\[
\int_{D} \Delta_{M}\left(\varrho_{1}, \ldots, \varrho_{M}, \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{M}\right) d u_{1} \ldots d u_{2 M}
\]

инвариантен в том смысле, что он имеет одно и то же значение независимо от того, какие параметры ${ }^{1}$ ) $u_{A}$ выбраны в области $D$. Определим $\Phi_{M}$ следующим образом:
\[
\Phi_{M}=\Delta_{M}\left(\varrho_{1}, \ldots, \varrho_{M}, \varrho_{1}, \ldots, \varrho_{M}\right)
\]
(с обычным условием суммирования). Далее определим:
\[
I_{M}=\frac{1}{M !} \int_{D} \Phi_{M} d u_{1} \ldots d u_{2 M} .
\]

Его значение не зависит от выбора параметров $u_{A}$ в $D$.

Вводя символ нерестановки $\varepsilon_{A_{1}} \ldots A_{2 M}$, который кососимметричен относительно всех своих индексов и равен единице, когда они пробегают значения $1,2, \ldots, 2 M$, можно записать детерминант (98.2) в явном виде. Однако нам нужна функция $\Phi_{M}$ только в форме (98.4); она имеет вид
\[
\Phi_{M}=\varepsilon_{A_{1}} \ldots A_{2 M} \frac{\partial q_{\rho_{1}}}{\partial u_{A_{1}}} \ldots \frac{\partial q_{\rho_{M}}}{\partial u_{A_{M}}} \frac{\partial p_{\rho_{1}}}{\partial u_{A_{M+1}}} \ldots \frac{\partial p_{\rho_{M}}}{\partial u_{A_{2 M}}} .
\]

Здесь суммирование производится по каждому е в пределах $1 \ldots N$ и по каждому $A$ в пределах $1 \ldots 2 M$. Выражая $\Phi_{M}$ через скобки Лагранжа, имеем
\[
\begin{array}{r}
\Phi_{M}=\left(\frac{1}{2}\right)^{M} \varepsilon_{A_{1}} \ldots A_{2 M}\left\{u_{A_{1}}, u_{A_{M+1}}\right\}\left\{u_{A_{2}}, u_{A_{M+2}}\right\} \ldots \\
\ldots\left\{u_{A_{M}}, u_{A_{2 M}}\right\} .
\end{array}
\]

Каждые скобки Јагранжа не зависят от $t$ согласно (97.19). Поэтому $\Phi_{M}$ не зависит от $t$, и мы заключаем, что интегралы $I_{M}$, определенные формулами (98.5) для $M=$ $=1,2, \ldots, N$, являются абсолютными ${ }^{1}$ ) интегральными иняариантами.

Случай $M=N$ имеет особый интерес. Абсолютный интегральный инвариант
\[
I_{N}=\frac{1}{N !} \int_{D} \Phi_{N} d u_{1} \ldots d u_{2 N}
\]

представляет теперь интеграл, распространенный по части $2 N$-мерной области $D$ в $2 N$-мерном фазовом пространстве $Q P$. Эта область изменяется с $t$, изображающие точки перемещаются согласно каноническим уравнениям (рис. 45). Для любого произвольно выбранного значения $t$ можно исшользовать $(q, p)$ как координаты в области $D$, так

что
\[
u_{1}=q_{1}, \ldots, u_{N}=q_{N}, u_{N+1}=p_{1}, \ldots, u_{2 N}=p_{N} .
\]

Уравнения (98.2) и (98.4) дают тогда
\[
\left.\begin{array}{c}
\Delta_{N}\left(\varrho_{1}, \ldots, \varrho_{N}, \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{N}\right)=\varepsilon_{\rho_{1} \ldots \rho_{N}} \varepsilon_{\sigma_{1} \ldots \sigma_{N}}, \\
\Phi_{N}=N !
\end{array}\right\}
\]

и интегральный инвариант $I_{N}$ принимает следующий вид:
\[
I_{N}=\int_{D} d q_{1} \ldots d q_{N} d p_{1} \ldots d p_{N}=\int_{D} d q d p
\]
(если использовать сокращенное обозначение). Называя этот инвариант объемом ${ }^{\mathbf{1}}$ ) $D$, имеем теорему Лиувилля: объем любой части пространства $Q P$ сохраняется, если изображающие точки, которые образуют его, движутся согласно каноническим уравнениям.

Этот результат имеет столь большое значение в статистической механике, что мы рассмотрим его е двух точек зренияя.

Во-первых, теорема Лиувилля в той форме, в какой она доказана им ${ }^{2}$ ), на самом деле более обща, так как в ней можно не требовать ни четности пространства, ни канонической формы уравнений движения. Рассмотрим уравнения
\[
\frac{d x_{A}}{d t}=X_{A}(x, t)
\]

где правые части удовлетворяют условию
\[
\frac{\partial X_{A}}{\partial x_{A}}=0,
\]

а индексы $A$ пробегают значения 1, $2, \ldots, M$ (с обычным условием суммирования). Используем гидродинамическую терминологию вместо того, чтобы следовать рассуждениям Лиувилля. Уравнения (98.12) определяют поле скорости $v_{A}=X_{A}$ в $M$-мерном пространстве, в котором $x_{A}$ выбраны в качестве декартовых прямоугольных координат. Так же как в обычной гидродинамике выражение
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}
\]

есть расходимость (скорость возрастания единицы объема), так и в этом $M$-пространстве $\partial v_{A} / \partial x_{A}$ имеет тот же смысл, а объем определяется как $\int d x_{1} \ldots d x_{M}$. Тогда вследствие (98.13) объем сохраняется. Детали доказательства можно дополнить, выразив скорость возрастания объема, движущегося согласно уравнениям (98.12), через интеграл по ограничивающему его ( $M-1$ )-пространству и применяя теорему Грина. Очевидно, что в частности условие (98.13) выполняется, если $M$ четно и уравнения (98.12) — канонические.

Возможен другой подход с помощью канонических преобразований (КII). Суть дела здесь состоит в том, что якобиан КП равен единице (ср. с (88.29)); это остается справедливым даже в том случае, если КП $(q, p) \rightarrow\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)$ содержит $t$ как параметр. Отсюда следуют два заключения. Во-первых, совершенно безотносительно к движению, видим, что интеграл $I_{N}$ (98.11) есть удобное определение объема, так как объем, определенный таким образом, имеет одно и то же значение для всех координат ( $q, p$ ) в пространстве $Q P$, полученных из одной такой совокупности координат посредством $\mathrm{K}^{1}{ }^{1}$ ). Во-вторых, объем сохраняется при движении, потому что движение в соответствии с каноническими уравнениями состоит из бесконечно малого КП (cp. (90.4)).

В статистической механике ${ }^{1}$ ) мы рассматриваем огромное число $n$ идентичных гамильтоновых систем, отличающихся только их начальными условиями. Суперпозиция этих систем в пространстве $Q P$ дает ансамбль («облако тонкодисперсной пыли) изображающих точек с плотностью вероятности $f(q, p, t)$, такой, что $n f d q d p$ есть число изображающих точек в элементе объема $d q d p$ в момент времени $t$. Когда элемент $d q d p$ движется, согласно каноническим уравнениям его объем сохраняется, также сохраняется число изображающих точек в нем. Отсюда $d f / d t=0$ или, что эквивалентно,
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+[f, H]=0 .
\]

Это — фундаментальное дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет плотность $f$; оно определяет $f$ для любого $t$, если задано $f$ для $t=0$.