Кинетическая энергия частицы равна $T=\frac{1}{2} m v^{2}$, где $m$ – масса частицы, a $v$ – ее абсолютная скорость; для системы частиц кинетическая энергия равна
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i} \cdot v_{i} .
\]

Пусть $v$ – абсолютная скорость центра масс системы, $v_{i}$ – абсолютная скорость частицы системы, и $\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-$ ее скорость относительно дентра масс. Тогда $\boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}^{\prime}$, и выражение (25.1) превращается в следующее:
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}+\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}{ }^{2},
\]

так как $\sum_{i} m_{i} v_{i}^{\prime}=0$; здесь $m-$ голная масса системы. Это теорема Кёнига: кинетическая энергия какой-либо системы представляет собой сумму двух слагаемых: (I) абсолютной кинетической энергии некоторой фиктивной частицы массы $m$, движущейся вместе с центром масс этой системы, и (II) кинетической энергии движения относительно центра масс.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с угловой скоростью а, кинетическая энергия равна
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\omega \times r_{i}\right)^{2}= \\
=\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}-2 F \omega_{2} \omega_{3}-2 G \omega_{3} \omega_{1}-2 H \omega_{1} \omega_{2}\right),
\end{array}
\]

где $A, B, C, F, G, H$ – моменты и произведения инерции. Если оси триәдра совпадают с главными осями инерции,

то әто выражение сводится к следующему:
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right) .
\]

Если положения главных осей определяются углами Эйлера (§ 11), то согласно формулам (19.4) кинетическая энергия равна
\[
\begin{aligned}
T=\frac{1}{2} A(\dot{\vartheta} & \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi)^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} B(\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi)^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2} .
\end{aligned}
\]

При вращении вокруг неподвижной оси (независимо от того, главная это ось инерции или нет) имеем выражение
\[
T=\frac{1}{2} I \omega^{2},
\]

где $I$ – момент инерции системы относительно этой оси.
Выражая кинетическую энергию через члены симметричной матрицы инерции $I_{r s}(21.7)$, получаем для кинетической энергии следующее выражение:
\[
T=T(\omega)=\frac{1}{2} I_{r s} \omega_{r} \omega_{s},
\]

причем суммирование производится от 1 до 3 по повторяющимся индексам, и согласно выражениям (24.13) имеем следующие равенства:
\[
h_{r}=I_{r s} \omega_{s}, \quad T=\frac{1}{2} h_{r} \omega_{r} .
\]

Применяя обратную матрицу $J_{r s}$, удовлетворяющую условию $I_{r s} J_{s t}=\delta_{s t}$, имеем соотношение
\[
\omega_{r}=J_{r s} h_{s}, \quad T=T(h)=\frac{1}{2} J_{s r} h_{r} h_{s} .
\]

Поэтому
\[
\frac{\partial T(\omega)}{\partial \omega_{r}}=h_{r}, \quad \frac{\partial T^{\prime}(h)}{\partial h_{r}}=\omega_{r} .
\]

В случае, когда оси триәдра совпадают с главными осями инерции системы, кинетическая энергия выражается следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{h_{1}^{2}}{A}+\frac{h_{2}^{2}}{B}+\frac{h_{3}^{2}}{C}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(h_{1} \omega_{1}+h_{2} \omega_{2}+h_{3} \omega_{3}\right) .
\end{array}
\]
§ 26. Системы сил. Рассмотрим силы $\boldsymbol{F}_{i}(i=1,2, \ldots$ …, $P$ ), действующие на $P$ частиц с радиусами-векторами $r_{i}$ относительно полюса $O$. Будем рассматривать силы $\boldsymbol{F}_{i}$ как состоящие из двух сил: внешней силы $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$ и внутренней $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime \prime}$, причем последняя представляет собой результирующую реакций, действующих на частицу $i$ со стороны остальных частиц системы.

Примем как гипотезу или аксиому третий закон Ньютона $^{1}$ ). Он утверждает, что сила, с которой частица $i$ действует на частицу $j$, равна и противоположна силе, с которой частица $j$ действует на частицу $i$, и что обе силы направлены по прямой, соединяющей эти частицы. Этот закон обычно называется законом действия и противодействия. Он может быть записан следующим образом:
\[
\boldsymbol{F}_{i}^{\prime \prime}=\sum_{j=1}^{P} A_{i j}\left(\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i}\right) \quad(i=1,2, \ldots, p),
\]

где $A_{i j}$ – скалярные множители, удовлетворяющие условию $A_{i j}=A_{j i}$.

Для любой системы сил $F_{i}$, действующих на $r_{i}$, главный вектор (или полная сила) $\boldsymbol{F}$ и главный момент (или момент вращения) $G$ для центра приведения $O$ равны

соответственно
\[
\boldsymbol{F}=\sum_{i=1}^{p} \boldsymbol{F}_{i}, \quad \boldsymbol{G}=\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i} .
\]

Говорят, что данная система сил эквиполентна ${ }^{1}$ ) одной силе $\boldsymbol{F}$, приложенной в точке $O$, и паре сил $G$.

Заметим, что $\boldsymbol{F}$ – связанный вектор, а $\boldsymbol{G}$ – скользящий вектор. Если изменить полюс $O$, то $G$ изменится, а вектор $\boldsymbol{F}$ останется неизменным. Подходяцим выбором точки $O$ можно свести систему сил і $\boldsymbol{G}=p \boldsymbol{F}$, где $p-$ скалярный множитель.

Векторная пара $\left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}\right.$ ) называется мо́тором ${ }^{2}$ ) или торсором ${ }^{3}$ ). Она не изменится, если перенести векторы $\boldsymbol{F}_{i}$ вдоль их линий действия. Отсюда легко видеть, что внутренние силы $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime \prime}$ не вносят в нее никакого вклада. Поэтому главный вөктор и главный момент определяются следующими формулами:
\[
\boldsymbol{F}=\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{i}^{\prime}, \quad \boldsymbol{G}=\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}^{\prime}
\]

в которые входят только внешние силы. Тот факт, что внутренние силы можно исключить, имеет фундаментальное-значение в ньютоновой динамике.

Работа, произведенная силой $\left.{ }^{4}\right) \boldsymbol{F}$ при перемещении ее точки приложения на $\delta r$, равна $\boldsymbol{F} \delta \boldsymbol{r}$; в случае системы сил работа выражается формулой
\[
\delta W=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} .
\]

Если силы действуют на твердое тело, и это тело испытывает бесконечно малое перемещение, состоящее из бесконечно малого поступательного перемещения $\delta r_{0}$ и бесконечно малого вращения $\delta \chi$ вокруг полюса, то
\[
\delta r_{i}=\delta r_{0}+\delta \chi \times r_{i}^{\prime},
\]

где $\boldsymbol{r}_{i}^{\prime}$ – радиус-вектор относительно опорной точки. Работа, произведенная на этом деремещении, равна
\[
\delta W=\boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{0}+\sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{i}\left(\delta \chi \times \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}\right)=\boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{0}+\boldsymbol{G} \delta \boldsymbol{\chi},
\]

если воспользоваться обозначениями уравнений (26.2).
Пусть дана плоскость П, проходящая через точку $O$. Любое бесконечно малое вращение вокруг точки $O$ можно разложить на два бесконечно малых вращения: на вращение ( $\delta_{1} \chi$ ) вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, и на вращение ( $\delta_{2} \chi$ ) вокруг оси, лежащей в П. Если пара сил состоит из двух равных по величине и противоположных по направлению сил (с абсолютной величиной $P$ и расстоянием между ними $p$ ) в плоскости $\Pi$, то работа, произведенная парой сил при бесконечно малом вращении, равна $\pm p P \delta_{1} \chi$. Знак берется в зависимости от того, совпадают или нет направления пары и вращения.

Если две равные и противоположно направленные силы $\boldsymbol{F},-\boldsymbol{F}$ действуют на точки $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime}$, тогда работа, произведенная при произвольном бесконечно малом перемещении, равна
\[
\delta W=\boldsymbol{F}\left(\delta \boldsymbol{r}-\delta \boldsymbol{r}^{\prime}\right) .
\]

Если, кроме того, силы направлены вдоль линии, соединяющей точки, мы можем написать $\boldsymbol{F}=\vartheta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)$, где $\vartheta-$ некоторый скалярный множитель, и выражение (26.7) примет вид
\[
\delta W=\vartheta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \cdot \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) .
\]

Это выражение обращается в нуль, если расстояние $\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|$ не изменяется при перемещении. Так как по третьему закону Ньютона реакции между любыми двумя частицами системы удовлетворяют приведенным выше условиям, наложенным на $F$, то отсюда следует, что реакции в твердом теле не производят никакой работы. Другими случаями сил, не производящих работы, являются: a) реакции гладких контактов; б) реакции контактов качения (без скольжения). Все такие реакции исчезают из тех общих уравнений динамики, которые основаны на понятиях энергии или работы.