Обозначим через $S\left(x^{*}, x\right)$ характеристическую функцию, зависящую от координат двух точек в пространстве событий QTP. Это – функция (72.1), взятая с обратным знаком,
\[
S\left(x^{*}, x\right)=-\int y_{r} d x_{r} ;
\]

интеграл берется вдоль траектории, соединяющей два события. Отсюда имеют место уравнения
\[
y_{r}=-\frac{\partial S}{\partial x_{r}}, \quad y_{r}^{*}=\frac{\partial S}{\partial x_{r}^{*}} .
\]

Если подставить эти значения $y_{r}, y_{r}^{*}$ в уравнение энергии $\Omega(x, y)=0$, то получим уравнение Гамильтона – Якоби:
\[
\Omega\left(x,-\frac{\partial S}{\partial x}\right)=0 .
\]

В данном случае, аналогично § 77 , если мы имеем полный интеграл $S\left(x^{*}, x\right)$ уравнения (112.3), то уравнения (112.2) определяют траекторпи и соотнесенные им гамильтоновы 4-векторы. Величины $\left(x^{*}, y^{*}\right)$ в этих уравнениях можно рассматривать как постоянные. На самом деле необходимо только шесть постоянных, так как имеется $\infty^{6}$ траекторий. Если одна из $x^{*}$ берется как аддитивная

постоянная для $S$, а другие три величины $x^{*}$ и первые три из величин $y^{*}$ выбраны произвольно, то первые три уравнения второй группы уравнений (112.2) определяют траекторию (в действительности все траектории, так как в уравнения входят шесть произвольных постоянных).

Для свободной частицы (§111) имеем следующую функцию:
\[
S\left(x^{*}, x\right)=-y_{r}\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right),
\]

где $y_{r}$ – постоянна вдоль траектории. Полагая
\[
s=\sqrt{-\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right)\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right)},
\]

имеем аналогично уравнению (111.7)
\[
y_{r}=m c \lambda_{r}=\frac{m c\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right)}{s},
\]

а отсюда
\[
S^{\prime}\left(x^{*}, x\right)=m c \sqrt{-\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right)\left(x_{r}-x_{r}^{*}\right)}=m c s .
\]