Обозначим через $S(x^{\ast },x)$ характеристическую функцию, зависящую от координат двух точек в пространстве событий QTP. Это — функция (72.1), взятая с обратным знаком,
$$S(x^{\ast },x)=-\int y_{r}d{x}_r;$$

интеграл берется вдоль траектории, соединяющей два события. Отсюда имеют место уравнения
$$y_r=-\frac{\partial S}{\partial x_r},y_r^{\ast }=\frac{\partial S}{\partial x_r^{\ast }}.$$

Если подставить эти значения $y_r,y_r^{\ast }$ в уравнение энергии $\mathrm{\Omega }(x,y)=0$, то получим уравнение Гамильтона — Якоби:
$$\mathrm{\Omega }(x,-\frac{\partial S}{\partial x})=0.$$

В данном случае, аналогично § 77 , если мы имеем полный интеграл $S(x^{\ast },x)$ уравнения (112.3), то уравнения (112.2) определяют траекторпи и соотнесенные им гамильтоновы 4-векторы. Величины $(x^{\ast },y^{\ast })$ в этих уравнениях можно рассматривать как постоянные. На самом деле необходимо только шесть постоянных, так как имеется ${\mathrm{\infty }}^6$ траекторий. Если одна из $x^{\ast }$ берется как аддитивная

постоянная для $S$, а другие три величины $x^{\ast }$ и первые три из величин $y^{\ast }$ выбраны произвольно, то первые три уравнения второй группы уравнений (112.2) определяют траекторию (в действительности все траектории, так как в уравнения входят шесть произвольных постоянных).

Для свободной частицы (§111) имеем следующую функцию:
$$S(x^{\ast },x)=-y_r(x_r-x_r^{\ast }),$$

где $y_r$ — постоянна вдоль траектории. Полагая
$$s=\sqrt{-(x_r-x_r^{\ast })(x_r-x_r^{\ast })},$$

имеем аналогично уравнению (111.7)
$$y_r=mc{\lambda }_r=\frac{mc(x_r-x_r^{\ast })}{s},$$

а отсюда
$$S^{\prime }(x^{\ast },x)=mc\sqrt{-(x_r-x_r^{\ast })(x_r-x_r^{\ast })}=mcs.$$