Соотношение между лагранжевой и гамильтоновой динамикой становится ясным, если подойти к этому вопросу с геометрической точки зрения ${ }^{1}$.)

Пусть $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ – однородный лагранжиан и пусть $\Omega(x, y)=0$ – соответствующее уравнение энергии, полученное исключением отношений $x_{1}^{\prime}: x_{2}^{\prime}: \ldots: x_{N+1}^{\prime}$ из уравнений
\[
y_{r}=\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} .
\]

Рассмотрим пространство $Z_{N+1}$, касательное к пространству $Q T$ в точке $x_{r}$. В пространстве $Z_{N+1}$ определена евклидова метрика и прямоугольные декартовы координаты $z_{r}$. Проведем в пространстве $Z_{N+1}$ сферу единичного радиуса
\[
S: \quad z_{r} z_{r}=1 .
\]

Рассмотрим две $N$-мериые поверхности, уравнения которых
\[
\left.\begin{array}{rr}
S_{L}: & \Lambda(x, z)-1=0, \\
S_{H}: & \Omega(x, z)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $z_{i}$ – текущие координаты; величины $x_{r}$ – обычные постоянные, так как наша геометрия осуществляется в касательном пространстве $Z_{N+1}$. Будем называть $S_{L}$ поверхностью лагранжиана, а $S_{H}$ – поверхностью гамильтониана.

Полярная плоскость для любой точки $z_{r}^{*}$ относительно $S$ имеет уравнение
\[
z_{r} z_{r}^{*}=1,
\]

а поверхность, взаимно полярная к поверхности $S_{L}$ относительно $S$, представляет огибающую этих плоскостей, когда $z_{r}^{*}$ пробегает поверхность $S_{L}$. Для того чтобы найти эту огибающую, пмеем уравненія
\[
\left.\begin{array}{r}
z_{r} \delta z_{r}^{*}=0, \quad \frac{\partial \Lambda\left(x, z^{*}\right)}{\partial z_{r}^{*}} \delta z_{r}^{*}=0 \\
z_{r} z_{r}^{*}=1, \quad \Lambda\left(x, z^{*}\right)_{\lrcorner}=1 .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда следует соотношение
\[
z_{r}=\varphi \frac{\partial \Lambda\left(x, z^{*}\right)}{\partial z_{r}^{*}},
\]

где $\varphi$ – вначале неопределений ниожитель; легко видеть, rтo
\[
\varphi=\varphi \Lambda\left(x, z^{*}\right)=\varphi z_{r}^{*} \frac{\partial \Lambda\left(x, z^{*}\right)}{\partial z_{r}^{*}}=z_{r} z_{r}^{*}=1,
\]

так что уравнение (71.6) шриннмает следующий вид:
\[
z_{r}=\frac{\partial \Lambda\left(x, z^{*}\right)}{\partial z_{r}^{*}} .
\]

Поверхность, взаимно полярную с $S_{L}$, можио теперь найти, исключив из этих уравнений отношения $z_{1}^{*}: z_{2}^{*}: \ldots: z_{N+1}^{*}$, Однако сравнивая этот вывод с уравнениями (71.7), видим, тто это – тот же путь, каким мы получили уравнение энергии $\Omega=0$. Поверхностью, взаимно нолярной с $S_{L}$, является поэтому поверхность $S_{H}$. Точно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с $S_{H}$, даст $S_{L}$. Имеем теорему взаимности: поверхность гамильтониана есть взаимнополярнал поверхность лагранжиана, и обратно. Рис. 33 иллюстрирует это соотношение.
Уравнения
\[
y_{r}=\frac{\partial \Lambda\left(x, x^{\prime}\right)}{\Gamma \partial x_{r j}^{\prime}}
\]

сопоставляют любой кривой $x_{r}=x_{r}(u)$ естественный
Pис. 33. Соотношение взаимности между поверхностыо лагранжиана $S_{L}$ и поверхностью гамильтониана $S_{I I}$.

вектор импульса — энергии $y_{r}$. Обратно, пусть задан $y_{r}$ вектор импульса – энергии, удовлетворяющий уравнению энергии. Он определяет направление кривой; для которой этот вектор импульса – энергии является естественным. При нахождении поверхности, взаимно полярной к поверхности $\Omega(x, y)=0$ (где $y_{r}$ рассматриваются как текущие координаты) в форме $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=1$ (где текуцими координатами являются $x_{r}$ ), нам ппиходится иметь дело с уравнениями
\[
x_{r}^{\prime}=\vartheta \frac{\partial \Omega(x, y)}{\partial y_{r}},
\]

где $\vartheta-$ нөопределенный множитель. Эти уравненин подобно уравнениям (71.9) устанавливают соотношение между вектором $y_{r}$ и направлением кривой, т. е. между $y_{r}$ и отношениями величин $x_{r}^{\prime}$. Из обратимости операций определения взаимно полярных поверхностей следует, что уравнения (71.9) и (71.10) представляют собой различные способы выражения единственного соотношения между направлением в пространстве $Q T$ и соответствующим естественным вектором импульса – энергии $y_{r}$. B $(L, H)$-обозначениях эти уравнения дают следующую систему:
\[
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}, \quad \dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} .
\]

Эти последние уравнения являются двумя эквивалентными способами выражения единственного соотношения между скоростью $\dot{q}_{\rho}$ и естественным импульсом $p_{\rho}$.

Для того чтобы иллюстрировать проведенное геометрическое изложение, рассмотрим системы РС и ОДС (§66 и 70). Примем для простоты в PC $b_{r s}=\delta_{r s}$. Тогда, согхасно уравнению (70.1), $S_{L}$ – поверхность второго порядка, а $S_{H}$, согласно уравиению (70.3), – сфера с центром в точке $A_{r}$. Что касается ОДС, то согласно представлению (68.4), $S_{L}$ – поверхность второго порядка, проходящая через начало координат и имеющая уравнение
\[
\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} z_{\rho} z_{\sigma}-V z_{N+1}^{2}=z_{N+1},
\]

а $S_{H}$, согласно (70.12), – поверхность второго порядка с уравнением
\[
z_{N+1}+\frac{1}{2} a^{\rho \sigma} z_{\rho} z_{\sigma}+V=0 .
\]
(Действительно, это – эллипсоид вследствие положительной определенности кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица, движущаяся в пространстве, то $S_{L}$ является поверхностью вращения, а $S_{H}$ – сферой.