Соотношение между лагранжевой и гамильтоновой динамикой становится ясным, если подойти к этому вопросу с геометрической точки зрения ${}^1$.)

Пусть $\mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })$ — однородный лагранжиан и пусть $\mathrm{\Omega }(x,y)=0$ — соответствующее уравнение энергии, полученное исключением отношений $x_1^{\prime }:x_2^{\prime }:\dots :x_{N+1}^{\prime }$ из уравнений
$$y_r=\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}.$$

Рассмотрим пространство $Z_{N+1}$, касательное к пространству $QT$ в точке $x_r$. В пространстве $Z_{N+1}$ определена евклидова метрика и прямоугольные декартовы координаты $z_r$. Проведем в пространстве $Z_{N+1}$ сферу единичного радиуса
$$S:z_r{z}_r=1.$$

Рассмотрим две $N$-мериые поверхности, уравнения которых
$$\begin{array}{rr}{S}_L:& \mathrm{\Lambda }(x,z)-1=0,\\ S_H:& \mathrm{\Omega }(x,z)=0.\end{array}\}$$

Здесь $z_i$ — текущие координаты; величины $x_r$ — обычные постоянные, так как наша геометрия осуществляется в касательном пространстве $Z_{N+1}$. Будем называть $S_L$ поверхностью лагранжиана, а $S_H$ — поверхностью гамильтониана.

Полярная плоскость для любой точки $z_r^{\ast }$ относительно $S$ имеет уравнение
$$z_r{z}_r^{\ast }=1,$$

а поверхность, взаимно полярная к поверхности $S_L$ относительно $S$, представляет огибающую этих плоскостей, когда $z_r^{\ast }$ пробегает поверхность $S_L$. Для того чтобы найти эту огибающую, пмеем уравненія
$$\begin{array}{r}{z}_r\delta z_r^{\ast }=0,\frac{\partial \mathrm{\Lambda }(x,z^{\ast })}{\partial z_r^{\ast }}\delta z_r^{\ast }=0\\ z_r{z}_r^{\ast }=1,\mathrm{\Lambda }{(x,z^{\ast })}_{⌟}=1.\end{array}\}$$

Отсюда следует соотношение
$$z_r=\phi \frac{\partial \mathrm{\Lambda }(x,z^{\ast })}{\partial z_r^{\ast }},$$

где $\phi$ — вначале неопределений ниожитель; легко видеть, rтo
$$\phi =\phi \mathrm{\Lambda }(x,z^{\ast })=\phi z_r^{\ast }\frac{\partial \mathrm{\Lambda }(x,z^{\ast })}{\partial z_r^{\ast }}=z_r{z}_r^{\ast }=1,$$

так что уравнение (71.6) шриннмает следующий вид:
$$z_r=\frac{\partial \mathrm{\Lambda }(x,z^{\ast })}{\partial z_r^{\ast }}.$$

Поверхность, взаимно полярную с $S_L$, можио теперь найти, исключив из этих уравнений отношения $z_1^{\ast }:z_2^{\ast }:\dots :z_{N+1}^{\ast }$, Однако сравнивая этот вывод с уравнениями (71.7), видим, тто это — тот же путь, каким мы получили уравнение энергии $\mathrm{\Omega }=0$. Поверхностью, взаимно нолярной с $S_L$, является поэтому поверхность $S_H$. Точно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с $S_H$, даст $S_L$. Имеем теорему взаимности: поверхность гамильтониана есть взаимнополярнал поверхность лагранжиана, и обратно. Рис. 33 иллюстрирует это соотношение.
Уравнения
$$y_r=\frac{\partial \mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })}{\mathrm{\Gamma }\partial x_{rj}^{\prime }}$$

сопоставляют любой кривой $x_r=x_r(u)$ естественный
Pис. 33. Соотношение взаимности между поверхностыо лагранжиана $S_L$ и поверхностью гамильтониана $S_{II}$.

вектор импульса — энергии $y_r$. Обратно, пусть задан $y_r$ вектор импульса — энергии, удовлетворяющий уравнению энергии. Он определяет направление кривой; для которой этот вектор импульса — энергии является естественным. При нахождении поверхности, взаимно полярной к поверхности $\mathrm{\Omega }(x,y)=0$ (где $y_r$ рассматриваются как текущие координаты) в форме $\mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })=1$ (где текуцими координатами являются $x_r$ ), нам ппиходится иметь дело с уравнениями
$$x_r^{\prime }=\vartheta \frac{\partial \mathrm{\Omega }(x,y)}{\partial y_r},$$

где $\vartheta -$ нөопределенный множитель. Эти уравненин подобно уравнениям (71.9) устанавливают соотношение между вектором $y_r$ и направлением кривой, т. е. между $y_r$ и отношениями величин $x_r^{\prime }$. Из обратимости операций определения взаимно полярных поверхностей следует, что уравнения (71.9) и (71.10) представляют собой различные способы выражения единственного соотношения между направлением в пространстве $QT$ и соответствующим естественным вектором импульса — энергии $y_r$. B $(L,H)$-обозначениях эти уравнения дают следующую систему:
$$p_{\rho }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }},{\dot{q}}_{\rho }=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }}.$$

Эти последние уравнения являются двумя эквивалентными способами выражения единственного соотношения между скоростью ${\dot{q}}_{\rho }$ и естественным импульсом $p_{\rho }$.

Для того чтобы иллюстрировать проведенное геометрическое изложение, рассмотрим системы РС и ОДС (§66 и 70). Примем для простоты в PC $b_{rs}={\delta }_{rs}$. Тогда, согхасно уравнению (70.1), $S_L$ — поверхность второго порядка, а $S_H$, согласно уравиению (70.3), — сфера с центром в точке $A_r$. Что касается ОДС, то согласно представлению (68.4), $S_L$ — поверхность второго порядка, проходящая через начало координат и имеющая уравнение
$$\frac{1}{2}{a}_{\rho \sigma }{z}_{\rho }{z}_{\sigma }-V{z}_{N+1}^2=z_{N+1},$$

а $S_H$, согласно (70.12), — поверхность второго порядка с уравнением
$$z_{N+1}+\frac{1}{2}{a}^{\rho \sigma }{z}_{\rho }{z}_{\sigma }+V=0.$$
(Действительно, это — эллипсоид вследствие положительной определенности кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица, движущаяся в пространстве, то $S_L$ является поверхностью вращения, а $S_H$ — сферой.