Рассмотрим систему с $N$ степенями свободы, движение которой задано уравнениями Лагранжа (46.18), где $L$ — некоторая функция обобщенных координат $q_{\rho }$, их производных ${\dot{q}}_0$ и времени $t$. Определим обобщенные импульсы $p_{\rho }$ следующим образом:
$$p_{\rho }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}(\varrho =1,\dots ,N).$$

Если
$$\det \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }\partial {\dot{q}}_{\sigma }}eq0,$$

что имеет место в общем случае, то уравнения (47.1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей, так что мы получаем выражения
$${\dot{q}}_{\rho }=f_{\rho }(q,t,p)(\varrho =1,\dots ,N).$$

Тогда функцию $L$ можно выразңть как функцню $2N+1$ переменных ( $q,t,p$ ) п определить так называемую галильтонову бункцию $H$ при помощи уравнения
$$H(q,t,p)=\sum _{\rho =1}^N{p}_{\rho }{\dot{q}}_{\rho }-L.$$

Будем считать теперь $2N+1$ величин ( $q,t,p$ ) независимыми переменными. Обобщенные скорости выражаются через них по формулам (47.3). Для произвольной вариации функции $H$ имеем следующее выражение:
$$\begin{array}{c}\delta H=\sum _{\rho }\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }}\delta p_{\rho }+\sum _{\rho }\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}\delta q_{\rho }+\frac{\partial H}{\partial t}\delta t=\\ =\sum _{\rho }{\dot{q}}_{\rho }\delta p_{\rho }+\sum _{\rho }{p}_{\rho }\delta {\dot{q}}_{\rho }-\sum _{\rho }\frac{\partial L}{\partial {\dot{g}}_{\rho }}\delta {\dot{q}}_{\rho }-\\ -\sum _{\rho }\frac{\partial L}{\partial q_{\rho }}\delta q_{\rho }-\frac{\partial L}{\partial t}\delta t,\end{array}$$

где суммирование производится от 1 до $N$. Согласно (47.1), вторая и третья суммы правой части взаимно уничтонаются и мы получаем уравнения
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }}={\dot{q}}_{\rho },\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho }},\frac{\partial H}{\partial t}=& -\frac{\partial L}{\partial t}\\ & (\varrho =1,\dots ,N).\end{array}$$

Используя уравнения (47.1), мы можем теперь написать уравнения Јагранжа (46.18) в форме
$${\dot{q}}_{\rho }=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }},{\dot{p}}_{\rho }=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}(\varrho =1,\dots ,N).$$

Это — уравнения движения в форме Гамильтона; их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут пметь место уравнения Гамнльтопа; в

частности, уравнениями движения любой голономной системы (реономной или склерономной), допускающей цотенциальную функцию $V$ или обобщенную потенциальную функцию, будут уравнения (47.7).

Можно определить скорость изменения $H$, принимая во внимание систему (47.7):
$$\dot{II}=\sum _{\rho =1}^N(\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}{\dot{q}}_{\rho }+\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }}{\dot{p}}_{\rho })+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}.$$

Таким образом, если $H$ не зависит явно от $t$, т. е. $\frac{\partial H}{\partial t}=0$, то как следствие имеем
$$H=\text{ const. }$$

Это равенство можно называть интегралом энергии. Если $T$ представлено суммой (46.22), $T=T_2+T_1+T_0$ и $V=V(q)$, то
$$H=\sum _{\rho =1}^N{\dot{q}}_{\rho }\frac{\partial L}{\partial q_{\rho }}-L=T_2-T_0+V.$$

Если $T=T_2$ (случай, наиболее часто встречающийся в динамике), то получим
$$H=T+V,$$

таю что в этом случае $H$ равно полной энергии системы, т. е. сумме кинетической и потенциальной энергий.

Если, кроме сил, имеющих потенциальную функцию $V$ (пли обобщенную потенциальную функцию), на систему действуют силы $Q_{\rho }$, то уравнения Лагранжа (46.18) преобразуются і виду
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho }}=Q_{\rho }(\varrho =1,\dots ,N).$$

Для того чтобы преобразовать эти уравнения к форме гамильтоновых, заметим, что уравнения (47.6) были получены чисто математическими преобразованиями безотносительно к уравнениям движения и поэтому они имеют место и в данном случае. Следовательно, уравнения

Гамильтона (47.7) примут вид
$${\dot{q}}_{\rho }=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }},{\dot{p}}_{\rho }=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}+Q_{\rho }(\varrho =1,\dots ,N).$$