Рассмотрим систему с $N$ степенями свободы, движение которой задано уравнениями Лагранжа (46.18), где $L$ – некоторая функция обобщенных координат $q_{\rho}$, их производных $\dot{q}_{0}$ и времени $t$. Определим обобщенные импульсы $p_{\rho}$ следующим образом:
\[
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Если
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{\rho} \partial \dot{q}_{\sigma}}
eq 0,
\]

что имеет место в общем случае, то уравнения (47.1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей, так что мы получаем выражения
\[
\dot{q}_{\rho}=f_{\rho}(q, t, p) \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Тогда функцию $L$ можно выразңть как функцню $2 N+1$ переменных ( $q, t, p$ ) п определить так называемую галильтонову бункцию $H$ при помощи уравнения
\[
H(q, t, p)=\sum_{\rho=1}^{N} p_{\rho} \dot{q}_{\rho}-L .
\]

Будем считать теперь $2 N+1$ величин ( $q, t, p$ ) независимыми переменными. Обобщенные скорости выражаются через них по формулам (47.3). Для произвольной вариации функции $H$ имеем следующее выражение:
\[
\begin{array}{c}
\delta H=\sum_{\rho} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \delta p_{\rho}+\sum_{\rho} \frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial t} \delta t= \\
=\sum_{\rho} \dot{q}_{\rho} \delta p_{\rho}+\sum_{\rho} p_{\rho} \delta \dot{q}_{\rho}-\sum_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{g}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho}- \\
\quad-\sum_{\rho} \frac{\partial L}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}-\frac{\partial L}{\partial t} \delta t,
\end{array}
\]

где суммирование производится от 1 до $N$. Согласно (47.1), вторая и третья суммы правой части взаимно уничтонаются и мы получаем уравнения
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}=\dot{q}_{\rho}, \frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}, \frac{\partial H}{\partial t}= & -\frac{\partial L}{\partial t} \\
& (\varrho=1, \ldots, N) .
\end{aligned}
\]

Используя уравнения (47.1), мы можем теперь написать уравнения Јагранжа (46.18) в форме
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Это – уравнения движения в форме Гамильтона; их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут пметь место уравнения Гамнльтопа; в

частности, уравнениями движения любой голономной системы (реономной или склерономной), допускающей цотенциальную функцию $V$ или обобщенную потенциальную функцию, будут уравнения (47.7).

Можно определить скорость изменения $H$, принимая во внимание систему (47.7):
\[
\dot{I I}=\sum_{\rho=1}^{N}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \dot{p}_{\rho}\right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Таким образом, если $H$ не зависит явно от $t$, т. е. $\frac{\partial H}{\partial t}=0$, то как следствие имеем
\[
H=\text { const. }
\]

Это равенство можно называть интегралом энергии. Если $T$ представлено суммой (46.22), $T=T_{2}+T_{1}+T_{0}$ и $V=V(q)$, то
\[
H=\sum_{\rho=1}^{N} \dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}-L=T_{2}-T_{0}+V .
\]

Если $T=T_{2}$ (случай, наиболее часто встречающийся в динамике), то получим
\[
H=T+V,
\]

таю что в этом случае $H$ равно полной энергии системы, т. е. сумме кинетической и потенциальной энергий.

Если, кроме сил, имеющих потенциальную функцию $V$ (пли обобщенную потенциальную функцию), на систему действуют силы $Q_{\rho}$, то уравнения Лагранжа (46.18) преобразуются і виду
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}=Q_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Для того чтобы преобразовать эти уравнения к форме гамильтоновых, заметим, что уравнения (47.6) были получены чисто математическими преобразованиями безотносительно к уравнениям движения и поэтому они имеют место и в данном случае. Следовательно, уравнения

Гамильтона (47.7) примут вид
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}+Q_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]