Пусть твердое тело, относительно которого движется второе твердое тело . Для простоты описания мы можем считать неподвижным в абсолютном пространстве. Выбрав частицу тела в качестве полюса, можно описать бесконечно малое смещение , задавая смещение точки и вращение вокруг нее. Последнее есть бесконечно малый вектор вида (16.1). Мы определяем угловую скорость тела следующим уравнением:
где — бесконечно малый интервал времени, в течение которого происходит перемещение. Тогда скорость частицы тела можно представить в виде суммы
где — скорость точки и — радиус-вектор точки относительно .
Векторы , и можно определить, если задать их компоненты в некоторый момент времени в какомнибудь ортонормальном триэдре , который может быть нешодвижным относительно или относительно или может двигаться относительно их обоих. Обычно удобнее всего закрепить относительно , но в случаях симметрии, может быть, лучше, как это будет показано позже (§56), выбрать один из векторов неподвижным относительно и совместить другие с плоскостью, неподвижной в .
Так как отделено от о в уравнении (19.2), то можно рассматривать угловую скорость тела так, как если бы точка была неподвижной. Для того чтобы выразить через углы Эйлера ( ), возьмем в качестве три вектора ) (рис. 5) неподвижными относительн) . Перемещение за время может быть произведено бесконечно малыми вращениями соответственно вокруг , так что будет иметь место уравнение
Разлагая по осям , получим
Аналогично можно разложить ) по осям неподвижным относительно (рис. 5), получим при этом
Чтобы исследовать угловую скорость с помощью кватернионов и параметров Эйлера, положим, что кватернионные единицы ( ) соответствуют осям, неподвиж ным относительно . Положение частицы в момент. времени определяется уравнением вида (12.6),
где начальное положение частицы и
Из выражения (19.6) имеем
Заметим, что
и, кроме того, что
так что эти произведения являются векторами.
Если
есть угловая скорость, разложенная по нешодвижным осям, то согласно (19.2) при имеет место уравнение
Сравнивая этот результат с уравнением (19.8), получаем
где
Так как — вектор и — произвольный вектор, то уравнение (19.13) означает, что и поэтому угловая скорость равна
выражая это произведение с помощью (19.9), найдем компоненты угловой скорости по неподвижным осям :
Согласно (19.15) имеем
Этим уравнением определяются ; отсюда, очевидно,
и мы находим как компоненты угловой скорости по осям того триэдра, который первоначально совпадал с . Проводя вычисление в (19.17), найдем компоненты угловой скорости по движущимся осям ):