Пусть $S_{0}$ твердое тело, относительно которого движется второе твердое тело $S$. Для простоты описания мы можем считать $S_{0}$ неподвижным в абсолютном пространстве. Выбрав частицу $p_{0}$ тела $S$ в качестве полюса, можно описать бесконечно малое смещение $S$, задавая смещение точки $P_{0}$ и вращение вокруг нее. Последнее есть бесконечно малый вектор $\chi$ вида (16.1). Мы определяем угловую скорость $\omega$ тела $S$ следующим уравнением:
\[
\chi=\omega d t,
\]

где $d t$ – бесконечно малый интервал времени, в течение которого происходит перемещение. Тогда скорость $v$ частицы $P$ тела $S$ можно представить в виде суммы
\[
v=v_{0}+\omega \times r,
\]

где $v_{0}$ – скорость точки $P_{0}$ и $r$ – радиус-вектор точки $P$ относительно $P_{0}$.

Векторы $v_{0}$, и $r$ можно определить, если задать их компоненты в некоторый момент времени $t$ в какомнибудь ортонормальном триэдре $T$, который может быть нешодвижным относительно $S_{0}$ или относительно $S$ или может двигаться относительно их обоих. Обычно удобнее всего закрепить $\boldsymbol{T}$ относительно $S$, но в случаях симметрии, может быть, лучше, как это будет показано позже (§56), выбрать один из векторов $\boldsymbol{T}$ неподвижным относительно $S$ и совместить другие с плоскостью, неподвижной в $S_{0}$.

Так как $v_{0}$ отделено от о в уравнении (19.2), то можно рассматривать угловую скорость тела $S$ так, как если бы точка $P_{0}$ была неподвижной. Для того чтобы выразить $\omega$ через углы Эйлера ( $\$ 11$ ), возьмем в качестве $T$ три вектора $(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ) (рис. 5) неподвижными относительн) $S$. Перемещение за время $d t$ может быть произведено бесконечно малыми вращениями $d \vartheta, d \varphi, d \psi$ соответственно вокруг $J_{1}, K, k$, так что будет иметь место уравнение
\[
\boldsymbol{\omega} d t=\boldsymbol{J}_{1} d \vartheta+\boldsymbol{K} d \varphi+\boldsymbol{k} d \psi
\]

Разлагая $\left(J_{1}, K, k\right)$ по осям $(i, j, k)$, получим
\[
\left.\begin{array}{ll}
\boldsymbol{\omega}=\omega_{1} \boldsymbol{i}+\omega_{2} \boldsymbol{j}+\omega_{3} k, & \omega_{1}=\dot{\vartheta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi, \\
\omega_{2}=\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \varphi \sin \psi, & \omega_{3}=\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Аналогично можно разложить $(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}, \boldsymbol{k}$ ) по осям $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ неподвижным относительно $S_{0}$ (рис. 5), получим при этом
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\Omega}_{1} \boldsymbol{I}+\Omega_{2} \boldsymbol{J}+\Omega_{3} \boldsymbol{K}, \\
\Omega_{1}=-\vartheta \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \vartheta \cos \varphi, \\
\Omega_{2}=\dot{\vartheta} \cos \varphi+\dot{\psi} \sin \vartheta \sin \varphi, \\
\Omega_{3}=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta
\end{array}\right\}
\]

Чтобы исследовать угловую скорость с помощью кватернионов и параметров Эйлера, положим, что кватернионные единицы ( $i, j, k$ ) соответствуют осям, неподвиж ным относительно $S_{0}$. Положение $r$ частицы в момент. времени $t$ определяется уравнением вида (12.6),
\[
r=q r_{0} q^{-1},
\]

где $\quad r_{0}=x_{0} i+y_{0} j+z_{0} k-$ начальное положение частицы и
\[
\left.\begin{array}{c}
q=\lambda i+\mu j+v k+\varrho, \\
q^{-1}=-\lambda i-\mu j-v k+\varrho, \\
\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=1 .
\end{array}\right\}
\]

Из выражения (19.6) имеем
\[
\begin{aligned}
\dot{r}=\dot{q} r_{0} q^{-1} & +q r_{0} \frac{d}{d t}\left(q^{-1}\right)= \\
& =\dot{q} q^{-1} r+r q \frac{d}{d t}\left(q^{-1}\right)=\dot{q} q^{-1} r-r \dot{q} q^{-1}
\end{aligned}
\]

Заметим, что
\[
\dot{q} q^{-1}=(\dot{\lambda} i+\dot{\mu} j+\dot{v} k+\dot{\varrho})(-\lambda i-\mu j-v k+\varrho),
\]

и, кроме того, что
\[
S\left(\dot{q} q^{-1}\right)=S\left(q^{-1} \dot{q}\right)=\lambda \dot{\lambda}+\mu \dot{\mu}+
u \dot{v}+\varrho \dot{\varrho}=0,
\]

так что эти произведения являются векторами.
Если
\[
\Omega=\Omega_{1} i+\Omega_{2} \boldsymbol{j}+\Omega_{3} k
\]

есть угловая скорость, разложенная по нешодвижным осям, то согласно (19.2) при $v_{0}=0$ имеет место уравнение
\[
\dot{r}=\frac{1}{2}(\Omega r-r \Omega) \text {. }
\]

Сравнивая этот результат с уравнением (19.8), получаем
\[
a r-r a=0,
\]

где
\[
a=\Omega-2 \dot{q} q^{-1} .
\]

Так как $\boldsymbol{a}$ – вектор и $\boldsymbol{r}$ – произвольный вектор, то уравнение (19.13) означает, что $\boldsymbol{a}=0$ и поэтому угловая скорость равна
\[
\Omega=2 \dot{q} q^{-1} ;
\]

выражая это произведение с помощью (19.9), найдем компоненты угловой скорости по неподвижным осям $(i, j, k)$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Omega_{1}=2(\dot{\lambda} \varrho-\lambda \dot{\varrho}-\dot{\mu} v-\mu \dot{v}), \\
\Omega_{2}=2(\dot{\mu} \varrho-\mu \dot{\varrho}-\dot{v} \lambda+\dot{
u}), \\
\Omega_{3}=2(\dot{v} \varrho-v \dot{\varrho}-\dot{\lambda} \mu+\lambda \dot{\mu}) .
\end{array}\right\}
\]

Согласно (19.15) имеем
\[
q^{-1} \Omega q=2 q^{-1} \dot{q}=\omega_{1} i+\omega_{2} j+\omega_{3} k .
\]

Этим уравнением определяются $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$; отсюда, очевидно,
\[
\Omega=\omega_{1} q i q^{-1}+\omega_{2} q j q^{-1}+\omega_{3} q k q^{-1},
\]

и мы находим $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ как компоненты угловой скорости по осям того триэдра, который первоначально совпадал с $(i, j, k)$. Проводя вычисление в (19.17), найдем компоненты угловой скорости по движущимся осям ${ }^{1}$ ):
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{1}=2(\dot{\lambda} \varrho-\lambda \dot{\varrho}+\dot{\mu}-\mu \dot{v}), \\
\omega_{2}=2(\dot{\mu} \varrho-\mu \dot{\varrho}+\dot{v} \lambda-v \dot{\lambda}), \\
\omega_{3}=2(\dot{v} \varrho-v \dot{\varrho}+\dot{\lambda} \mu-\lambda \dot{\mu}) .
\end{array}\right\}
\]