Рассмотрим твердое тело массы $m$ с центром масс в точке $O$ и главными моментами инерции $A, B, C$ относительно точки $O$. Четыре числа $m, A, B, C$ определяют тело как динамическую систему.

Пусть $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ – обобщенные координаты, описывающие положение точки $O$ в абсолютном пространстве $S_{0}$, и пусть $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}$ – обобщенные координаты, описывающие положение тела относительно точки $O$, т. е. определяющие направления главных осей, неподвижных в теле по отношению к системе координат, неподвижной в пространстве. По теореме Кёнига (\$ 25) можно записать кинетическую энергию тела так:
\[
T^{\prime}=T_{0}(q, \dot{q})+T^{\prime}\left(q^{\prime}, \dot{q}^{\prime}\right),
\]

где $T_{0}$ – кинетическая энергия частицы с массой $m$, движущейся вместе с точкой $O$, а $T^{\prime}$ – кинетическая энергия движения относительно точки $O$; эти функции имеют вид
\[
T_{0}=\sum_{\rho, \sigma=1}^{3} a_{\rho \sigma}(q) \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}, \quad T^{\prime}=\sum_{\rho, \sigma=1}^{3} a_{\rho \sigma}^{\prime}\left(q^{\prime}\right) \dot{q}_{\rho}^{\prime} \dot{q}_{\sigma}^{\prime} .
\]

Еслп координаты $q$ – прямоугольные декартовы координаты $(x, y, z)$, то имеем
\[
T_{0}=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right),
\]

а если координаты $q^{\prime}$ – углы Эйлера $(\vartheta, \varphi, \psi)$, то имеем, как в выражении (25.5),
\[
\begin{aligned}
\tau^{\prime}=\frac{1}{2} A(\dot{\vartheta} \sin \psi & -\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi)^{2}+ \\
+ & \frac{1}{2} B(\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi)^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2} .
\end{aligned}
\]

В случае осевой симметрии ( $A=B$ ) это выражение упрощается п принимает вид
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2} A\left(\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2} .
\]

Пусть $Q_{\rho}, Q_{\rho}^{\prime}(\varrho=1,2,3)$ – обобщенные силы, такие, что работа, произведенная ими при произвольном перемещении, выражается формулой
\[
\delta W=\sum_{\rho=1}^{3} Q_{\rho} \delta q_{\rho}+\sum_{\rho=1}^{3} Q_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}^{\prime} .
\]

Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T_{0}}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T_{0}}{\partial q_{\rho}}=Q_{\rho}, \quad(\varrho=1,2,3) . \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{q}_{\rho}^{\prime}}-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{\rho}^{\prime}}=Q_{\rho}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

В левых частях уравнений координаты $q$ отделены от координат $q^{\prime}$, но это разделение, вообще говоря, не распространяется на правую часть; другими словами, задача движения твердого тела в общем случае не разделяется на две.

Эти лаграпжевы уравнения имеют место для твердого тела без связей. Они могут быть распространены также на случай наличия связей при условии, что мы включим в $Q_{\rho}$ и $Q_{\rho}^{\prime}$ силы реакции связей.

При исследовании движения твердого тела часто более удобно применять теоремы об импульсе и моменте импульса вместо лагранжевых уравнений. Согласно (44.4) п (44.7) (отбрасывая звездочки), имеем два векторных уравнения
\[
\begin{aligned}
m \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{F}, \\
\dot{\boldsymbol{h}} & =\boldsymbol{G},
\end{aligned}
\]

где $a$ – ускорение дентра масс $O, h$ – момент импульса, взятый для точки $O$ (движения относительно $O$ ), $F$ – глав-

ный вектор внешних сил, $G$ – главный момент внешних сил относительно точки $O$.

Для того чтобы с помощью этих уравнений определить движение, мы должны разложить их на компоненты по осям ортонормального триэдра. Для этого можно выбрать триэдр, неподвижный в абсолютном пространстве, либо триэдр, движущийся с телом, либо, наконец, какой-то третий. Позднее мы будем рассматривать триәдр, неподвижный относительно абсолютного пространства; для практических же целей лучше выбрать движущийся триэдр, оси которого совпадают с главными осями инерции тела.

Рассмотрим сначала произвольный ортонормальный триядр $(i, j, k)$, вращающийся с угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}$. Разлагая $\boldsymbol{h}, \boldsymbol{G}, \boldsymbol{\Omega}$ по осям этого триэдра, получим
\[
\left.\begin{array}{c}
\boldsymbol{h}=h_{1} \boldsymbol{i}+h_{2} \boldsymbol{j}+h_{3} \boldsymbol{k}, \\
\boldsymbol{G}=G_{1} \boldsymbol{i}+G_{2} \boldsymbol{j}+G_{3} \boldsymbol{k}, \\
\boldsymbol{\Omega}=\Omega_{1} \boldsymbol{i}+\Omega_{2} \boldsymbol{j}+\Omega_{3} \boldsymbol{k} .
\end{array}\right\} .
\]

Тогда, согласно (20.3), можно написать уравнение (49.9) в виде
\[
\frac{\delta \boldsymbol{h}}{\delta t}+\mathbf{\Omega} \times \boldsymbol{h}=\boldsymbol{G},
\]

или в координатной форме,
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{h}_{1}-h_{2} \Omega_{3}+h_{3} \Omega_{2}=G_{1}, \\
\dot{h}_{2}-h_{3} \Omega_{1}+h_{1} \Omega_{3}=G_{2}, \\
\dot{h}_{3}-h_{1} \Omega_{2}+h_{2} \Omega_{1}=G_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Пусть $(i, j, k)$ – главные оси инерции тела для точки $O$, а $A, B, C$ моменты инерции для этих осей. Если $\boldsymbol{-}$ угловая скорость тела, то согласно (24.14) имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{\omega}=\omega_{1} \boldsymbol{i}+\omega_{2} \boldsymbol{j}+\omega_{3} \boldsymbol{k}, \\
\boldsymbol{h}=A \omega_{1} \boldsymbol{i}+B \omega_{2} \boldsymbol{j}+C \omega_{3} \boldsymbol{k} .
\end{array}\right\}
\]

Могут иметь место три случая:
а) Несимметричное тело ( $A, B$ и $C$ – все различны). В этом случае триәдр $(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k})$, если он совпадает с главными осями инерции, должен быть закреплен в теле. Поэтому $\Omega=\omega$, и равенства (49.12) вместе с (49.13) дают эйлеровы уравнения движения твердого тела:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \dot{\omega}_{1}-(B-C) \omega_{2} \omega_{3}=G_{1}, \\
B \dot{\omega}_{2}-(C-A) \omega_{3} \omega_{1}=G_{2}, \\
C \dot{\omega}_{3}-(A-B) \omega_{1} \omega_{2}=G_{3} .
\end{array}\right\}
\]
ß) Тело имеет ось симметрии $(A=B
eq C)$. Тогда уравнения (49.14) упрощаются и принимают следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \dot{\omega}_{1}-(A-C) \omega_{2} \omega_{3} & =G_{1}, \\
A \dot{\omega}_{2}-(C-A) \omega_{3} \omega_{1} & =G_{2}, \\
C \dot{\omega}_{3} & =G_{3} .
\end{array}\right\}
\]

В этом случае для того чтобы направления $(i, j, k$ ) были главными, фиксировать их все в теле не обязательно. Достаточно зафиксировать в теле одно только направление $k$. Тогда имеем условия
\[
\Omega_{1}=\omega_{1}, \quad \Omega_{2}=\omega_{2} ;
\]
$\Omega_{3}$ остается произвольным, и уравнения (49.12) превращаются в следующую систему:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \dot{\omega}_{1}-A \omega_{2} \Omega_{3}+C \omega_{3} \omega_{2} & =G_{1}, \\
A \dot{\omega}_{2}-A \omega_{1} \Omega_{3}+C \omega_{3} \omega_{1} & =G_{2}, \\
C \dot{\omega}_{3} & =G_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Первые два уравнения можно представить в комплексной форме ${ }^{1}$ ) так:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \omega+\left(A \Omega_{3}-C \omega_{3}\right) i \omega=\Gamma, \\
\omega=\omega_{1}+i \omega_{2}, \quad \Gamma=G_{1}+i G_{2} .
\end{array}\right\}
\]

ү) Тело со сферической симметрией ( $A=B=C$ ). Теперь уравнения (49.14) еще более упрощаются,
\[
A \dot{\omega}_{1}=G_{1}, \quad A \dot{\omega}_{2}=G_{2}, \quad A \dot{\omega}_{3}=G_{3}
\]

для осей, закрепленных в теле. В этом случае мы можем выбрать $\Omega$ произвольно: если мы принимаем $\Omega=0$, то система (49.12) дает уравнения (49.19), но при этом компоненты берутся по осям, неподвижным в пространстве.

Возвратимся теперь к рассмотрению движения центра масс, определяемому уравнением (49.8); здесь также можно использовать подвижный триәдр $(i, j, k)$. Пусть $v$ – абсолютная скорость точки $O$ и спла $\boldsymbol{F}$ разложены на компоненты по осям триэдра $(i, j, k)$
\[
\begin{array}{l}
v=v_{1} \boldsymbol{i}+v_{2} \boldsymbol{j}+v_{3} \boldsymbol{k}, \\
\boldsymbol{F}=F_{1} \boldsymbol{i}+F_{2} \boldsymbol{j}+F_{3} \boldsymbol{k} .
\end{array}
\]

Тогда уравнение (49.8) можно переписать в виде
\[
m\left(\frac{\delta v}{\delta t}+\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{F},
\]

пли в координатной форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
m\left(\dot{v}_{1}-\Omega_{3} v_{2}+\Omega_{2} v_{3}\right)=F_{1}, \\
m\left(\dot{v}_{2}-\Omega_{1} v_{3}+\Omega_{3} v_{1}\right)=F_{2}, \\
m\left(\dot{v}_{3}-\Omega_{2} v_{1}+\Omega_{1} v_{2}\right)=F_{3} .
\end{array}\right\}
\]

В случае $\alpha$ ) мы полагаем $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\omega}$. Уравнения (49.14) и (49.22) представляют собой систему щести уравнений для шести компонент векторов $v$ и $\boldsymbol{1}$. Если мы найдем их как функции $t$, то для полного определения движения требуется еще один шаг. Задавая для тела шесть обобщенных координат $q$, мы выразим песть компонент $v$ и $\boldsymbol{\omega}$ как шесть дифференциальных уравнений первого порядка, чтобы определить координаты $(q$ ) как функции $t$, и, таким образом, полностью описать движение.

Аналогично исследуются случаи $\beta$ ) и $\gamma$ ). В случае $\gamma$ ) мы можем положить $\boldsymbol{\Omega}=0$ и тогда уравнения (49.22) преобразуются к виду
\[
m \dot{v}_{1}=F_{1}, \quad m \dot{v}_{2}=F_{2}, \quad m \dot{v}_{3}=F_{3} .
\]

Эта теория охватывает важный случай твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки (см. § 55-57). Тело имеет три степени свободы и его движение определено уравнением (44.5), которое формально идентично уравнению (49.9). Но теперь $h$-момент импульса, взятый для неподвижной точки, а $G$ – суммарный момент сил относительно этой точки. При этом изменении интерпретации приложима вся теория, начиная с уравнений (49:10) до (49.19) включительно; но теперь $A, B, C$ главные моменты инерции также для неподвижной точки, а не для центра масс.

В случае свободно движущегося твердого тела явное отнесение к центру масс обходят, вводя моторную символику (Motorrechnung) Штуди и Мизеса ${ }^{1}$ ).