Рассмотрим твердое тело массы $m$ с центром масс в точке $O$ и главными моментами инерции $A,B,C$ относительно точки $O$. Четыре числа $m,A,B,C$ определяют тело как динамическую систему.

Пусть $q_1,q_2,q_3$ — обобщенные координаты, описывающие положение точки $O$ в абсолютном пространстве $S_0$, и пусть $q_1^{\prime },q_2^{\prime },q_3^{\prime }$ — обобщенные координаты, описывающие положение тела относительно точки $O$, т. е. определяющие направления главных осей, неподвижных в теле по отношению к системе координат, неподвижной в пространстве. По теореме Кёнига ($ 25) можно записать кинетическую энергию тела так:
$$T^{\prime }=T_0(q,\dot{q})+T^{\prime }(q^{\prime },{\dot{q}}^{\prime }),$$

где $T_0$ — кинетическая энергия частицы с массой $m$, движущейся вместе с точкой $O$, а $T^{\prime }$ — кинетическая энергия движения относительно точки $O$; эти функции имеют вид
$$T_0=\sum _{\rho ,\sigma =1}^3{a}_{\rho \sigma }(q){\dot{q}}_{\rho }{\dot{q}}_{\sigma },T^{\prime }=\sum _{\rho ,\sigma =1}^3{a}_{\rho \sigma }^{\prime }\left(q^{\prime }\right){\dot{q}}_{\rho }^{\prime }{\dot{q}}_{\sigma }^{\prime }.$$

Еслп координаты $q$ — прямоугольные декартовы координаты $(x,y,z)$, то имеем
$$T_0=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2),$$

а если координаты $q^{\prime }$ — углы Эйлера $(\vartheta ,\phi ,\psi )$, то имеем, как в выражении (25.5),
$$\begin{array}{rl}{\tau }^{\prime }=\frac{1}{2}A(\dot{\vartheta }\sin \psi & -\dot{\phi }\sin \vartheta \cos \psi {)}^2+\\ +& \frac{1}{2}B(\dot{\vartheta }\cos \psi +\dot{\phi }\sin \vartheta \sin \psi {)}^2+\\ & +\frac{1}{2}C(\dot{\psi }+\dot{\phi }\cos \vartheta {)}^2.\end{array}$$

В случае осевой симметрии ( $A=B$ ) это выражение упрощается п принимает вид
$$T^{\prime }=\frac{1}{2}A({\dot{\vartheta }}^2+{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\vartheta )+\frac{1}{2}C(\dot{\psi }+\dot{\phi }\cos \vartheta {)}^2.$$

Пусть $Q_{\rho },Q_{\rho }^{\prime }(\varrho =1,2,3)$ — обобщенные силы, такие, что работа, произведенная ими при произвольном перемещении, выражается формулой
$$\delta W=\sum _{\rho =1}^3{Q}_{\rho }\delta q_{\rho }+\sum _{\rho =1}^3{Q}_{\rho }^{\prime }\delta q_{\rho }^{\prime }.$$

Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial T_0}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}-\frac{\partial T_0}{\partial q_{\rho }}=Q_{\rho },(\varrho =1,2,3).\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T^{\prime }}{\partial {\dot{q}}_{\rho }^{\prime }}-\frac{\partial T^{\prime }}{\partial q_{\rho }^{\prime }}=Q_{\rho }^{\prime }\end{array}\}$$

В левых частях уравнений координаты $q$ отделены от координат $q^{\prime }$, но это разделение, вообще говоря, не распространяется на правую часть; другими словами, задача движения твердого тела в общем случае не разделяется на две.

Эти лаграпжевы уравнения имеют место для твердого тела без связей. Они могут быть распространены также на случай наличия связей при условии, что мы включим в $Q_{\rho }$ и $Q_{\rho }^{\prime }$ силы реакции связей.

При исследовании движения твердого тела часто более удобно применять теоремы об импульсе и моменте импульса вместо лагранжевых уравнений. Согласно (44.4) п (44.7) (отбрасывая звездочки), имеем два векторных уравнения
$$\begin{array}{rl}m\mathit{a}& =\mathit{F},\\ \dot{\mathit{h}}& =\mathit{G},\end{array}$$

где $a$ — ускорение дентра масс $O,h$ — момент импульса, взятый для точки $O$ (движения относительно $O$ ), $F$ — глав-

ный вектор внешних сил, $G$ — главный момент внешних сил относительно точки $O$.

Для того чтобы с помощью этих уравнений определить движение, мы должны разложить их на компоненты по осям ортонормального триэдра. Для этого можно выбрать триэдр, неподвижный в абсолютном пространстве, либо триэдр, движущийся с телом, либо, наконец, какой-то третий. Позднее мы будем рассматривать триәдр, неподвижный относительно абсолютного пространства; для практических же целей лучше выбрать движущийся триэдр, оси которого совпадают с главными осями инерции тела.

Рассмотрим сначала произвольный ортонормальный триядр $(i,j,k)$, вращающийся с угловой скоростью $\mathbf{\Omega }$. Разлагая $\mathit{h},\mathit{G},\mathbf{\Omega }$ по осям этого триэдра, получим
$$\begin{array}{c}\mathit{h}=h_1\mathit{i}+h_2\mathit{j}+h_3\mathit{k},\\ \mathit{G}=G_1\mathit{i}+G_2\mathit{j}+G_3\mathit{k},\\ \mathbf{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\mathit{i}+{\mathrm{\Omega }}_2\mathit{j}+{\mathrm{\Omega }}_3\mathit{k}.\end{array}\}.$$

Тогда, согласно (20.3), можно написать уравнение (49.9) в виде
$$\frac{\delta \mathit{h}}{\delta t}+\mathbf{\Omega }\times \mathit{h}=\mathit{G},$$

или в координатной форме,
$$\begin{array}{c}{\dot{h}}_1-h_2{\mathrm{\Omega }}_3+h_3{\mathrm{\Omega }}_2=G_1,\\ {\dot{h}}_2-h_3{\mathrm{\Omega }}_1+h_1{\mathrm{\Omega }}_3=G_2,\\ {\dot{h}}_3-h_1{\mathrm{\Omega }}_2+h_2{\mathrm{\Omega }}_1=G_3.\end{array}\}$$

Пусть $(i,j,k)$ — главные оси инерции тела для точки $O$, а $A,B,C$ моменты инерции для этих осей. Если $\mathbf{-}$ угловая скорость тела, то согласно (24.14) имеем
$$\begin{array}{l}\mathit{\omega }={\omega }_1\mathit{i}+{\omega }_2\mathit{j}+{\omega }_3\mathit{k},\\ \mathit{h}=A{\omega }_1\mathit{i}+B{\omega }_2\mathit{j}+C{\omega }_3\mathit{k}.\end{array}\}$$

Могут иметь место три случая:
а) Несимметричное тело ( $A,B$ и $C$ — все различны). В этом случае триәдр $(\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k})$, если он совпадает с главными осями инерции, должен быть закреплен в теле. Поэтому $\mathrm{\Omega }=\omega$, и равенства (49.12) вместе с (49.13) дают эйлеровы уравнения движения твердого тела:
$$\begin{array}{l}A{\dot{\omega }}_1-(B-C){\omega }_2{\omega }_3=G_1,\\ B{\dot{\omega }}_2-(C-A){\omega }_3{\omega }_1=G_2,\\ C{\dot{\omega }}_3-(A-B){\omega }_1{\omega }_2=G_3.\end{array}\}$$
ß) Тело имеет ось симметрии $(A=BeqC)$. Тогда уравнения (49.14) упрощаются и принимают следующий вид:
$$\begin{array}{rl}A{\dot{\omega }}_1-(A-C){\omega }_2{\omega }_3& =G_1,\\ A{\dot{\omega }}_2-(C-A){\omega }_3{\omega }_1& =G_2,\\ C{\dot{\omega }}_3& =G_3.\end{array}\}$$

В этом случае для того чтобы направления $(i,j,k$ ) были главными, фиксировать их все в теле не обязательно. Достаточно зафиксировать в теле одно только направление $k$. Тогда имеем условия
$${\mathrm{\Omega }}_1={\omega }_1,{\mathrm{\Omega }}_2={\omega }_2;$$
${\mathrm{\Omega }}_3$ остается произвольным, и уравнения (49.12) превращаются в следующую систему:
$$\begin{array}{rl}A{\dot{\omega }}_1-A{\omega }_2{\mathrm{\Omega }}_3+C{\omega }_3{\omega }_2& =G_1,\\ A{\dot{\omega }}_2-A{\omega }_1{\mathrm{\Omega }}_3+C{\omega }_3{\omega }_1& =G_2,\\ C{\dot{\omega }}_3& =G_3.\end{array}\}$$

Первые два уравнения можно представить в комплексной форме ${}^1$ ) так:
$$\begin{array}{l}A\omega +(A{\mathrm{\Omega }}_3-C{\omega }_3)i\omega =\mathrm{\Gamma },\\ \omega ={\omega }_1+i{\omega }_2,\mathrm{\Gamma }=G_1+i{G}_2.\end{array}\}$$

ү) Тело со сферической симметрией ( $A=B=C$ ). Теперь уравнения (49.14) еще более упрощаются,
$$A{\dot{\omega }}_1=G_1,A{\dot{\omega }}_2=G_2,A{\dot{\omega }}_3=G_3$$

для осей, закрепленных в теле. В этом случае мы можем выбрать $\mathrm{\Omega }$ произвольно: если мы принимаем $\mathrm{\Omega }=0$, то система (49.12) дает уравнения (49.19), но при этом компоненты берутся по осям, неподвижным в пространстве.

Возвратимся теперь к рассмотрению движения центра масс, определяемому уравнением (49.8); здесь также можно использовать подвижный триәдр $(i,j,k)$. Пусть $v$ — абсолютная скорость точки $O$ и спла $\mathit{F}$ разложены на компоненты по осям триэдра $(i,j,k)$
$$\begin{array}{l}v=v_1\mathit{i}+v_2\mathit{j}+v_3\mathit{k},\\ \mathit{F}=F_1\mathit{i}+F_2\mathit{j}+F_3\mathit{k}.\end{array}$$

Тогда уравнение (49.8) можно переписать в виде
$$m(\frac{\delta v}{\delta t}+\mathbf{\Omega }\times \mathit{v})=\mathit{F},$$

пли в координатной форме:
$$\begin{array}{l}m({\dot{v}}_1-{\mathrm{\Omega }}_3{v}_2+{\mathrm{\Omega }}_2{v}_3)=F_1,\\ m({\dot{v}}_2-{\mathrm{\Omega }}_1{v}_3+{\mathrm{\Omega }}_3{v}_1)=F_2,\\ m({\dot{v}}_3-{\mathrm{\Omega }}_2{v}_1+{\mathrm{\Omega }}_1{v}_2)=F_3.\end{array}\}$$

В случае $\alpha$ ) мы полагаем $\mathbf{\Omega }=\mathit{\omega }$. Уравнения (49.14) и (49.22) представляют собой систему щести уравнений для шести компонент векторов $v$ и $\mathbf{1}$. Если мы найдем их как функции $t$, то для полного определения движения требуется еще один шаг. Задавая для тела шесть обобщенных координат $q$, мы выразим песть компонент $v$ и $\mathit{\omega }$ как шесть дифференциальных уравнений первого порядка, чтобы определить координаты $(q$ ) как функции $t$, и, таким образом, полностью описать движение.

Аналогично исследуются случаи $\beta$ ) и $\gamma$ ). В случае $\gamma$ ) мы можем положить $\mathbf{\Omega }=0$ и тогда уравнения (49.22) преобразуются к виду
$$m{\dot{v}}_1=F_1,m{\dot{v}}_2=F_2,m{\dot{v}}_3=F_3.$$

Эта теория охватывает важный случай твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки (см. § 55-57). Тело имеет три степени свободы и его движение определено уравнением (44.5), которое формально идентично уравнению (49.9). Но теперь $h$-момент импульса, взятый для неподвижной точки, а $G$ — суммарный момент сил относительно этой точки. При этом изменении интерпретации приложима вся теория, начиная с уравнений (49:10) до (49.19) включительно; но теперь $A,B,C$ главные моменты инерции также для неподвижной точки, а не для центра масс.

В случае свободно движущегося твердого тела явное отнесение к центру масс обходят, вводя моторную символику (Motorrechnung) Штуди и Мизеса ${}^1$ ).