В главе ДІІ мы принимали за основу динамической теории $N+1$-мерное пространство событий $Q T$ с координатами $x_{r}$, где ${ }^{1}$ )
\[
x_{\rho}=q_{\rho}, \quad x_{N+1}=t .
\]

Рассмотрим теперь динамику в $N+1$-мерном пространстве $P H$ импульса – энергии. Координатами в нем являются $y_{r}$, где
\[
y_{\rho}=p_{\rho}, \quad y_{N+1}=-H .
\]

Начиная развивать теорию, предположим, что имеет место уравнение энергии
\[
\Omega(x, y)=0
\]

или, что то же самое, уравнение
\[
H=H(q, t, p),
\]

если разрешить уравнение (79.3) относительно $y_{N+1}$. Для произвольной кривой $\Gamma$ в пространстве $P H$, заданной уравнениями $y_{r}=y_{r}(u)$, определим новый тип действия как интеграл
\[
\tilde{A}=\int x_{r} d y_{r},
\]

где величины $x_{r}(u)$ должны удовлетворять уравнению (79.3), а в остальном произвольны. Записывая это

уравнение в эквивалентном виде
\[
\tilde{A}=\int\left(q_{\rho} d p_{\rho}-t d H\right),
\]

и варьируя $\Gamma$, получаем следующее выражение:
\[
\delta \tilde{A}=\left[x_{r} \delta y_{r}\right]+\int\left(\delta x_{r} d y_{r}-\delta y_{r} d x_{r}\right) .
\]

Если концевые точки $\Gamma$ закреплены (т. е. граничные значения $y_{r}$ постоянны), то вариационное уравнение
\[
\delta \tilde{A}=\delta \int x_{r} d y_{r}=0
\]

вместе с условием (79.3) сразу приводит к каноническим уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}},
\]

при некотором параметре $w$. Эти уравнения совпадают с уравнопиями (68.7) и монно, как и шрежде, называть кривые, удовлетворяющие им, лучами или траекториями.

Тогда очевидно, что динамика в пространстве $P H$ основана на уравнении энергии (79.3) и вариационном уравнении (79.8), так же как динамика в пространстве QT основана на том же уравнении энергии и на принципе Гамильтона (68.5), т. е. на уравнении
\[
\delta A=\delta \int y_{r} d x_{r}=0
\]

при закрепленных концевых точках в пространстве QT. Два действия связаны соотношением
\[
A+\tilde{A}=\int y_{r} d x_{r}+\int x_{r} d y_{r}=x_{r} y_{r}-x_{r}^{*} y_{r}^{*},
\]

где $\left(x^{*}, y^{*}\right)$ относятся к начальной точке, а $(x, y)$ к конечной. В пространстве $Q T$ мы считаем $x_{r}$ текущими координатами некоторой кривой, а $y_{r}$ – соотнесенным этой кривой векторным полем; в пространстве $P H$ они меняются ролями. Между двумя этими представлениями существует формальное сходство. Мы могли бы, например,

использовать приемы § 69 для того, чтобы определить «однородный лагранжиан» в $P H$ как функцию величин $y$ и $y^{\prime}$ (где $y_{r}^{\prime}=d y_{r} / d u$ и перейти к «обыкновенному лагранжиану», т. е. к функции переменных $p_{\rho}, H$ и $d p_{\rho} / d H$.

Введем теперь в $P H$ х арактеристическ ую энерги и $\left.{ }^{1}\right) \quad W\left(C^{*}, C\right)$, определенную следующим образом:
\[
W(C, C)=\int x_{r} d y_{r} ;
\]

интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки $C^{*}$ и $C$ пространства $P H$. Варьируя эти концевые точки, получаем из уравнения (79.7)
\[
\delta W=x_{r} \delta y_{i}-x_{r}^{*} \delta y_{r}^{*} .
\]

Если вариации $\delta y_{r}$ и $\delta y_{r}^{*}$ можно взять произвольными (т. е. если существуют лучи, соединяющие произвольно варьируемые точки $C^{*}$ и $C$ ), то справедливы уравнения
\[
\frac{\partial W}{\partial y_{r}}=x_{r}, \quad \frac{\partial W}{\partial y_{r}^{*}}=-x_{r}^{*},
\]

и отсюда, согласно уравнению (79.3), $W\left(y^{*}, y\right)$ удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных
\[
\Omega\left(\frac{\partial W}{\partial y}, y\right)=0, \quad \Omega\left(-\frac{\partial W}{\partial y^{*}}, y^{*}\right)=0 .
\]

Значения $x_{r}^{*}$ и $x_{r}$ определяют луч или траекторию, а поэтому они определяют и $y_{r}^{*}$, и $y_{r}$; наоборот, значения $y_{r}^{*}$ и $y_{r}$, вообще говоря, определяют луч или траекторию, а отсюда и $x_{r}^{*}$, и $x_{r}$. Соотношение между двухточечной характеристической функцией $S\left(x^{*}, x\right)$ и характеристической функцией импульса – энергии $W\left(y^{*}, y\right)$ выра-

жается следующим уравнением:
\[
W\left(y^{*}, y\right)+S\left(x^{*}, x\right)=x_{r} y_{r}-x_{r}^{*} y_{r}^{*} .
\]

Кроме этих двух характериэтичәских функций, существуют еще две смешанные характеристические функции.
\[
\begin{array}{l}
F\left(x^{*}, y\right)=S\left(x^{*}, x\right)-x_{r} y_{r}, \\
G\left(x, y^{*}\right)=S\left(x^{*}, x\right)+x_{r}^{*} y_{r}^{*} .
\end{array}
\]

Если допустимы произвольные вариации, то имеем уравнения
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{r}^{*}}=-y_{r}^{*}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_{r}}=-x_{r},
\]

и
\[
\frac{\partial G}{\partial x_{r}}=y_{r}, \quad \frac{\partial G}{\partial y_{r}^{*}}=x_{r}^{*} .
\]