В главе ДІІ мы принимали за основу динамической теории $N+1$-мерное пространство событий $QT$ с координатами $x_r$, где ${}^1$ )
$$x_{\rho }=q_{\rho },x_{N+1}=t.$$

Рассмотрим теперь динамику в $N+1$-мерном пространстве $PH$ импульса — энергии. Координатами в нем являются $y_r$, где
$$y_{\rho }=p_{\rho },y_{N+1}=-H.$$

Начиная развивать теорию, предположим, что имеет место уравнение энергии
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=0$$

или, что то же самое, уравнение
$$H=H(q,t,p),$$

если разрешить уравнение (79.3) относительно $y_{N+1}$. Для произвольной кривой $\mathrm{\Gamma }$ в пространстве $PH$, заданной уравнениями $y_r=y_r(u)$, определим новый тип действия как интеграл
$$\tilde{A}=\int x_{r}d{y}_r,$$

где величины $x_r(u)$ должны удовлетворять уравнению (79.3), а в остальном произвольны. Записывая это

уравнение в эквивалентном виде
$$\tilde{A}=\int (q_{\rho }d{p}_{\rho }-tdH),$$

и варьируя $\mathrm{\Gamma }$, получаем следующее выражение:
$$\delta \tilde{A}=\left[x_r\delta y_r\right]+\int (\delta x_{r}d{y}_r-\delta y_{r}d{x}_r).$$

Если концевые точки $\mathrm{\Gamma }$ закреплены (т. е. граничные значения $y_r$ постоянны), то вариационное уравнение
$$\delta \tilde{A}=\delta \int x_{r}d{y}_r=0$$

вместе с условием (79.3) сразу приводит к каноническим уравнениям
$$\frac{d{x}_r}{dw}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r},\frac{d{y}_r}{dw}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r},$$

при некотором параметре $w$. Эти уравнения совпадают с уравнопиями (68.7) и монно, как и шрежде, называть кривые, удовлетворяющие им, лучами или траекториями.

Тогда очевидно, что динамика в пространстве $PH$ основана на уравнении энергии (79.3) и вариационном уравнении (79.8), так же как динамика в пространстве QT основана на том же уравнении энергии и на принципе Гамильтона (68.5), т. е. на уравнении
$$\delta A=\delta \int y_{r}d{x}_r=0$$

при закрепленных концевых точках в пространстве QT. Два действия связаны соотношением
$$A+\tilde{A}=\int y_{r}d{x}_r+\int x_{r}d{y}_r=x_r{y}_r-x_r^{\ast }{y}_r^{\ast },$$

где $(x^{\ast },y^{\ast })$ относятся к начальной точке, а $(x,y)$ к конечной. В пространстве $QT$ мы считаем $x_r$ текущими координатами некоторой кривой, а $y_r$ — соотнесенным этой кривой векторным полем; в пространстве $PH$ они меняются ролями. Между двумя этими представлениями существует формальное сходство. Мы могли бы, например,

использовать приемы § 69 для того, чтобы определить «однородный лагранжиан» в $PH$ как функцию величин $y$ и $y^{\prime }$ (где $y_r^{\prime }=d{y}_r/du$ и перейти к «обыкновенному лагранжиану», т. е. к функции переменных $p_{\rho },H$ и $d{p}_{\rho }/dH$.

Введем теперь в $PH$ х арактеристическ ую энерги и ${}^1)W(C^{\ast },C)$, определенную следующим образом:
$$W(C,C)=\int x_{r}d{y}_r;$$

интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки $C^{\ast }$ и $C$ пространства $PH$. Варьируя эти концевые точки, получаем из уравнения (79.7)
$$\delta W=x_r\delta y_i-x_r^{\ast }\delta y_r^{\ast }.$$

Если вариации $\delta y_r$ и $\delta y_r^{\ast }$ можно взять произвольными (т. е. если существуют лучи, соединяющие произвольно варьируемые точки $C^{\ast }$ и $C$ ), то справедливы уравнения
$$\frac{\partial W}{\partial y_r}=x_r,\frac{\partial W}{\partial y_r^{\ast }}=-x_r^{\ast },$$

и отсюда, согласно уравнению (79.3), $W(y^{\ast },y)$ удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных
$$\mathrm{\Omega }(\frac{\partial W}{\partial y},y)=0,\mathrm{\Omega }(-\frac{\partial W}{\partial y^{\ast }},y^{\ast })=0.$$

Значения $x_r^{\ast }$ и $x_r$ определяют луч или траекторию, а поэтому они определяют и $y_r^{\ast }$, и $y_r$; наоборот, значения $y_r^{\ast }$ и $y_r$, вообще говоря, определяют луч или траекторию, а отсюда и $x_r^{\ast }$, и $x_r$. Соотношение между двухточечной характеристической функцией $S(x^{\ast },x)$ и характеристической функцией импульса — энергии $W(y^{\ast },y)$ выра-

жается следующим уравнением:
$$W(y^{\ast },y)+S(x^{\ast },x)=x_r{y}_r-x_r^{\ast }{y}_r^{\ast }.$$

Кроме этих двух характериэтичәских функций, существуют еще две смешанные характеристические функции.
$$\begin{array}{l}F(x^{\ast },y)=S(x^{\ast },x)-x_r{y}_r,\\ G(x,y^{\ast })=S(x^{\ast },x)+x_r^{\ast }{y}_r^{\ast }.\end{array}$$

Если допустимы произвольные вариации, то имеем уравнения
$$\frac{\partial F}{\partial x_r^{\ast }}=-y_r^{\ast },\frac{\partial F}{\partial y_r}=-x_r,$$

и
$$\frac{\partial G}{\partial x_r}=y_r,\frac{\partial G}{\partial y_r^{\ast }}=x_r^{\ast }.$$