Рассмотрим динамическую систему с $N$ степенями свободы и гамильтонианом $H(q, p)$, в который не входят некоторые из координат (игнорируемые координаты). Установившееся движение – это движение, в котором неигнорируемые координаты и соответствующие им импульсы постоянны.

Пусть имеется $M$ игнорируемых координат $q_{A}$ ( $A=$ $=1,2, \ldots, M)$, неигнорируемые координаты обозначим через $Q_{\mathrm{\Gamma}}(\Gamma=1,2, \ldots N-M)$, аналогично обозначим импульсы. Тогда гамильтониан может быть написан
\[
H=H(\mathrm{Q}, p, P),
\]

а уравнения движения – в виде
\[
\begin{array}{ll}
\dot{q}_{A}=\frac{\partial H}{\partial p_{A}}, & \dot{p}_{A}=-\frac{\partial H}{\partial q_{A}}=0, \\
\dot{Q}_{\Gamma}=\frac{\partial H}{\partial P_{\Gamma}}, & \dot{P}_{\Gamma}=-\frac{\partial H}{\partial Q_{\Gamma}} .
\end{array}
\]

Условия установившегося движения имеют вид
\[
\dot{Q}_{\mathrm{r}}=0, \quad \dot{P}_{\mathrm{r}}=0 .
\]

Комбинируя эти последние условия с (105.2), получаем для установившегося движения
\[
q_{A}=\alpha_{A} t+\text { const, } p_{A}=\text { const },
\]

где $\alpha_{A}$ – постоянные, так что игнорируемые координаты возрастают с постоянной скоростью, а соответствующие импульсы постоянны. Комбинируя условия (105.4)

с (105.3), получаем для установившегося движения уравнения
\[
\frac{\partial H}{\partial Q_{\Gamma}}=0, \quad \frac{\partial H}{\partial P_{\Gamma}}=0 .
\]

Для того чтобы получить такое движение, должны удовлетворяться $2(N-M)$ уравнений, задавая подходящие значения $2 N-M$ постоянным $(Q, p, P)$. Таким образом, вообще говоря, можно ожидать, что мы найдем $\infty^{M}$ установившихся движений, где $M$ – число игнорируемых координат.

Если система, находящаяся в установивпемся движении, возмущена таким образом, что постоянные $p_{A}$ не изменяются; то можно исследовать колебания около такого движения (105.3), линеаризированные с помощью предположения, что $(Q, P)$ принимают значения, близкие к тем постоянным значениям, которые они имеют в невозмущенном установившемся движении.

Имея сформулированную таким образом проблему колебаний около состояния установившегося движения системы, обладающей игнорируемыми координатами, мы представим теперь ту же проблему другим способом, безотносительно к такому движению или к игнорируемым координатам.

Дана гамильтонова функция $H(q, p)$; канонические уравнения
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}
\]

определяют направление движения в каждой точке фазового пространства $(Q P)$ ва исключением тех с и нгу ля рных точек, где удовлетворяются $2 N$ уравнений
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}=0, \quad \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}=0 .
\]

Так как имеется $2 N$ величин ( $q, p$ ), то можно ожидать, вообще говоря, что мы найдем конечное число сингулярных точек в пространстве ( $Q P$ ). Каждая такая точка представляет полную историю системы, потому что уравнения

движения (105.7) удовлетворяются при постоянных значениях $(q, p)$, при условии, что эти значения удовлетворяют уравнениям (105.8).

Будем теперь исследовать траектории в пространстве $(Q P)$ вблизи сингулярной точки. Сравнивая (105.6) и (105.8), видим, что такое исследование есть в то же время исследование колебаний около состояния устойчивого движения для системы с игнорируемыми координатами. Такой подход имеет то преимущество, что мы входим сразу в существо дела.

Следующее обсуждение тесно связано с вопросами, рассмотренными в § 103. Однако здесь мы будем употреблять скорее гамильтоновы методы, чем лагранжевы. В методе Лагранжа мы ограничены преобразованиями координат $(q)$, а преобразование импульсов $(p)$ является производным преобразованием. В методе Гамильтона мы можем применять канонические преобразования (КП).

Сингулярные точки в пространстве ( $Q P$ ) инвариантны относительно КП. Уравнения (105.8) эквивалентны уравнению $\delta H=0$ для любой вариации положения в пространстве $(Q P)$, а это последнее уравнение – инвариант, так как $H$ есть инвариант КII.

Пусть $q_{\rho}=a_{\rho}, p_{\rho}=b_{\rho}-$ сингулярная точка. Производящая функция
\[
G\left(q, p^{\prime}\right)=\left(q_{\rho}-a_{\rho}\right)\left(p_{\rho}^{\prime}+b_{\rho}\right)
\]

дает КП
\[
p_{\rho}=\frac{\partial G}{\partial q_{\rho}}=p_{\rho}^{\prime}+b_{\rho}, \quad q_{\rho}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial p_{\rho}^{\prime}}=q_{\rho}-a_{\rho},
\]

так что сингулярной точкой становится точка $q_{\rho}^{\prime}=0$, $p_{\rho}^{\prime}=0$. Будем употреблять теперь эти новые канонические переменные, отбросив штрихи.

Предполагаем, что функция $H(q, p)$ разложима в степенно́й ряд в окрестности сингулярной точки. Постоянный член в разложении не имеет значения в (105.7) и мы его опустим. Тогда, принимая во внимание (105.8), имеем
\[
H(q, p)=\frac{1}{2} A_{\rho \sigma} q_{\rho} q_{\sigma}+B_{\rho \sigma} q_{\rho} p_{\sigma}+\frac{1}{2} C_{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma},
\]

где включены члены до второго порядка и коәффициенты постоянные.

Ради компактности введем обозначения § 87 с некоторыми изменениями размерностей, а именно, будем рассматривать $2 N$-мерное пространство $Q P$ вместо $Q T P H$ $(2 N+2$ измерений). Имеем
\[
z=\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{p} \\
\boldsymbol{q}
\end{array}\right)
\]

тогда уравнение (105.11) можно написать в виде
\[
2 \boldsymbol{H}=\tilde{\boldsymbol{z}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{z},
\]

где $\boldsymbol{H}$ – симметричная $2 \boldsymbol{N} \times 2 \boldsymbol{N}$ матрица $(\widetilde{\boldsymbol{H}}=\boldsymbol{H})$. Введем матрицу (87.11)
\[
\Gamma=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right)
\]

где 1 есть теперь единичная $N \times N$ матрица; отметим свойства матрицы $\Gamma$ :
\[
\Gamma=-\dot{\Gamma}, \quad \Gamma^{-1}=-\Gamma, \quad \Gamma^{2}=-1_{(2 N)}, \quad \operatorname{det} \Gamma=1 .
\]

Тогда, как и в случае (87.13), уравнения движения имеют вид
\[
\dot{z}=\boldsymbol{\Gamma H z} .
\]

Для того чтобы определить природу движения, попытаемся разделить переменные в этих уравнениях; сделаем это, применив КПІ, которое переводит матрицу $\boldsymbol{H}$ в простую (нормальную) форму ${ }^{1}$ ).
Рассмотрим линейные уравнения
\[
\boldsymbol{\Gamma H z}=\lambda \boldsymbol{z} \text { или } \boldsymbol{H z}=-\lambda \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{z}
\]

и присоединенное детерминантное уравнение
\[
\operatorname{det}(\boldsymbol{H}+\lambda \boldsymbol{\Gamma})=0,
\]

которое имеет $2 N$ корней, действительных или комілексных, и не обязательно различных. Для произвольного

корня $\lambda$ имеем уравнение
\[
\operatorname{det}[\boldsymbol{\Gamma}(\boldsymbol{H}+\lambda \boldsymbol{\Gamma}) \boldsymbol{\Gamma}]=0,
\]
(так как $\operatorname{det} \boldsymbol{\Gamma}=1$ ). Транспонируя эту матрицу и принимая во внимание соотношения (105.15), получаем
\[
\operatorname{det}(\boldsymbol{H}-\lambda \boldsymbol{\Gamma})=0 .
\]

Сравнение с уравнением (105.18) показывает, что если $\lambda$ корень, то корнем является также и $-\lambda$. Можем написать полную систему корней так: $\pm \lambda_{1}, \ldots, \pm \lambda_{N}$ и представить их в форме диагональной матрицы
\[
\boldsymbol{L}=\left(\begin{array}{lr}
\boldsymbol{L}_{0} & \boldsymbol{0} \\
0 & -\boldsymbol{L}_{0}
\end{array}\right)
\]

где $\boldsymbol{L}_{0}$ – диагональная $N \times N$ матрица с элементами $\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}\right)$.

Будем предполагать, что $\lambda_{i}, \ldots, \lambda_{N}$ – различны ${ }^{1}$ ). Тогда система решений уравнения (105.17) может быть охарактеризована $2 N \times 2 N$ матрицей $\boldsymbol{Z}$ такой, что
\[
Z^{-1} \Gamma H Z=L .
\]

Однако это уравнение не определяет $\boldsymbol{Z}$ единственным образом (и этот факт имеет большое значение). Если $\boldsymbol{Z}$ – какаянибудь матрица-решение, то решением является также и матрица $\boldsymbol{Z P}$, где $\boldsymbol{P}$ – произвольная диагональная матрица. Если $\boldsymbol{Y}$ и $\boldsymbol{Z}$ – две матрицы-решения, то имеет место соотношение
\[
\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Y} \boldsymbol{P},
\]

где $\boldsymbol{P}$ – некоторая диагональная матрица.
Пусть $\boldsymbol{Z}$-матрица-решөние: Определим $\boldsymbol{Y}$ следующим образом:
\[
Y=-(\Gamma \widetilde{Z} \Gamma)^{-1}=-\Gamma \widetilde{Z}^{-1} \Gamma .
\]

Тогда справедливы равенства
\[
\boldsymbol{Y}^{-1} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{\Gamma} \tilde{\boldsymbol{Z}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \tilde{\boldsymbol{Z}}^{-1} \boldsymbol{\Gamma}=-\boldsymbol{\Gamma} \tilde{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\Gamma} \tilde{\boldsymbol{Z}^{-1}} \boldsymbol{\Gamma} .
\]

Однако, транспонируя (105.22), получаем соотношение
\[
\widetilde{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{Z}^{-1}=-\boldsymbol{L}
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{Y}^{-1} \boldsymbol{I} \boldsymbol{H} \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{L} \boldsymbol{\Gamma}=\boldsymbol{L} .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{Y}$ тоже есть матрица-решение и это решеяие связано с $\boldsymbol{Z}$ соотношением (105.23), где $\boldsymbol{P}-$ некоторая диагональная матрица. Отсюда имеем
\[
P=Y^{-1} Z=-\Gamma \widetilde{Z} \Gamma Z, \quad \Gamma P=\widetilde{Z} \Gamma Z ;
\]

транспонируя эти матрицы, получаем
\[
\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Gamma}=\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{P},
\]

откуда следует, что $P$-матрица имеет форму
\[
\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{P}_{0} & 0 \\
0 & \boldsymbol{P}_{0}
\end{array}\right),
\]

где $\boldsymbol{P}_{0}$ – диагональная $N \times N$ матрица.
Найдем в классе матриц-решений, удовлетворяющих условию (105.22), матрицу (назовем ее $J$ ), удовлетворяющую условию симплектичности (ср. с (87.16)),
\[
\tilde{J} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{J}=\boldsymbol{\Gamma} .
\]

Мы сделаем это, выбрав произвольную матрицу-решение $\boldsymbol{Z}$, образуя соответствующую диагональную матрицу $P$ согласно (105.28) и определив $\boldsymbol{D}$ как
\[
D=\left(\begin{array}{ll}
P_{0}^{-1} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
\]

и полагая затем
\[
J=Z D .
\]

Легко проверить, что выполняется равенство
\[
D \Gamma D=\Gamma P^{-1},
\]

а поэтому согласно (105.28) – равенство
\[
\widetilde{J} \Gamma J=D \tilde{Z} \Gamma Z D=D \Gamma P D=D T D P=\Gamma .
\]

Тем самым доказано (105.31).

Пусть $J$ определено формулой (105.33); применим КП
\[
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{J}^{\prime}
\]

и гамильтониан примет вид
\[
2 \boldsymbol{H}=\widetilde{\boldsymbol{z}^{\prime}} \boldsymbol{H}^{\prime} \boldsymbol{z}^{\prime}, \quad \boldsymbol{H}^{\prime}=\tilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{J} .
\]

Так как $J$ – матрица-решение, то соотнопение (105.26) дает
\[
\widetilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{H} \tilde{\boldsymbol{J}}^{-1}=-\boldsymbol{L}, \quad \widetilde{\boldsymbol{J} H}=\boldsymbol{L} \tilde{\boldsymbol{J}},
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{H}^{\prime}=\boldsymbol{L} \widetilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{J}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{\Gamma}=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \boldsymbol{L}_{0} \\
\boldsymbol{L}_{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right) .
\]

таким образом, с помощью КП можно преобразовать квадратичный гамильтониан к нормальной форме
\[
H^{\prime}=\lambda_{1} q_{1}^{\prime} p_{1}^{\prime}+\lambda_{2} q_{2}^{\prime} p_{2}^{\prime}+\ldots+\lambda_{N} q_{N}^{\prime} p_{N}^{\prime},
\]

где $\lambda$-корни уравнения (105.18). Новые координаты $\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)$, вообще говоря, комплексные.
Применим еще одно КП с производящей функцией
\[
G\left(q^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)=\sum_{\rho=1}^{N}\left(q_{\rho}^{\prime} p_{\rho}^{\prime \prime}-\frac{1}{2} \frac{p_{\rho}^{\prime \prime 2}}{\lambda_{\rho}}-\frac{1}{4} \lambda_{\rho} q_{\rho}^{\prime 2}\right),
\]

так что будут иметь место уравнения (без обычного условия суммирования)
\[
p_{\rho}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial q_{\rho}^{\prime}}=p_{\rho}^{\prime \prime}-\frac{1}{2} \lambda_{\rho} q_{\rho}^{\prime}, \quad q_{\rho}^{\prime \prime}=\frac{\partial G^{\prime}}{\partial p_{\rho}^{\prime \prime}}=q_{\rho}^{\prime}-\frac{p_{\rho}^{\prime \prime}}{\lambda_{\rho}} ;
\]

тогда гамильтониан преобразуется в другую нормальную форму
\[
H^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{\prime \prime 2}+\ldots+p_{N}^{\prime \prime 2}-\lambda_{1}^{2} q_{1}^{\prime 2}-\ldots-\lambda_{N}^{2} q_{N}^{\prime \prime 2}\right) .
\]

Если использовать форму (105.40), то уравнения движения имеют вид
\[
\ddot{q}_{1}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{1}^{\prime}}=\lambda_{1} q_{1}^{\prime}, \ldots, p_{1}^{\prime}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}^{\prime}}=-\lambda_{1} p_{1}^{\prime}, \ldots,
\]

где переменные разделены; движение определяется уравнениями
\[
q_{1}^{\prime}=\bar{b}_{1} e^{\lambda_{1} t}, \ldots, p_{1}^{\prime}=-a_{1} e^{-\lambda_{1} t}, \ldots,
\]

где постоянные коэффициенты зависят от начальных условий. Ясно, что движение, определяемое этими уравнениями, устойчиво тогда и толыко тогда, когда все $\lambda_{i}$ чисто мнимые.

Легко показать, что если $H(q, p)$ – положительно определенная функция, то все корни уравнения (105.18) чисто мнимые, даже в вырожденном случае кратных корней. Пусть $\lambda, z$ (при $z
eq 0$ ) будет некоторым решением уравнения (105.17). Пусть $\vec{z}-$ комплексное сопряженное $z$, а $\bar{z}^{+}$- транспозиция $\bar{z}$ (т. е. это матрица в одну строку). Тогда имеет место соотношение
\[
\bar{z}^{+} H \bar{z}=-\lambda \bar{z}^{+} \Gamma \bar{z} .
\]

Из положительной определенности функции $H$ следует, что левая часть – действительная и положительная. Поэтому $\lambda
eq 0$ (не нулевые корни) и
\[
\bar{z}+\bar{z}
eq 0 .
\]

Легко видеть, что эта величина должна быть чисто мнимой и отсюда $\lambda$ тоже чисто мнимое.

Мы получили следующий результат: движение системы, имеющей однородный квадратичный гамильтониан $H$, устойчиво, если Н положительно определенная функция ${ }^{1}$ ).