Переменные действие – угол были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позже они оказались чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора – Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная – действие полагалась равной целому кратному постоянной Планка $h$.

Как показано ниже, теория переменных действие угол зависит от разделения переменных в уравнении Гамильтона – Якоби. Пространство $Q P$ должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных может быть циклической (как, например, азимутальный угол) ${ }^{1}$ ). Однако наличие циклических координат не является существенной чертой теории, просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем предполагать, что таких координат нет; существенные изменения, вызванные их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо.

Пусть гамильтониан $\left.{ }^{2}\right) H(q, p)$ таков, что уравнение Гамильтона – Якоби допускает разделение переменных (§ 78). Поэтому мы замечаем, что в $2 N$-мерном пространстве переменных ( $q, p^{\prime}$ ) дифференциальное уравнение в частных производных
\[
H\left(q, \frac{\partial G}{\partial q}\right)=p_{N}^{\prime}
\]

имеет решение вида
\[
G\left(q, p^{\prime}\right)=G_{1}\left(q_{1}, p^{\prime}\right)+G_{2}\left(q_{2}, p^{\prime}\right)+\ldots+G_{N}\left(q_{N}, p^{\prime}\right),
\]

где $p^{\prime}$ подставлено вместо $N$ величин $p_{\rho}^{\prime}$ и выполняется детерминантное условие
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} G}{\partial q_{\rho} \partial p_{\sigma}}
eq 0 ;
\]

другими словами, (99.2) есть полный интеграл уравнения.
Каноническое преобразование (КП) определяется уравнениями
\[
p_{\rho}=\frac{\partial G\left(q, p^{\prime}\right)}{\partial \dot{q}_{\rho}}, \quad q_{\rho}^{\prime}=\frac{\partial G\left(q, p^{\prime}\right)}{\partial p_{\rho}^{\prime}} .
\]

Отсюда можно видеть, что́ дает разделение переменных; в более подробной записи первая группа этих уравнений имеет вид
\[
\begin{array}{r}
p_{1}=\frac{\partial G_{1}\left(q_{1}, p^{\prime}\right)}{\partial q_{1}}, \quad p_{2}=\frac{\partial G_{2}\left(q_{2}, p^{\prime}\right)}{\partial q_{2}}, \ldots \\
\ldots, p_{N}=\frac{\partial G_{N}\left(q_{N}, p^{\prime}\right)}{\partial q_{N}} ;
\end{array}
\]

каждое уравнение содержит только одну переменную $p$ и соответствующую ей $q$, но, конечно, в каждое уравнение входят, вообще говоря, все величины $p_{\rho}^{\prime}$.
Новый гамильтониан равен тогда
\[
H^{\prime}\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)=H(q, p)=H\left(q, \frac{\partial G}{\partial q}\right)=p_{N}^{\prime},
\]

а новые уравнения движения имеют вид
\[
\ddot{q}_{\rho}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{\rho}^{\prime}}, \quad \ddot{p}_{\rho}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{\rho}^{\prime}} .
\]

Поэтому все величины $\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)$ – постоянные вдоль каждой траектории, исключая $q_{N}^{\prime}$, ибо для нее имеем $\dot{q}_{N}^{\prime}=1$, так что $q_{N}^{\prime}=t+$ const. Можно написать
\[
p_{N}^{\prime}=E,
\]

где $E$ – постоянное значение $H$ на траектории. С помощью КП (99.4) мы преобразовали траекторию в параллельные прямые линии, как в § 96.

Рассмотрим изображающую плоскость $\Pi_{1}$, в которой $q_{1}, p_{1}$ выбраны за прямоугольные декартовы координаты (рис. 46). Если $N$ величин $p_{\rho}^{\prime}$ остаются постоянными, то первое уравнение (99.5) определяет кривую в плоскости $\Pi_{1}$; обозначим эту кривую через $\Gamma_{1}\left(p^{\prime}\right)$. Аналогично друтие уравнения в (99.5) определяют кривые $\Gamma_{2}\left(p^{\prime}\right), \ldots$. $\ldots, \Gamma_{N}\left(p^{\prime}\right)$ в изображающих плоскостях $\Pi_{2}, \ldots, \Pi_{N}$.

Предположим теперь, что все эт п кривые замкнуты ${ }^{1}$ ). В каждой изображающей плоскости имеем $\infty^{N}$ контуров $\Gamma_{\rho}\left(p^{\prime}\right)$; система контуров
Рис. 46. Контур $\Gamma\left(p^{\prime}\right)$ или $\Gamma_{1}(y)$
в плоскости канонических переменных $q, p$.
(по одному в каждой плоскости) определяется значениями $N$ величин $p_{\rho}^{\prime}$.
Определим величины $J_{\rho}$ формулами
\[
J_{1}=\oint_{\Gamma_{1}\left(p^{\prime}\right)} p_{1} d q_{1}, \ldots, \quad J_{N}=\oint_{\Gamma_{N}\left(p^{\prime}\right)} p_{N} d q_{N} ; \quad \text { (99.9) }
\]

на самом деле это «площади», заключенные внутри ${ }^{2}$ ) нескольких контуров, определенных значениями $p_{\rho}^{\prime}$. Предполагая затем, что
\[
\operatorname{det} \frac{\partial \rho}{\partial p_{\sigma}^{\prime}}
eq 0
\]

имеем обратное функциональное соотношение $(J) \longleftrightarrow\left(p^{\prime}\right)$ и можем выразить $p_{\rho}^{\prime}$ как функцию интегралов $J_{\rho}$ :
\[
p_{\rho}^{\prime}=p_{\rho}^{\prime}(J) .
\]

Подставляя эти функции в (99.1) и (99.2), получаем решение уравнения
\[
H\left(q, \frac{\partial G^{*}}{\partial q}\right)=p_{N}^{\prime}(J)
\]

в $2 N$-мерном пространстве переменных $(q, J)$; это репение вида
\[
G^{*}(q, J)=G_{1}^{*}\left(q_{1}, J\right)+G_{2}^{*}\left(q_{2}, J\right)+\ldots+G_{N}^{*}\left(q_{N}, J\right),
\]

где переменные все еще разделены. Примем эту функцию за производящую функцию $К П(q, p) \rightarrow(w, J)$, выраженного формулами
\[
p_{\rho}=\frac{\partial G^{*}(q, J)}{\partial q_{\rho}}, \quad w_{\rho}=\frac{\partial G^{*}(q, J)}{\partial J_{\rho}} .
\]
ствия, а величины $w_{\rho}$ – угловыми переменным и.

Когда употребляются угловые переменные, гамильтониан содержит только одну, переменную действия; обозначим его через $H^{*}(J)$. Канонические же уравнения движения имеют вид
\[
\dot{J}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial w_{\rho}}=0, \quad \dot{w}_{\rho}=\frac{\partial H^{\star}}{\partial J_{\rho}},
\]

так что все $J_{\rho}$ постоянны вдоль каждой траектории и все $w_{\rho}$ определяются выражениями
\[
w_{\rho}=v_{\rho} t+\delta_{\rho},
\]

где $v_{\rho}$ и $\delta_{\rho}$ – постоянные, причем первые равны
\[
v_{\rho}=\frac{\partial H^{*}}{\partial J_{\rho}} .
\]

Постоянное значение $H$ вдоль траектории есть
\[
H=E=H^{*}(J),
\]

постоянная $E$ – полная энергия в обычных динамических системах.