Рассмотрим твердую пластинку, которая может свободно скользить по неподвижной плоскости. Это — склерономная голономная система с тремя степенями свободы. Предположим теперь, что на пластинке имеется маленькое острое лезвие, которое может двигаться только вдоль направления своей длины. Если $(x, y)$ — декартовы координаты какой-либо точки лезвия и $\vartheta-$ угол его наклона к оси $x$, то ( $x$, $y, \vartheta$ ) образуют систему обобщенных координат для пластинки, но они подчинены неинтегрируемому соотношению
\[
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg} \vartheta
\]
Число обобщенных координат не может быть сделано меньшим трех, но эти три координаты не могут изменяться независимо друг от друга.
Мы назовем систему неголономной, если невозможно описать конфигурацию с помощью обобщенных координат $q_{\rho}(\varrho=1,2, \ldots, N)$ и времени $t$, которые могли бы свободно и независимо изменяться. В таких случаях имеются определенные неинтегрируемые ${ }^{1}$ ) уравнения связей вида
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} d q_{\rho}+A_{c} d t=0 \quad(c=1,2, \ldots, M),
\]
где $A_{c \rho}$ и $A_{c}$ — функции переменных $(q, t)$. В этом случае говорят, что система имеет $N-M$ степеней свободы.
Для неголономных систем остаются справедливыми формулы (27.2) и (27.3), определяющие кинетическую энергию.
Неголономность обычно появляется в системах с контактами качения. Условием качения является равенство мгновенных скоростей двух частиц в точке контакта; $\qquad$
частицы принадлежат двум касающимся ${ }^{1}$ ) телам. Следующие примеры иллюстрпруют неголономные связи, вызванные качением.
а) IIIар, катящийся по горизонтальной плоскости. Пусть $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ — неподвижный ортонормальный триэдр с началом $O$ в заданной плоскости и пусть вектор $K$ направлен по вертикали (рис. 9). Возьмем в качестве обобщенных координат ( $x$, $y, \vartheta, \varphi, \psi)$, где $(x, y)$ координаты точки касания в системе координат $O x y$, причем оси $x, y$ совпадают с $\boldsymbol{I}$ и $\boldsymbol{J}$, а $(\vartheta, \varphi, \psi)$ — углы Эйлера (см. §11), которые описывают положение ортонормального триәдра ( $i$, $j, k)$, закрепленного в шаре, относительно триэдра $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$.
Радиус-вектор точки касания относительно центра шара, точки $C$, равен $b K$, где $b$ — радиус шара. Поэтому согласно уравнению (19.2) мгновенная скорость этой частицы шара, когда она касается плоскости, равна
\[
\dot{x} \boldsymbol{I}+\dot{y} \boldsymbol{J}+\boldsymbol{\omega} \times(-b \boldsymbol{K}),
\]
где $\omega-$ угловая скорость шара. Разлагая угловую скорость на составляющие по осям $(I, J, K)$, имеем выражение
\[
\omega=\Omega_{1} \boldsymbol{I}+\Omega_{2} \boldsymbol{J}+\Omega_{3} \boldsymbol{K},
\]
где коэффициенты выражены через углы Эйлера и их производные по времени, как в формулах (19.5). Подста-
вляя значение $\omega$ из (28.4) в выражение скорости (28.3) и приравнивая нулю результат (условие качения), получим следующие два неинтегрируемых уравнения связей:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}-b(\dot{\vartheta} \cos \varphi+\dot{\psi} \sin \vartheta \sin \psi)=0, \\
\dot{y}-b(\dot{\vartheta} \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \vartheta \cos \varphi)=0 .
\end{array}\right\}
\]
Шар имеет $5-2=3$ степени свободы.
ß) Круглый диск, катящийся по горизонтальной плоскости ${ }^{1}$ ). Пусть $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ — неподвижный ортонормальный триәдр с началом $O$ в заданной плоскости и пусть вектор $K$ направлен по вертикали (рис. 10). Іримем $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ за оси координат, тогда радиус-вектор точки $C$ — центра диска равен
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{x}+y \boldsymbol{J}+z \boldsymbol{K} .
\]
Пусть $(i, j, k)$ — второй ортонормальный триэдр с началом в точке $C$, вектор $i$ направлен в точку касания, $j$-горизонтальРис. 10. Круглый диск, катящийно, $\boldsymbol{k}$ — перпендикулярно ся по плоскости.
к плоскости диска. Пусть $\vartheta$-угол наклона вектора $\boldsymbol{i}$ к оси $\boldsymbol{K}, \varphi$ — угол наклона к оси $\boldsymbol{I}$ касательной к диску в точке контакта и $\psi$ — угол наклона неподвижного радиуса в диске к $i$. Тогда (если $b$ равно радиусу диска)
\[
z=b \cos \vartheta
\]
и $(x, y, \vartheta, \varphi, \psi)$ образуют систему обобщенных координат. Скорость центра $C$ равна
\[
\boldsymbol{v}=\dot{x} \boldsymbol{I}+\dot{y} \boldsymbol{J}-b \sin \vartheta \dot{\vartheta} \boldsymbol{K},
\]
а угловая скорость диска
\[
\omega=-\dot{\vartheta} j+\dot{\varphi} K+\dot{\psi} k ;
\]
в этом можно убедиться, поочередно изменяя углы. Отсюда, согласно (19.2), мгновенная скорость тастицы диска, находящейся в контакте с плоскостью, равна
\[
\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\omega} \times b \boldsymbol{i}=\dot{x} \boldsymbol{I}+\dot{y} \boldsymbol{J}-b \sin \vartheta \dot{\vartheta} \boldsymbol{K}+b \dot{\vartheta} \boldsymbol{k}+b(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \sin \vartheta) \boldsymbol{j},
\]
так как
\[
\boldsymbol{K}=-\cos \vartheta \boldsymbol{i}+\sin \vartheta \boldsymbol{k} .
\]
В результате подстановки соотношений
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{j}=\cos \varphi \boldsymbol{I}+\sin \varphi \boldsymbol{J}, \\
\boldsymbol{k}=\cos \vartheta \sin \varphi \boldsymbol{I}-\cos \vartheta \cos \varphi \boldsymbol{J}+\sin \vartheta \boldsymbol{K}
\end{array}\right\}
\]
в (28.10), условие качения приводит к следующим двум неинтегрируемым уравнениям связей:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}+b \cos \vartheta \sin \varphi \dot{\vartheta}+b \cos \varphi(\dot{\psi}+\sin \vartheta \dot{\varphi})=0, \\
\dot{y}-b \cos \vartheta \cos \varphi \dot{\vartheta}+b \sin \varphi(\dot{\psi}+\sin \vartheta \dot{\varphi})=0 .
\end{array}\right\}
\]
Диск имеет $5-2=3$ степени свободы.
ү) Два колеса, соединенные осью, которые катятся по плоскости. Предположим, что каждое колесо свободно врацается вокруг оси (если бы они оба были неподвижно прикреплены к оси, то это была бы голономная система с одной степенью свободы). Пусть $b$ — радиус каждого из колес и $2 c$ — длина оси. Выберем обобщенные координаты $\left(x, y, \vartheta, \psi, \psi^{\prime}\right)$, как показано на рис. 11. Вычислим затем компоненты мгновенной скорости — параллельные и перпендикулярные к оси — двух частиц в точке касания и приравняем эти компоненты нулю, чтобы удовлетворить условию качения. Тогда получим следующие три уравнения связей:
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{x} \cos \varphi+\dot{y} \sin \varphi=0, \\
-\dot{x} \sin \varphi+\dot{y} \cos \varphi+c \dot{\varphi}+b \dot{\psi}=0, \\
-\dot{x} \sin \varphi+\dot{y} \cos \varphi-c \dot{\varphi}+b \dot{\psi}^{\prime}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Последние два дают интегрируемую комбинацию
\[
2 c \dot{\varphi}+b\left(\dot{\psi}-\dot{\psi}^{\prime}\right)=0 .
\]
Если заданы начальные значения трех углов, то в рөзультате интегрирования имеем
\[
2 c \varphi=A-b\left(\psi-\psi^{\prime}\right),
\]
где $A$ — заданная постоянная. Можно затем взять ( $x, y$, $\left.\psi, \psi^{\prime}\right)$ в качестве обобщенных координат, имея при этом
Рис. 11. Два колеса, соедивенные осью, которые катятся по плоскости.
два неинтегрируемых уравнения связей:
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{x} \cos \varphi+\dot{y} \sin \varphi=0, \\
-\dot{x} \sin \varphi+\dot{y} \cos \varphi+\frac{2}{2} b\left(\dot{\psi}+\dot{\psi}^{\prime}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]
Система имеет $4-2=2$ степени свободы.
