Если для системы, движущейся согласно уравнениям (103.1), все корни уравнения (103.8) имеют отрицательные действительные части, то независимо от того, какими были начальные условия, система в конечном счете стремится остановиться в начальном положении. Пусть теперь, кроме сил, представленных

в уравнении (103.1), к системе приложена возмущающая сила $Q_{\rho}(t)$, рассматриваемая как заданная функция $t$; уравнения движения примут вид:
\[
a_{\rho \sigma} \ddot{q}^{\sigma}+c_{\rho \sigma} \dot{q}^{\sigma}+b_{\rho \sigma} q^{\sigma}=Q_{\rho} .
\]

Если приложенная сила является гармонической силой с круговой частотой $\omega$, то имеем
\[
Q_{\rho}=F_{\rho} e^{i \omega t} .
\]

После того как пройдет достаточно большое время, система будет стремиться (независимо от характера начальных условий) к вын ужде нным коле бания я, определяемым уравнениями
\[
q^{\rho}=\alpha^{\rho} e^{i \omega t} .
\]

Комплексные амплитуды $\alpha^{\rho}$ находятся цодстановкой в (104.1). Они должны удовлетворять уравнениям
\[
\left(-a_{\rho \sigma} \omega^{2}+i c_{\rho \sigma} \omega+b_{\rho \sigma}\right) \alpha^{\sigma}=F_{\rho} .
\]

Эта задача не совпадает с проблемой собственных значений; в данном случае вопрос идет просто о решении системы тинейных уравнений. Однако проблема собственных значений, представленная уравнением (103.8), тесно связана с решением системы уравнений (104.4), потому что амплитуды возрастают, когда возмущающая частота близка к собственной частоте или, выражаясь более точно, когда $i \omega$ близко к одному из корней уравнения (103.8). Тогда имеет место рез о н н с.

Такие задачи наиболее компактно решаются с помощью операционных методов. Мы покажем, как получить решение уравнений (104.1) для возмущающей силы общего вида, не обязательно имеющей форму (104.2). Выбираем начальные условия:
\[
q^{\rho}=\pi^{\rho}, \quad \dot{q}^{\rho}=v^{\rho} \quad \text { при } \quad t=0 .
\]

Пусть $I$ обозначает операцию ${ }^{1}$ ) интегрирования по
\[
\text { If }(t)=\int_{0}^{t} f(\tau) d \tau .
\]

Применим оператор I к выражению (104.1) и примем во внимание условие (104.5); получаем таким образом
\[
a_{\rho \sigma}\left(\dot{q}^{\sigma}-v^{\sigma}\right)+c_{\rho \sigma}\left(q^{\sigma}-\pi^{\sigma}\right)+b_{\rho \sigma} I q^{\sigma}=I Q_{\rho} .
\]

Повторяя эту операцию, получим
\[
A_{\rho \sigma} q^{\sigma}=B_{\rho}+I^{2} Q_{\rho},
\]

где
\[
\left.\begin{array}{rl}
A_{\rho \sigma} & =a_{\rho \sigma}+{ }_{\rho \sigma} I+b_{\rho \sigma} I^{2}, \\
B_{\rho} & =a_{\rho \sigma} \pi^{\sigma}+a_{\rho \sigma} I v^{\sigma}+c_{\rho \sigma} I \pi^{\sigma} .
\end{array}\right\}
\]

Уравнение (104.8) эквивалентно (104.1) и (104.5); если оно удовлетворяется, то удовлетворяются и последние; в этом можно убедиться, продифференцировав (104.8). Сущность операционного метода состоит в том, что с оператором $I$ обращаются так, как если бы это было число. Правильность результатов, полученных таким образом, проверяется после. Мы рассматриваем $A_{\rho \sigma}$ как числовую матрицу и определяем $D^{\rho \sigma}$ как алгебраическое дополнение элемента $A_{\rho \sigma}$ так, что
\[
D^{\rho \mu} A_{\rho \sigma}=\delta_{\sigma}^{\mu} D,
\]

где $D$ – детерминант вида
\[
D=\operatorname{det}\left(a_{\rho \sigma}+c_{\rho \sigma} I+b_{\rho \sigma} I^{2}\right) .
\]

Умножив (104.8) на $D^{\rho \mu}$ и разделив затем на $D$, получаем уравнение
\[
q^{\mu}=\frac{1}{D} \dot{D}^{\rho \mu}\left(B_{\rho}+I^{2} Q_{\rho}\right) .
\]

ные, зависящие от начальных данных, $L_{i}$ – постоянные, не зависящие от начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц $a_{\rho \sigma}, b_{\rho \sigma}, c_{\rho \sigma}$. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие формулы ${ }^{1}$ ):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{1}{1-\alpha I} 1 & =e^{\alpha t}, \\
\frac{I}{1-\alpha I} f(t) & =\int_{0}^{t} f(\tau) e^{\alpha(t-\tau)} d \tau,
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha$ – некоторая постоянная. Решение (104.12) принимает вид
\[
\begin{array}{r}
q^{\mu}=K_{1}^{\mu} e^{s_{1} t}+K_{2}^{\mu} e^{s_{2} t}+\ldots+K_{2 N}^{\mu} e^{s_{2 N} t}+ \\
+\int_{0}^{t}\left[L_{1}^{\rho \mu} e^{s_{1}(t-\tau)}+L_{2}^{\rho \mu} e^{s_{2}(t-\tau)}+\ldots\right. \\
\left.\cdots+L_{2 N}^{\rho \mu} e^{s_{2 N}(t-\tau)}\right] Q_{\rho}(\tau) d \tau .
\end{array}
\]

Приведенный выще результат является весьма общим и ограничен только неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть изменены добавлением дробей с более высокими стешенями в знаменателях.

Предположим теперь, что возмущающая сила-гармоническая вида (104.2). И предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые стремятся к нулю при $t \rightarrow \infty$, получаем из (104.18) следующеө выражение для вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
\[
q^{\mu}=\left[\frac{L_{1}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{1}}+\frac{L_{2}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{2}}+\ldots+\frac{L_{2 N}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{2 N}}\right] F_{\rho} e^{i \omega t} .
\]

ные, зависящие от начальных данных, $L_{i}$ – постоянные, не зависящие от начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц $a_{\rho \sigma}, b_{\rho \sigma}, c_{\rho \sigma}$. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие формулы ${ }^{1}$ ):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{1}{1-\alpha I} 1 & =e^{\alpha t}, \\
\frac{I}{1-\alpha I} f(t) & =\int_{0}^{t} f(\tau) e^{\alpha(t-\tau)} d \tau,
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha$ – некоторая постоянная. Решение (104.12) принимает вид
\[
\begin{array}{r}
q^{\mu}=K_{1}^{\mu} e^{s_{1} t}+K_{2}^{\mu} e^{s_{2} t}+\ldots+K_{2 N}^{\mu} e^{s_{2 N} t}+ \\
+\int_{0}^{t}\left[L_{1}^{\rho \mu} e^{s_{1}(t-\tau)}+L_{2}^{\rho \mu} e^{s_{2}(t-\tau)}+\ldots\right. \\
\left.\cdots+L_{2 N}^{\rho \mu} e^{s_{2 N}(t-\tau)}\right] Q_{\rho}(\tau) d \tau .
\end{array}
\]

Приведенный выше результат является весьма общим и ограничен только неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть изменены добавлением дробей с более высокими степенями в знаменателях.

Предположим теперь, что возмущающая сила-гармоническая вида (104.2). И предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые стремятся к нулю при $t \rightarrow \infty$, получаем из (104.18) следующе выражение для вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
\[
q^{\mu}=\left[\frac{L_{1}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{1}}+\frac{L_{2}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{2}}+\ldots+\frac{L_{2 N}^{\rho \mu}}{i \omega-s_{2 N}}\right] F_{\rho} e^{i \omega t} .
\]

Так как частота $\omega$ входит только явно, то формула ясно представляет явление резонанса ${ }^{1}$ ).