Рассмотрим две частицы с массами $m_{1}, m_{2}$, притягивающиеся или отталкивающиеся друг от друга с равными и противоположно направленными силами, действующими вдоль прямой, соединяющей частицы, и зависящими только от расстояния между этими массами. Рис. 13 иллюстрирует случай отталкивания.
Пусть $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}$ – радиусы-векторы частиц относительно некоторого неподвижного начала координат, и пусть $\boldsymbol{P}-$ сила, с которой первая частища действует на вторую. Тогда уравнения движения этих частиц имеют вид
\[
m_{1} \ddot{\boldsymbol{r}}_{1}=-\boldsymbol{P}, \quad m_{2} \ddot{\boldsymbol{r}}_{2}=\boldsymbol{P} .
\]
Радиус-вектор второй частицы относительно первой, очевидно, выражается так:
\[
r=r_{2}-r_{1},
\]
и из уравнений (51.1) получаем
\[
\ddot{M r}=\boldsymbol{P}, \quad M=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]
Таким образом, отказываясь от абсолютной системы отсчета и употребляя систему, движущуюся с ускорением и связанную с первой частицей, мы приводим проблему двух тел к задаче одного тела; при этом масса второй частицы будет фиктивно изменена ${ }^{1}$ ), но сила останется неизменной. Мы можем теперь приложить к уравнению (51.3) теорию центральных сил, развитую в § 37 . Заметим,
однако, что $F$ в уравнении (37.1) – сила, действующая на единичную массу; используя (37.1), мы должны положить $F=P / M$, где $|P|$ – абсолютная величина силы $\boldsymbol{P}$, и $\boldsymbol{P}$ – положительно для случая отталкивания и отрицательно для случая притяжения. Потенциал $V$ (37.3) выражается теперь так:
\[
V=-M^{-1} \int_{r_{0}}^{r} P d r .
\]
Можно также упростить проблему двух тел удачным подбором ньютоновой системы отсчета. Согласно (51.1), имеем уравнение
\[
\begin{array}{l}
\text {.. } \\
m_{1} \boldsymbol{r}_{1}+m_{2} \boldsymbol{r}_{2}=0, \\
\end{array}
\]
которое означает, что центр масс движется без ускорения; система, в которой он неігодвижен, является ньютоновой. Выбиря эту систему и принимая за начало координат центр масс, имеем уравнение
\[
m_{1} \boldsymbol{r}_{1}+m_{2} \boldsymbol{r}_{2}=0 .
\]
Тогда достаточно рассматривать в дальнейшем только одно из уравнений (51.1). Если скалярный закон отталкивания или притяжения имеет вид $P=P(r)$, то второе уравнение из (51.1) можно дереписать в виде
\[
\stackrel{. .}{m_{2} r_{2}}=\frac{\boldsymbol{r}_{2}}{r_{2}} P(r), \quad r=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}} r_{2} .
\]
Мы имеем опять задачу одного тела. Теперь масса остается неизменной, а закон действия силы изменяется. В случае, когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками, имеем $P=k / r^{2}$ и движение относительно центра масс определяется уравнением
\[
\stackrel{\ddot{m_{2}} \boldsymbol{r}_{2}}{ }=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2} \frac{k}{r_{2}^{3}} \boldsymbol{r}_{2} .
\]
Орбиты двух частиц, рассматриваемые в неподвижной системе отсчета, представляют собой переплетенные пространственные кривые.
Гораздо проще изучать движение в движущейся системе координат, связанной либо с одной частицей, как в случае (51.3), либо с центром масс – случай (51.7). В такой системе орбиты – плоские кривые.
Заметим, что введенное выше предположение, относящееся к взаимодействию между частицами, исключает из рассмотрения магнитное взаимодействие и запаздывающие электромагнитные явления.
