В проблеме Кеплера частица с массой $m$ притягивается к неподвижной точке $O$ (или отталкивается от нее) с силой, обратно пропорциональной квадрату ее расстояния $r$ до точки $O$. Пусть направленная к точке $O$ компонента этой силы равна $m \mu / r^{2}$ ( $\mu$ – положительно в случае притяжения и отрицательно при отталкивании). Вследствие симметрии орбита – плоская кривая, и уравнения движения, выраженные в полярных координатах $(\vartheta, r)$ в плоскости орбиты, имеют следующий вид (ср. (30.13)):
\[
\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{\mu}{r^{2}}, \quad r^{2} \dot{\vartheta}=h,
\]
где $h=$ const есть момент количества движения единичной массы (ср. (31.6)). Кинетическая и потенциальная энергии единичной массы равны
\[
T=\frac{1}{2}\left({ }^{\cdot 2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right), \quad V=-\frac{\mu}{r} .
\]
Мы имеем уравнение энергии
\[
T+V=E,
\]
где $E=$ const – полная энергия единичной массы.
Полагая $u=1 / r$ и исключая $t$ из уравнений (36.1), мы получим
\[
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u=\frac{\mu}{h^{2}},
\]
и, следовательно,
\[
u=\frac{\mu}{h^{2}}+C \cos \left(\vartheta-\vartheta_{0}\right),
\]
где $C, \vartheta_{0}$ – постоянные интегрирования. Постоянная $C$ определяется из уравнения (36.3) через $E$ и $h$; кроме того, соответствующим выбором линии $\vartheta=0$ можно сделать $\vartheta_{0}=0$. Тогда уравнение орбиты может быть записано в виде
\[
u=\frac{1}{r}=\frac{1}{l}(1+e \cos \vartheta),
\]
где
\[
l=\frac{h^{2}}{\mu}, \quad e=\sqrt{1+\frac{2 E h^{2}}{\mu^{2}}} .
\]
Орбита является коническим сечением с эксцентриситетом $e$. В зависимости от того, какое из соотношений имеет место, $E<0, E=0$ или $E>0$, эта кривая соответственно эллицс, парабола или гипербола. Центр силы совпадает с фокусом конического сечения.
В случае силы отталкивания $\mu<0, E>0$ и орбита может быть только типерболической; это – ветвь гиперболы, обращенная выпуклостью к точке $O$.
Эллиптическая орбита определяется большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$, или постоянными $E$ и $h$. Связь между этими константами выражается формулами
\[
\left.\begin{array}{rl}
a=-\frac{\mu}{2 E}, & e=\sqrt{1+\frac{2 E h^{2}}{\mu^{2}}}, \\
E=-\frac{\mu}{2 a}, & h=\sqrt{\mu a\left(1-e^{2}\right)}
\end{array}\right\}
\]
Абсолютное значение скорости $v$ на расстоянии $r$ от точки $O$ определяется выражением
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right),
\]
а период равен
\[
\tau=\frac{2 \pi a^{2}}{h} \sqrt{1-e^{2}}=2 \pi \sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}=\frac{\pi \mu}{\sqrt{-2 E^{3}}} .
\]
Мы не можем здесь входить в детали исследования эллиптических (планетных) орбит, наиболее интересных для небесной механики ${ }^{1}$ ).
