В последующем обсуждении катастроф слово ч а с т и а означает как материальную частицу с 4-импульсом,
\[
M_{\rho}=\frac{m \gamma v_{\rho}}{c}, \quad M_{4}=i m \gamma=\frac{i E}{c^{2}},
\]

так и фотон с 4 -импульсом,
\[
M_{\rho}=\frac{h v}{c^{2}} n_{\rho}, \quad M_{4}=\frac{i h v}{c^{2}} .
\]

Все эти компоненты (как в § 108) имеют размерность массы. Под словом к а т с т р ф а будем понимать удар или столкновение нескольких частиц, причем могут возникнуть новые частицы и число их после катастрофы может отличаться от исходного, или взрыв, в котором одна частица превращается в несколько.

Основное предположение состоит в законе сохранения 4-импульса, который может быть записан в виде
\[
\Sigma M_{r}^{\prime}=\Sigma M_{r},
\]

где суммирование в правой части ведется по всем частицам до катастрофы, а суммирование в левой части – по всем частицам после катастрофы; число частиц отнюдь не должно быть одним и тем же. Этот закон можно написать в эквивалентной форме:
\[
\begin{aligned}
\Sigma m^{\prime} \gamma^{\prime} v_{\rho}^{\prime}+\Sigma \frac{h v^{\prime}}{c} n_{\rho}^{\prime} & =\Sigma m \gamma v_{\rho}+\Sigma \frac{h v}{c} n_{\rho}, \\
\Sigma m^{\prime} \gamma^{\prime} c^{2}+\Sigma h v^{\prime} & =\Sigma m \gamma c^{2}+\Sigma h v,
\end{aligned}
\]

где (120.4) выражает сохранение релятивистского импульса, а (120.5) – энергии. Эти законы имеют силу для всех галилеевых систем отсчета.

Пока мы не переходим к содержанию § 123, нет необходимости предполагать, что, мировые линии участвующих в катастрофе частиц пересекаются при этом. Уравнение сохранения (120.3) введено безотносительно $к$ положениям частиц.
Целесообразно рассмотреть 4-мерное пространство $P H$, в котором координатами точки являются $M_{T}$ и которое имеет ту же геометрию, что и пространство – время, с той только разницей, что в $P H$ начало координат есть точка, которую физически можно выделить, в то время как в пространстве – времени пачало гоордишат тагим свойством не обладает. Имеем соотнопение
\[
M_{r} M_{r}=-m^{2}
\]

Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве $P H$, показывающая сохранение 4-импульса.
\[
M_{r} M_{r}=-m^{2}
\]
(для фотона $m=0$ ), и это позволяет метризовать пространство $P H$. С такой точки зрения уравнение (120.3) представляет очень простую картину в пространстве $P H$, аналогичную полигонам сил в статике. Единственный результирующий вектор двумя различными путями разлагается на два вектора, из которых один соответствует начальному состоянию, а другой – конечному. Рис. 54 показывает катастрофу, имеющую место для двух начальных и трех конечных частиц.

Считая начальное состояние заданным, имеем четыре уравнения (120.3) для определения конечного состояния. Могут быть заданы дополнительные условия, например, собственные массы конечных частиц. Однако даже при таких условиях существует только один случай, при котором определено конечное состояние, и это тот случай, когда получается только о д а частица. Ее 4-им-

пульс определяется равенстном
\[
M_{r}^{\prime}=\Sigma M_{r},
\]

а ее собственная масса определяется как
\[
m^{\prime 2}=-M_{r}^{\prime} M_{r}^{\prime} .
\]

Если имеются д в е частицы в конце рассматриваемого явления и известно, каковы их собственные массы, то имеем всего шесть уравнений, а именно, четыре уравнения (120.3) и два уравнения типа (120.8). Таким образом, конечное состояние имеет две степени свободы, т. е. положение такое же, как при столкновении двух упругих шаров в ньютоновой динамике, когда не задано направление прямой, соединяющей центры.

Если материальные частицы, возникающие в результате катастрофы, приходят в состояние покоя без изменения их собственных масс, и какие-либо фотоны, получающиеся при этой катастрофе, покидают рассматриваемую область, то остающаяся энергия будет равна полной релятивистской энергии $\Sigma m^{\prime} c^{2}$. Таким образом, потеря энергии будет равна
\[
Q=\Sigma h v+\Sigma m \gamma c^{2}-\Sigma m^{\prime} c^{2} .
\]

Если катастрофа представляет собой взрыв одной частицы, находящейся в состоянии покоя и имеющей собственную массу $m$, то
\[
Q=m c^{2}-\Sigma m^{\prime} \cdot c^{2} ;
\]
$Q$ – энергия связи взорвавшейся частицы (некоторые авторы предпочитают обозначение – $Q$ ).

Система отсчета центра инерции это – галилеева система, которая имеет полный 4 -импульс $\Sigma M_{r}$ для оси времени. Когда употребляют эту систему, то правая часть уравнения (120.4) обращается в нуль. Использование этой системы иногда упрощает вычисления, но, конечно, это не относится к вопросу определения результатов катастрофы.