В § 90 мы исследовали две различные точки зрения на преобразование. Примем здесь второй взгляд: рассмотрим евклидово пространство $E_{2 N+2}$, в котором имеются неподвижные оси координат, а преобразование $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ означает перемещение точек этого пространства в новые положения. Для того ттобы обойти трудный вошрос о топологии пространства QTPH, будем рассматривать только малые области пространства $Q T P H$, топология которых совцадает с топологией евклидова пространства.
С этой точки зрения естественная конгруэнция лучей или траекторий, удовлетворяющих каноническим уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}},
\]
является системой кривых в пространстве $E_{2 N+2}$. Каноническое преобразование изменяет эти кривые. Будем искать $\operatorname{K\Pi }(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, которое переводит естественную конгруэнцию в конгруэнцию параллельных прямых.
Пусть $G\left(x, y^{\prime}\right)$ – какое-нибудь решение дифференциального уравнения в частных производных,
\[
\Omega\left(x, \frac{\partial G}{\partial x}\right)=y_{N+1}^{\prime}
\]
рассматриваемого в области $(2 N+2)$ независимых переменных ( $\left.x, y^{\prime}\right)$; это решение таково, что
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} G}{\partial x_{r} \partial y_{s}^{\prime}}
eq 0 .
\]
Тогда, как и в случае (88.20c), уравнения
\[
y_{r}=\frac{\partial G}{\partial x_{r}}, \quad x_{r}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y_{r}^{\prime}}
\]
определяют $К П(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Для функции энергии; всегда рассматриваемой как инвариант в смысле тензорного исчисления, имеем
\[
\Omega^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\Omega(x, y)=\Omega\left(x, \frac{\partial G}{\partial x}\right)=y_{N+1}^{\prime} .
\]
Следовательно, новые уравнения естественной конгруэнции имеют вид
а интегрирование их дает
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{\rho}^{\prime}=a_{\rho}, \quad x_{N+1}^{\prime}=w, \\
y_{\rho}^{\prime}=b_{\rho}, \quad y_{N+1}^{\prime}=k,
\end{array}\right\}
\]
где $a_{\rho}, b_{\rho}$ и $k$ – постоянные в количестве $(2 N+1)$, значения которых зависят от рассматриваемого луча или траектории. Заметим, что специальный шараметр $w$ равен координате $x_{N+1}^{\prime}$, а тривиальная постоянная интегрирования опущена. Так как при произвольных значениях шостоянных система (91.7) представляет собой конгруэнцию прямых линий, параллельных оси $x_{N+1}^{\prime}$, то мы и пришли к преобразованию естественной конгруэнции в конгруэнцию параллельных прямых. Поверхность энергии $\Omega=0$ преобразуется при этом в плоскость $y_{N+1}^{\prime}$.
Рассматривая пространство QTPH вместо $Q T$, мы можем представить теорию § 77 в более общем виде. В самом деле, дифференциальное уравнение в частных производных (91.2) является уравнением Гамильтона Якоби в общей форме. Для того чтобы установить эту связь, перейдем к обозначениям $(q, t, p, H$ ), полагая, что функция энергии имеет форму
\[
\Omega(x, y)=y_{N+1}+\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}\right) .
\]
Тогда согласно (86.1) уравнение (91.2) примет вид
\[
\frac{\partial G}{\partial t}+H\left(q, t, \frac{\partial G}{\partial q}\right)=-H^{\prime},
\]
где $H$ написан как функциональный символ вместо $\omega$; мы хотим найти решение $G\left(q, t, p^{\prime}, H^{\prime}\right)$ такое, чтобы выполнялось условие
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} G}{\partial q_{\rho} \partial p_{\sigma}^{\prime}} & \frac{\partial^{2} G}{\partial q_{\rho} \partial H^{\prime}} \\
\frac{\partial^{2} G}{\partial t \partial p_{\sigma}^{\prime}} & \frac{\partial^{2} G}{\partial t \partial H^{\prime}}
\end{array}\right|
eq 0 .
\]
Можно считать (91.9) дифференциальным уравнением в частных производных с независимыми переменными $(q, t)$, а величины ( $\left.p^{\prime}, H^{\prime}\right)$ рассматривать как постоянные. Первый шаг в интегрировании состоит в том, чтобы положить
\[
G=-H^{\prime}+U(q, t) .
\]
Тогда функция $U$ должна удовлетворять уравнению
\[
\frac{\partial U}{\partial t}+H\left(q, t, \frac{\partial U}{\partial q}\right)=0,
\]
которое действительно является уравнением Гамильтона – Якоби (77.3). Для того чтобы выполнить преобразование (91.4), нужно найти полный интеграл этого уравнения.
