Рассмотрим вновь две частицы, взаимодействующие как в § 51. Пусть $r$ — расстояние между частицами, а $P(r)$ — скалярная величина силы взаимодействия, положительная при отталкивании и отрицательная в случае притяжения. Мы предполагаем, что при больших $r$ эта сила есть бесконечно малая величина, порядка не меньшего, чем $r^{-1-\varepsilon}(\varepsilon>0)$, так что при $r_{0}=\infty$ существует потенциал $V$ вида (51.4). При $t=-\infty$ частицы находятся бесконечно далеко друг от друга. Они сближаются и взаимодействуют. Нас интересует результат столкновения (т. е. состояние системы в $t=+\infty)$.

Если $r \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ пли $r$ остается ограниченным при $t \rightarrow \infty$, то будем говорить, что имеет место захват. Если $r \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$, имеет место рассеяние. Мы хотим определить по заданным начальным условиям исход некоторого столкновения, т. е. выяснить, получится ли в

результате захват или рассеяние, и определить в последнем случае, в каких направлениях рассеиваются частицы.

Целесообразно рассмотреть некоторые частныө случаи столкновений в трех системах отсчета:
$S_{M}$ — система, в которой неподвижен центр масс,
$S_{R}$ — относительная система, в которой неподвижна частица $m_{1}$,
$S_{L}$ — лабораторная система, в которой частица $m_{1}$, находится в покое при $t=-\infty$.
Оси всех трех систем параллельны между собой. Системы $S_{M}$ и $S_{L}$ — ньютоновы, система $S_{R}$ движется с ускорением; однако $S_{R}$ — ньютонова система при $t=-\infty$, а в случае рассеяния также при $t=+\infty$.

Мы будем обозначать начальные скорости через $v_{1}$, $v_{2}$ с индексами $M, R$ или $L$, указывающими на систему отсчета, например $\left(v_{1}\right)_{M},\left(v_{2}\right)_{R}$. Тогда
\[
\left.\begin{array}{c}
m_{1}\left(v_{1}\right)_{M}+m_{2}\left(v_{2}\right)_{M}=0, \quad\left(v_{1}\right)_{R}=\left(v_{1}\right)_{L}=0, \\
\left(v_{2}\right)_{R}=\left(v_{2}\right)_{L}=\left(v_{2}\right)_{M}-\left(v_{1}\right)_{M}=\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)\left(v_{2}\right)_{M},
\end{array}\right\}
\]

так что во всех трех системах $v_{2}$ имеет одно и то же направление.

В $S_{M}$ начальные условия доставляют пару бесконечных параллельных прямых [асимптоты начальных (при $t \rightarrow-\infty$ ) траекторий ]; в $S_{R}$ и $S_{L}$ мы имеем точку (положение $m_{1}$ ) и бесконечную прямую (асимптоту начальной траектории частицы $m_{2}$ ). Рис. 14 поясняет начальные данные столкновения независимо от того, какая система при этом выбрана. Здесь $\boldsymbol{k}$ — единичный вектор направления $v_{2}$. В системе $S_{R}$ или $S_{L}$ точка $O$ совпадает с начальным положением частицы $m_{1}$, а в $S_{M}$ начало координат — это некоторая точка асимптоты начальной траектории частицы $m_{1}$. Вектор $b$ проведен из точки $O$ до пересечения с направлением $\boldsymbol{b}$ перпендику-
лярно к нему. Это — вектор соударения и его абсолютное значение $b$ — параметр соударения или параметр столкновения; в действительности — это

кратчайнее расстояние между двумя асимитотами начальных траекторий, рассматриваемых в некоторой неускоренной системе. Относительная скорость, фигурирующая на рис. 14, равна
\[
w=v_{2}-v_{1}=w k ;
\]

она, конечно, одна и та же во всех системах.
Рассмотрев первоначально столкновение в системе $S_{R}$, мы перейдем сразу к результатам в системе $S_{M}$ и несколько более сложным путем к результатам в $S_{L}$.

В $S_{R}$ частица $m_{1}$ остается постоянно в точке $O$ (рис. 14) и частица $m_{2}$ описывает орбиту в плоскости (b, k). Согласно уравнениям (37.5), (51.3) и (51.4), эта орбита определяется следующими уравнениями:
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}=f(u), \quad f(u)=\frac{2(E-V)}{h^{2}}-u^{2},
\]

где
\[
u=\frac{1}{r}, \quad V(u)=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}} \int_{r}^{\infty} P(r) d r ;
\]
$(r, \vartheta)$ — полярные координаты в плоскости движения, а величины $E$ и $h$ выражаются через начальные данные в виде
\[
E=\frac{1}{2} w^{2}, \quad h=b w .
\]

Время определяется формулой
\[
t=\frac{1}{h} \int_{0}^{u} \frac{d u}{u^{2} \sqrt{f(u)}}
\]
(ср. (37.6)). Исход столкновения зависит исключительно от функции $f(u)$, т. е. от вида функции $V(u)$, масс частиц и двух постоянных $(b, w)$. Имеем
\[
f(0)=\frac{2 E}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}>0,
\]

так что график функции $f(u)$ начинается выше оси $u$ (рис. 15). Если график $f(u)$ вовсе не пересекает эту ось

(кривая $C_{1}$ ), то $f(u)>0$ для всех $u$ и орбита спирально навивается на точку $O$, давая в результате захват (рис. 16). Если кривая касается оси $u$ в точке $u=u_{0}$ (кривая $C_{2}$ на рис. 15), то имеется апсида с апсидальным расстоянием $r=r_{0}=\frac{1}{u_{0}}$. Эта апсида никогда не достигается, потому что $f(u)$ содержит множитель (u- $\left.u_{0}\right)^{2}$, и интеграл формулы (52.6) расходится. Результат столкновения — захват, как показано на рис. 17. Если, наконец, кривая пересекает ось $u$ (кривая $\Sigma$ на рис. 15), апсида появляется в конечный момент и мы имеем рассеяние, как показано на рис. 18.
Рис. 16. Захват: $r \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$.
Рис. 15. Графики функции $f(u)$ : захват в случае $C_{1}$ и $C_{2}$, рассеяние в случае $\Sigma$.

Предполагая теперь, что имеет место рассеяние (сила либо отталкивающая, либо притягивающая), перейдем к вычислению угла рассеяния $\chi_{R}$, показанного на рис. 18. На чертеже показаны также полярная ось $\vartheta=0$, две
Рис. 18. Рассеяние в релятивистской системе $S_{R}$ : угол рассеяния есть угол $\chi_{R}$.

асимптоты орбиты и апсида $A$, для которой имеет место условие $\frac{d u}{d \vartheta}=0$. Апсидальное расстояние равно $O A=r_{0}=\frac{1}{u_{0}}$ и апсидальный угол, как показано, равен
\[
\alpha=\int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{f(u)}} .
\]

Так как орбита симметрична относительно апсидальной прямой $O A$, то угол рассеяния $\chi_{R}$ будет
\[
\chi_{R}=\pi-2 \alpha=\pi-2 \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{f(u)}} .
\]

Если принять для знаков введенное выше условие, то для рассеяния отталкивания $0 \leqslant x \leqslant \pi$, а для рассеяния при притяжении имеем $-\infty<\chi_{R} \leqslant 0$. Для того чтобы вычислить $\chi$, надо оценить интеграл, верхний предел которого определяется решением уравнения
\[
f\left(u_{0}\right)=0, \quad f(u)=\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 V(u)}{b^{2} w^{2}}-u^{2} .
\]

Угол рассеяния $\chi$ является, таким образом, функцией цвух основных параметров $(b, w)$ :
\[
\chi=\chi(b, w)
\]

вид этой функции зависит от вида функции $V(u)$, полученной из силовой функции $P(r)$ по формуле (52.4).

Обозначим штрихами конечные скорости. Согласно (51.3) имеем в системе $S_{R}$ уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} \dot{r^{2}}\right)=P \cdot \dot{r}
\]

интегрирование дает следующее условие:
\[
\left(v_{2}^{\prime 2}\right)_{R}=\left(v_{2}^{2}\right)_{R} .
\]

Так как
\[
\left(v_{1}^{\prime}\right)_{R}=\left(v_{1}\right)_{R}=0,
\]

то имеем инвариантное уравнение
\[
w^{\prime}=w
\]

справедливое во всех системах отсчета; величина относительной скорости частиц не изменяется при столкновении. Если обозначить через $s_{R}$ единичный вектор направления рассеяния, то конечную скорость можно записать в виде
\[
\left(v_{2}^{\prime}\right)_{R}=w s_{R} .
\]

Переходим теперь к системам отсчета $S_{M}$ и $S_{L}$. Это ньютоновы системы и, следовательно, в них сохраняется импульс. Кроме того, относительная скорость инвариантна относительно изменения системы

отсчета. Отсюда имеем уравнения
\[
\left.\begin{array}{rl}
m_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{M}+m_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{M} & =0 \\
\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{M}-\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{M} & =\boldsymbol{w}^{\prime}=w \boldsymbol{s}_{R}, \\
m_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{L}+m_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{L} & =m_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)_{L}=m_{2} \boldsymbol{w}, \\
\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{L}-\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{L} & =\boldsymbol{w}^{\prime}=w \boldsymbol{s}_{R},
\end{array}\right\}
\]

которые дают конечные скорости в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{M} & =-m_{2} w \boldsymbol{s}_{R}, \\
\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{M} & =m_{1} w s_{R}, \\
\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)_{L} & =m_{2} \boldsymbol{w}-m_{2} w \boldsymbol{s}_{R}, \\
\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\right)_{L} & =m_{2} \boldsymbol{w}+m_{1} w \boldsymbol{s}_{R} .
\end{array}\right\}
\]

Поэтому единичные векторы $s_{M}$ и $s_{L}$ направлений рассеяния (т. е. соответственно направлений $\left(v_{2}^{\prime}\right)_{M}$ и $\left(v_{2}^{\prime}\right)_{L}$ ) определяются выражениями
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{s}_{M}=\boldsymbol{s}_{R}, \\
\boldsymbol{s}_{L}=\frac{m_{2} \boldsymbol{k}+m_{1} \boldsymbol{s}_{R}}{\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{1} m_{2} k \cdot s_{R}}} .
\end{array}
\]

Здесь $k$, как и выше, единичный вектор направления начальной относительной скорости $w$, которая имеет то же направление, что и $\left(v_{2}\right)_{L}$. Отметим, что направления рассеяния одни и те же в системах $S_{R}$ и $S_{M}$ и что направление рассеяния для $S_{L}$ выражено через его направление в системе $S_{R}$ формулой (52.19).
Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{s}_{M}=\boldsymbol{s}_{R}, \\
\boldsymbol{s}_{L}=\frac{m_{2} \boldsymbol{k}+m_{1} \boldsymbol{s}_{R}}{\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{1} m_{2} k \cdot s_{R}}} \cdot \\
\text { (52.19) } \\
\text { Здесь } \boldsymbol{k}, \text { как и выше, единич- } \\
\text { ный вектор направления началь- } \\
\text { ной относительной скорости } \boldsymbol{w}, \\
\text { которая имеет то же направле- } \\
\text { ние, что и }\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)_{L} \text {. Отметим, что } \\
\text { направления рассеяния одни и и } \\
\text { те же в системах } S_{R} \text { и } S_{M} \text { и } \\
\text { что направление рассеяния для } \\
S_{L} \text { выражено через его напра- } \\
\text { вление в системе } S_{R} \text { форму- }
\end{array}
\]

лой (52.19).
Построим теперь сферическое представление рассеяния (рис. 19), видоизменив рис. 14 для трехмерного случая. Вектор $w$ (начальная относительная скорость) задан, но мы рассматриваем все векторы удара $b$, перпендикулярные к нему. Ради удобства чертежа мы проводим $b$

в смещенной плоскости II и строим единичную сферу с центром в точке $O$ и со сферическими полярными координатами $(\theta, \varphi)$ на ней. Процесс рассеяния для данного $\boldsymbol{b}$ дает единичный вектор рассеяния $s$, с концом в виде точки на единичной сфере. На самом деле, рассеяние отображает плоскость II на единичную сферу. В системах $S_{R}$ и $S_{M}$ имеет место одно и то же отображение, в $S_{L}$ отличное от них.
В системе $S_{R}$ мы имеем в соответствии с рис. 18
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{s}_{R} & =\frac{\boldsymbol{b}}{b} \sin \chi_{R}+\boldsymbol{k} \cos \chi_{R}= \\
& =\boldsymbol{i} \cos \varphi_{0} \sin \chi_{R}+\boldsymbol{j} \sin \varphi_{0} \sin \chi_{R}+\boldsymbol{k} \cos \chi_{R},
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{0}$ — азимут вектора $\boldsymbol{b}$ относительно единичных векторов $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$, которые вместе с вектором $\boldsymbol{k}$ образуют ортогональный триәдр; таким образом, углы $\left(\Theta_{R}, \varphi_{R}\right)$ для вектора $s_{R}$ определяются следующими выражениями:
\[
\left.\begin{array}{c}
\sin \Theta_{R} \cos \varphi_{R}=\sin \chi_{R} \cos \varphi_{0}, \\
\sin \Theta_{R} \sin \varphi_{R}=\sin \chi_{R} \operatorname{sn} \varphi_{0}, \\
\cos \Theta_{k}=\cos \chi_{R} \\
\left(0 \leqslant \Theta_{R} \leqslant \pi, \quad 0 \leqslant \varphi_{R}<2 \pi\right) .
\end{array}\right\}
\]

Для рассеяния при отталкивании имеем равенства
\[
\Theta_{R}=\chi_{R}, \quad \varphi_{R}=\varphi_{0},
\]

а для рассеяния при притяжении (зависящего от величины угла $\chi_{R}$, который согласно теории может принимать любое отрицательное значение) имеем две следующие возможности:
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\varphi_{R} & =\varphi_{0}, & & \Theta_{R}=\chi_{R}, \\
\text { либо } \varphi_{R} & =\pi+\varphi_{0}, & & \Theta_{R}=-\chi_{R} .
\end{array}\right\}
\]

Получив, таким образом, углы ( $\Theta_{R}, \varphi_{R}$ ) для вектора $s_{R}$ (углы $\left(\Theta_{M}, \varphi_{M}\right)$ те же самые), найдем углы ( $\Theta_{L}, \varphi_{L}$ ) для $s_{L}$

из уравнепий (52.19). Имеем следующие выражения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sin \Theta_{L} \cos \varphi_{L} & =\beta \sin \Theta_{R} \cos \varphi_{R}, \\
\sin \Theta_{L} \sin \varphi_{L} & =\beta \sin \Theta_{R} \sin \varphi_{R}, \\
\cos \Theta_{L} & =\beta\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}-\cos \Theta_{R}\right), \\
\beta^{-1} & =\sqrt{1+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}}
\end{array}\right\}
\]

Поэтому
\[
\left.\begin{array}{rl}
\varphi_{L} & =\varphi_{R}, \\
\sin \Theta_{L} & =\beta \sin \Theta_{R}, \\
\operatorname{tg} \Theta_{L} & =\frac{\sin \Theta_{R}}{\frac{m_{2}}{m_{1}}+\cos \Theta_{R}}
\end{array}\right\}
\]

Последнее уравнение ограничивает угол $\Theta_{L}$ пределами $(0, \pi)$. Отметим еще следующую формулу:
\[
\begin{aligned}
\frac{\sin \Theta_{R} d \Theta_{R}}{\sin \Theta_{L} d \Theta_{L}}=\frac{\sin ^{3} \Theta_{R}}{\sin ^{3} \Theta_{L}} \frac{1}{1+\frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}}= \\
=\frac{\left(1+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right)^{3 / 2}}{1+\frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим столкновения с начальными элементами $(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{w}$ ) (см. рис. 19), с фиксированной относительной скоростью $w$ и с переменным вектором соударения $b$. Мы рассматриваем $b$ как радиус-вектор точки в плоскости П, тогда любой точке плоскости П соответствует один из двух результатов — захват или рассеяние. Определим полное поперечное сечение захвата как площадь $\Pi_{c}$ плоскости П,

соответствующую захвату; $\Pi_{c}$ может быть нулевой, конетной или бесконечно большой величиной.

Можно представить процесс рассеяния как отображение П (за исключением площади $\Pi_{c}$ ) на единичную сферу с помощью вектора рассеяния $s$, причем отображения совпадают для систем $S_{R}, S_{M}$, а отображение в $S_{L}$ отличается от них. Определим дифференциальное поперечное сечение рассеяния в телесном уәле $d \Omega$ как площадь $d \Pi$, которая отображается на әлемент $d \Omega$ единичной сферы. Обознатая их отношение через $\sigma$
\[
\sigma=\frac{d \Pi}{d \Omega},
\]

иолучим для дифференциального поперечного сечения равенство
\[
\sigma d \Omega=d \Pi .
\]

Назовем $\sigma$ плотностью; это действительно относительная плотность вероятности на единичной сфере, соответствующая постоянной плотности вероятности на П. Существуют, конечно, две плотности $\sigma_{M}=\sigma_{R}$ и $\sigma_{L}$.

Целесообразно различать два случая рассеяния: нулевое рассеяние $(\Theta=0)$ и рассеяние под конечными углами $(\Theta>0)$. Нулевое рассеяние может иметь место тогда и толыко тогда, когда с ростом расстояния взаимодействие прекращается, т. е. если $P(r)=0$ для $r>r_{1}$, так что если $b>r_{1}$, то частицы минуют одна другую, не изменив своего прямолинейного движения.

Определим полное поперечное сечение рассеяния как площадь $\Pi_{s}$ плоскости $\Pi$, соответствующую рассеянию под конечными углами; таким образом,
\[
\Pi_{s}=\int \sigma d \Omega,
\]

где несобственный интеграл берется по поверхности единичной сферы с исключенной точкой $\Theta=0$. Если $\mathrm{II}_{0}$ — площадь на плоскости $\Pi$, соответствующая нулевому рассеянию, то полная бесконечная площадь $\Pi=\Pi_{c}+\Pi_{s}+\Pi_{0}$ и, следовательно, по крайней мере одна из площадей $\Pi_{c}, \Pi_{s}, \Pi_{0}$ бесконечно велика.

Определение плотности $\sigma$ сводится к нахождению отношения отображения (52.27). Вектор рассеяния есть
\[
s=i \sin \Theta \cos \varphi+j \sin \Theta \sin \varphi+k \cos \Theta,
\]

он описывает телесный угол
\[
d \Omega=|\sin \Theta d \Theta d \varphi| .
\]

Отсюда
\[
\sigma=\frac{d \Pi}{d \Omega}=\frac{\left|b d p d \varphi_{0}\right|}{|\sin \Theta d \Theta d \varphi|}=\frac{b}{\sin \Theta}\left|\frac{d b}{d \Theta}\right|,
\]

так как $d \varphi_{0}=d \varphi_{R}=d \varphi_{L}$.
В системе $S_{R}$ нам известен угол $\chi_{R}$ как функция $(b, w$ ) (ср. (52.11)). Найдем $b$ как функцию $\left(\chi_{R}, w\right.$ ) и подставим затем $\chi_{R}=\Theta_{R}$ (52.22) для рассеяния при отталкивании и $\chi_{R}= \pm \Theta_{R}+2 \pi k$ (52.23) для рассеяния при притяжении. Таким образом, получим ${ }^{1}$ )
\[
b=b\left(\Theta_{R}, w\right) \text {. }
\]

Из выражения (52.32) находим значение плотности в виде
\[
\sigma_{M}=\sigma_{R}=\frac{b}{\sin \Theta_{R}}\left|\frac{d b}{d \Theta_{R}}\right| ;
\]

цравая часть, очевидно, есть функция $\Theta_{R}$ и $w$; здесь, как п при других дифференцированиях, $w$ считается постоянным.

Для лабораторной системы отсчета $S_{L}$ получаем из выражения (52.32)
\[
\sigma_{L}=\frac{b}{\sin \Theta_{L}}\left|\frac{d b}{d \Theta_{L}}\right|=\sigma_{R}\left|\frac{\sin \Theta_{R} d \Theta_{R}}{\sin \Theta_{L} d \Theta_{L}}\right|
\]

и согласно (52.26) это выражение можно переписать

следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\sigma_{L} & =\sigma_{R} \frac{\sin ^{3} \Theta_{R}}{\sin ^{3} \Theta_{L}} \frac{1}{\left|1+\frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right|}= \\
& =\sigma_{R} \frac{\left(1+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right)^{3 / 2}}{\left|1+\frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right|} .
\end{aligned}
\]

Мы хотели бы выразить $\sigma_{L}$ как явную функцию $\Theta_{L}$ и $w$, но не можем сделать этого. Наилучшая возможность считать формулы (52.25) и (52.36) выражениями $\Theta_{L}$ и $\sigma_{L}$ через параметр $\Theta_{R}$ для данного $w$. Можно, однако, написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение масс $m_{2} / m_{1}$ мало́, так как тогда $\Theta_{L}$ и $\sigma_{L}$ мало отличаются от $\Theta_{R}$ и $\sigma_{R}$.

Ввиду симметрии отображения относительно осп $k$ (см. рис. 19) часто удобно употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния в кольце $\Theta, \Theta+d \Theta$. Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо, и ее величина равна
\[
2 \pi \sigma \sin \Theta|d \Theta|=2 \pi b|d b| .
\]

Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:
a) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением взаимодействия при $r=D$, где $D$ — сумма радиусов шаров; мы принимаем $V(u)=0$ для $u<1 / D$ и $V(u) \rightarrow \infty$, когда $u \rightarrow 1 / D$ снизу. Решением уравнения (52.10) является $u_{0}=1 / D$ и согласно (52.9) угол рассеяния равен
\[
\chi_{R}=\pi-2 \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{b^{-2}-u^{2}}}=\pi-2 \arcsin \frac{b}{D} .
\]

Таким образом, $b=D \cos \frac{1}{2} \chi_{R}=D \cos \frac{1}{2} \Theta_{R}$ и согласно формуле (52.34) плотность определяется выражением
\[
\sigma_{M}=\sigma_{R}=\frac{1}{4} D^{2},
\]

которое не зависит от $\Theta_{R}$ и $w$. Для того чтобы получить $\sigma_{L}$, надо применить (52.25) и (52.36).
в) Кулоново рассеяние. Возьмем
\[
P(r)=\frac{\mu}{r^{2}}, \quad V(u)=k u, \quad k=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}} \mu
\]
( $k>0$ для отталкивания, $k<0$ для притяжения). Тогда согласно (52.10) имеем
\[
f(u)=\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 k u}{b^{2} w^{2}}-u^{2}=\left(u_{0}-u\right)\left(u+u_{1}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u_{0}=\frac{1}{b^{2} w^{2}}\left(-k+\sqrt{k^{2}+b^{2} w^{4}}\right) \\
u_{1}=\frac{1}{b^{2} w^{2}}\left(k+\sqrt{k^{2}+b^{2} w^{4}}\right) .
\end{array}
\]

Согласно (52.9) угол рассеяния выражается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\chi_{R}=\pi-2 \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{\left(u_{0}-u\right)\left(u+u_{1}\right)}}= \\
=\pi-4 \operatorname{arctg} \sqrt{\frac{u_{0}}{u_{1}}},
\end{array}
\]

так что для $k>0$ выполняется условие $0<\chi_{R}<\pi$ и для $k<0$ имеет место условие $-\pi<\chi_{R}<0$; таким образом, в обоих случаях $\Theta_{R}=\left|\chi_{k}\right|$. Из выражений (52.42) получаем
\[
\sqrt{\frac{u_{0}}{u_{1}}}=\frac{\sqrt{k^{2}+b^{2} w^{4}}-k}{b w^{2}} .
\]

Подставив в (52.43) это отношение и решив полученное уравнение, находим
\[
b w^{2}=k \operatorname{ctg} \frac{1}{2} \chi_{R}=|k| \operatorname{ctg} \frac{1}{2} \Theta_{R} .
\]

Согласно (52.34) плотность имеет следующее значение:
\[
\sigma_{M}=\sigma_{R}=\frac{b}{\sin \Theta_{R}}\left|\frac{d b}{d \Theta_{R}}\right|=\frac{k^{2}}{4 w^{4}} \operatorname{cosec}^{4} \frac{1}{2} \quad \Theta_{R} .(52.46)
\]

Это формула рассеяния Резерфорда; она справедлива для кулонова поля как в случае притяжения, так и в случае отталкивания. Для системы отсчета $S_{R}$ энергия другой частицы на бесконечности равна $\frac{1}{2} m_{2} w^{2}$.

Для лабораторной системы имеем согласно уравнениям (52.25) и (52.36)
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{tg} \Theta_{L}=\frac{\sin \Theta_{R}}{\frac{m_{2}}{m_{1}}+\cos \Theta_{R}}, \\
\sigma_{L}=\frac{k_{2}}{4 w^{4}} \operatorname{cosec}^{4} \frac{1}{2} \Theta_{R} \frac{\left(1+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right)^{3 / 2}}{\left|1+\frac{m_{2}}{m_{1}} \cos \Theta_{R}\right|} ; \\
\end{array}
\]

таким образом, $\Theta_{L}$ и $\sigma_{L}$ выражены через параметр $\Theta_{R}$. Для двух частиц одной и той же массы $m_{1}=m_{2}^{\prime}$ получаем уравнения
\[
\Theta_{L}=\frac{1}{2} \Theta_{R}, \cdot \sigma_{L}=\frac{k^{2}}{w_{4}} \cos \Theta_{L} \operatorname{cosec}^{4} \Theta_{L} .
\]

ү) Закон $1 / r^{3}$. Принимаем
\[
P(r)=\frac{\mu}{r^{3}}, \quad(u)=\frac{1}{2} k u^{2}, \quad k=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}} \mu
\]
( $k>0$ для отталкивания, $k<0$ для притяжения).

Согласно (52.10) имеем
\[
f(u)=\frac{1}{b^{2}}-u^{2}\left(\frac{k}{b^{2} w^{2}}+1\right) .
\]

Захват происходит, если $k<-b^{2} w^{2}$. Если $k$ превышает это значение, то имеет место рассеяние с углом
\[
\left.\begin{array}{c}
\chi_{R}=\pi-2 \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{f(u)}}=\pi\left(1-\frac{b w}{\sqrt{k+b^{2} w^{2}}}\right), \\
u_{0}=\frac{w}{\sqrt{k+b^{2} w^{2}}} .
\end{array}\right\}
\]

В случае отталкивания имеем $\Theta_{R}=\chi_{R}$ и
\[
\frac{k}{b^{2} w^{2}}=\frac{\pi^{2}}{\left(\pi-\Theta_{R}\right)^{2}}-1,
\]

откуда
\[
\sigma_{M}=\sigma_{R}=\frac{\pi^{2} k}{w^{2} \sin \Theta_{R}} \cdot \frac{\pi-\Theta_{R}}{\Theta_{R}^{2}\left(2 \pi-\Theta_{R}\right)^{2}} .
\]
б) Закон $1 / r^{5 *}$ ). Принимаем
\[
P(r)=\frac{\mu}{r^{5}}, \quad V(n)=\frac{1}{2} k n^{2}, \quad k=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}} \mu .
\]

Мы имеем согласно (52.10) выражение для функции
\[
\begin{aligned}
f(u)=\frac{1}{b^{2}}-\frac{k u^{4}}{2 b^{2} w^{2}}-u^{2} & \\
& =\frac{k}{2 b^{2} w^{2}}\left(u_{0}^{2}-u^{2}\right)\left(u^{2}+u_{1}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

rдe
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{0}^{2}=\frac{w}{k}\left(-b^{2} w+\sqrt{b^{4} w^{2}+2 k}\right) \\
u_{1}^{2}=\frac{w}{k}\left(b^{2} w+\sqrt{b^{4} w^{2}+2 k}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Угол рассеяния определяется эллиптическим интегралом
\[
\chi_{R}=\pi-\frac{4 b w}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{\sqrt{\left(u_{0}^{2}-u^{2}\right)\left(u^{2}+u_{1}^{2}\right)}} .
\]