Рассмотрим две динамические системы, $S$ п $S^{\prime }$, с каноническими переменными $(q,p)$ и $(q^{\prime },p^{\prime })$ и гамильтонианами $H(q,t,p)$ и. $H^{\prime }(q^{\prime },t,p^{\prime })$.

Они совершенно независимы, их уравнения движения можно написать в следующей форме (опуская при этом индексы):
$$\begin{array}{ll}S:& \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q};\\ S^{\prime }:& {\dot{q}}^{\prime }=\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p^{\prime }},{\dot{p}}^{\prime }=-\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q^{\prime }}\cdot \end{array}\}$$

Представим теперь, что $S$ и $S^{\prime }$ образуют как бы одну. систему $S+S^{\prime }$ с гамильтонианом
$$H(q,t,p)+H^{\prime }(q^{\prime },t,p^{\prime })+K(q,q^{\prime },t,p,p^{\prime }),$$

где $K$ есть гамильтониан взаимодействия. В качестве очень простого примера можно взять за $S$ и $S^{\prime }$ две свободные частицы; тогда $K$ — потенциал, возникающий вследствие их взаимного гравитационного притяжения. Уравнения движения системы $S+S^{\prime }$ имеют вид
$$S+S^{\prime }:\left\{\begin{array}{ll}\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial K}{\partial p},& \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}-\frac{\partial K}{\partial q},\\ {\ddot{q}}^{\prime }=\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p^{\prime }}+\frac{\partial K}{\partial p^{\prime }},& {\dot{p}}^{\prime }=-\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q^{\prime }}-\frac{\partial K}{\partial q^{\prime }}\cdot \end{array}\right\}$$

Действие гамильтониана взаимодействия $K$ возмущает исходные движения (106.1) систем $S$ и $S^{\prime }$. Если производные от $K$ малы, то величины $\dot{q},\dot{p},{\dot{q}}^{\prime },{\dot{p}}^{\prime }$ в данной точке пространства $QTP$ системы $S+S^{\prime }$ для возмущенного и невозмущенного движений мало отличаются друг от друга. Однако за очень долгое время в движении могут накопиться существенные изменения; в этом случае говорят о вековых изменениях.

Для системы, образованной Солнцем и планетами, гамильтониан можно написать в форме
$$H=T(S)+\mathrm{\Sigma }T(P)+\mathrm{\Sigma }V(SP)+\mathrm{\Sigma }V\left(P{P}^{\prime }\right),$$

где $T(S)$ — кинетическая энергия Солнца, $T(P)$ — кинетическая энергия планеты, $V(SP)$ — взаимная потен-

циальная энергия Солнца и нланеты, $V\left(P{P}^{\prime }\right)$ — взаимная потенциальная энергия двух планет. Для того чтобы нашисать гамильтониан возмущенного движения, обозначим через $S_0$ фиктивное солнце, закрепленное в начале координат, и определим $V^{\prime }(SP)$ следующим образом:
$$V^{\prime }(SP)=V(SP)-V\left(S_{0}P\right).$$

Тогда гамильтониан (106.4) может быть написан в виде
$$H=H(S)+\mathrm{\Sigma }H(P)+K,$$

где
$$H(S)=T(S),H(P)=T(P)+V\left(S_{0}P\right),$$

а через $K$ обозначены члены, не вопедшие в первые два гамильтониана; $K$ есть гамильтониан возмущения.

Невозмущенное движение известно, ибо $H(S)$ соответствует свободному движению частицы, а $H(P)$ — проблеме Кешлера. Практическое значение уравнения (106.6) основано на том факте, что $K$ мало́. Действительное движение солнечной системы есть возмущение такого состояния движения, в котором солнце покоится, а планеты описывают эллиптические орбиты (с Солнцем в фокусе).

Фундаментальная идея, лежащая в основе теории возмущений, состоит в следующем: начиная с момента $t=t_1$ и до $t=t_2$ движение полной системы (включающей возмущение) мало отличается от невозмущенного движения, при условии, что мы начинаем рассматривать два движения в одной и той же точке пространства QTP и берем интервал $t_2-t_1$ достаточно малым. Предположим, что невозмущенное движение известно; влияние возмущения в течение такого конечного интервала можно найти приближенными методами ${}^1$ ).

Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно поставить в следующем виде: пусть дано решение канонических уравнений

невозмущенного движения
$${\dot{q}}_{\rho }=\frac{\partial H_0}{\partial p_{\rho }},{\dot{p}}_{\rho }=-\frac{\partial H_0}{\partial q_{\rho }}.$$

Требуется установить метод определения движения, для которого гамильтониан имеет вид
$$H=H_0(q,t,\dot{p})+H_1(q,t,p),$$

где $H_1$ — возмущающий гамильтониан.
Пусть решение системы (106.8) есть
$$q_{\rho }=q_{\rho }(c,t),p_{\rho }=p_{\rho }(c,t),$$

где $c$ означает $2N$ произвольных постоянных $c_A$, индексы $A$ пробегают значения $1,\dots ,2N$; эти величины остаются постоянными вдоль каждой невозмутимой траектории. Разрешая (106.10) относительно $c_A$, имеем
$$c_A=c_A(q,t,p).$$

Эти $2N$ функций определяются формой функции $H_0(q,t,p)$.

Рассмотрим тешерь задачу в пространстве QTP (рис. 50) ${}^1$ ). ${\mathrm{\Sigma }}_{2N}$ поверхность $t=0$, $B$ — какая-нибудь точка, и ${\mathrm{\Gamma }}_0$ — невозмущенная траектория, проходящая через точку $B$ и пересекающая поверх-
Рис. 50, Возмущение, наблюдаемое в QTP. ${\mathrm{\Gamma }}_0$ — невозмущенные траектории, $\mathrm{\Gamma }$-возмущенная траектория.

ность ${\mathrm{\Sigma }}_{2N}$, например в точке $B^{\ast }$. Так как $c_A$ постоянны вдоль траектории ${\mathrm{\Gamma }}_0$, то в точке $B^{\ast }$ имеем
$$q_{\rho }^{\ast }=q_{\rho }(c,0),p_{\rho }^{\ast }=p_{\rho }(c,0).$$

Таким образом, $c_A$ образуют систему координат на ${\mathrm{\Sigma }}_{2N}$, $(c,t)$ образуют систему координат в $QTP$, вообще говоря, не канонических. Невозмущенные траектории ${\mathrm{\Gamma }}_0$ образуют систему проектирующих линий, посредством которых точка $B$ проектируется на точку $B^{\ast }$; соответствующие значения $c_A$ определяются выражениями (106.11).

Рассмотрим теперь возмущенную траекторию $\mathrm{\Gamma }$. В точке $B$ ее направление отличается от направления ${\mathrm{\Gamma }}_0$, и в то время, как изображающая точка $B$ пробегает $\mathrm{\Gamma }$, проекция этой точки $B^{\ast }$ движется по поверхности ${\mathrm{\Sigma }}_{2N}$. Поэтому метод, изложенный здесь, называется методом в ариаци п по извольных постоянных, так как $c_A$ постоянны для ${\mathrm{\Gamma }}_0$, но не для $\mathrm{\Gamma }$. Проблема возмущений сводится к изучению закона, по которому $c_A$ изменяются с $t$, когда изображающая точка пробегает $\mathrm{\Gamma }$. Если бы мы знали этот закон, то могли бы найти $\mathrm{\Gamma }$; ее уравнения в форме
$$c_A=f_A(t)$$

определяют кривую в пространстве $QTP$ в системе координат $(c,t)$.
На кривой $\mathrm{\Gamma }$ согласно (97.9) имеет место уравнение
$${\dot{c}}_A=\frac{\partial c_A}{\partial t}+[c_A,H_0+H_1]$$

где $c_A$ — функции (106.11); на ${\mathrm{\Gamma }}_0$ (вследствие того, что $c_A=$ const) эти уравнения превращаются в следующие:
$$0=\frac{\partial c_A}{\partial t}+[c_A,H_0].$$

Вычитая, получаем уравнение на $\mathrm{\Gamma }$ :
$${\dot{c}}_A=[c_A,H_1].$$

Вследствие (106.10) или эквивалентных уравнений (106.11) правая часть есть функция переменных ( $c,t$ ) и, следовательно, мы имеем здесь систему $2N$ уравнений для определения функции (106.13), а отсюда и возмущенного движения.

Уравнения (106.16) можно представить в другой форме. Согласно (106.10) можно выразить $H_1$ как функцию $(c,t)$ :
$$H_1(q,t;p)=K(c,t).$$

Тогда
$$\frac{\partial H_1}{\partial q_{\rho }}=\frac{\partial K}{\partial c_B}\frac{\partial c_B}{\partial q_{\rho }},\frac{\partial H_1}{\partial p_{\rho }}=\frac{\partial K}{\partial c_B}\frac{\partial c_B}{\partial p_{\rho }},$$
n
$$[c_A,H_1]=\frac{\partial c_A}{\partial q_{\rho }}\frac{\partial H_1}{\partial p_{\rho }}-\frac{\partial H_1}{\partial q_{\rho }}\frac{\partial c_A}{\partial p_{\rho }}=[c_A,c_B]\frac{\partial K}{\partial c_B}\text{. }$$

Таким образом, уравнения (106.16) можно написать в виде
$${\dot{c}}_A=[c_A,c_B]\frac{\partial {\kappa }^{\circ }}{\partial c_B}$$

До сих пор все рассуждения были точными. Заметим теперь, что если производные $H_1$ малы, или, что то же самос, малы шроизводные $K$, то правые части (106.16) и (106.20) также малы. Тогда проектируемая точка $B^{\ast }$ движется медленно по поверхности ${\mathrm{\Sigma }}_{2N}$ и ее движение можно аппроксимировать в конечном интервале $(t_1,t_2)$, подставляя в эти правые части значения $c_A$ в $t=t_1$ и интегрируя в квадратурах ${}^1$ ).