Рассмотрим две динамические системы, $S$ п $S^{\prime}$, с каноническими переменными $(q, p)$ и $\left(q^{\prime}, p^{\prime}\right)$ и гамильтонианами $H(q, t, p)$ и. $H^{\prime}\left(q^{\prime}, t, p^{\prime}\right)$.

Они совершенно независимы, их уравнения движения можно написать в следующей форме (опуская при этом индексы):
\[
\left.\begin{array}{ll}
S: & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} ; \\
S^{\prime}: & \dot{q}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p^{\prime}}, \quad \dot{p}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q^{\prime}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Представим теперь, что $S$ и $S^{\prime}$ образуют как бы одну. систему $S+S^{\prime}$ с гамильтонианом
\[
H(q, t, p)+H^{\prime}\left(q^{\prime}, t, p^{\prime}\right)+K\left(q, q^{\prime}, t, p, p^{\prime}\right),
\]

где $K$ есть гамильтониан взаимодействия. В качестве очень простого примера можно взять за $S$ и $S^{\prime}$ две свободные частицы; тогда $K$ — потенциал, возникающий вследствие их взаимного гравитационного притяжения. Уравнения движения системы $S+S^{\prime}$ имеют вид
\[
S+S^{\prime}:\left\{\begin{array}{ll}
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial K}{\partial p}, & \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}-\frac{\partial K}{\partial q}, \\
\ddot{q}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p^{\prime}}+\frac{\partial K}{\partial p^{\prime}}, & \dot{p}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q^{\prime}}-\frac{\partial K}{\partial q^{\prime}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Действие гамильтониана взаимодействия $K$ возмущает исходные движения (106.1) систем $S$ и $S^{\prime}$. Если производные от $K$ малы, то величины $\dot{q}, \dot{p}, \dot{q}^{\prime}, \dot{p}^{\prime}$ в данной точке пространства $Q T P$ системы $S+S^{\prime}$ для возмущенного и невозмущенного движений мало отличаются друг от друга. Однако за очень долгое время в движении могут накопиться существенные изменения; в этом случае говорят о вековых изменениях.

Для системы, образованной Солнцем и планетами, гамильтониан можно написать в форме
\[
H=T(S)+\Sigma T(P)+\Sigma V(S P)+\Sigma V\left(P P^{\prime}\right),
\]

где $T(S)$ — кинетическая энергия Солнца, $T(P)$ — кинетическая энергия планеты, $V(S P)$ — взаимная потен-

циальная энергия Солнца и нланеты, $V\left(P P^{\prime}\right)$ — взаимная потенциальная энергия двух планет. Для того чтобы нашисать гамильтониан возмущенного движения, обозначим через $S_{0}$ фиктивное солнце, закрепленное в начале координат, и определим $V^{\prime}(S P)$ следующим образом:
\[
V^{\prime}(S P)=V(S P)-V\left(S_{0} P\right) .
\]

Тогда гамильтониан (106.4) может быть написан в виде
\[
H=H(S)+\Sigma H(P)+K,
\]

где
\[
H(S)=T(S), \quad H(P)=T(P)+V\left(S_{0} P\right),
\]

а через $K$ обозначены члены, не вопедшие в первые два гамильтониана; $K$ есть гамильтониан возмущения.

Невозмущенное движение известно, ибо $H(S)$ соответствует свободному движению частицы, а $H(P)$ — проблеме Кешлера. Практическое значение уравнения (106.6) основано на том факте, что $K$ мало́. Действительное движение солнечной системы есть возмущение такого состояния движения, в котором солнце покоится, а планеты описывают эллиптические орбиты (с Солнцем в фокусе).

Фундаментальная идея, лежащая в основе теории возмущений, состоит в следующем: начиная с момента $t=t_{1}$ и до $t=t_{2}$ движение полной системы (включающей возмущение) мало отличается от невозмущенного движения, при условии, что мы начинаем рассматривать два движения в одной и той же точке пространства QTP и берем интервал $t_{2}-t_{1}$ достаточно малым. Предположим, что невозмущенное движение известно; влияние возмущения в течение такого конечного интервала можно найти приближенными методами ${ }^{1}$ ).

Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно поставить в следующем виде: пусть дано решение канонических уравнений

невозмущенного движения
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H_{0}}{\partial q_{\rho}} .
\]

Требуется установить метод определения движения, для которого гамильтониан имеет вид
\[
H=H_{0}(q, \quad t, \quad \dot{p})+H_{1}(q, \quad t, p),
\]

где $H_{1}$ — возмущающий гамильтониан.
Пусть решение системы (106.8) есть
\[
q_{\rho}=q_{\rho}(c, t), \quad p_{\rho}=p_{\rho}(c, t),
\]

где $c$ означает $2 N$ произвольных постоянных $c_{A}$, индексы $A$ пробегают значения $1, \ldots, 2 N$; эти величины остаются постоянными вдоль каждой невозмутимой траектории. Разрешая (106.10) относительно $c_{A}$, имеем
\[
c_{A}=c_{A}(q, t, p) .
\]

Эти $2 N$ функций определяются формой функции $H_{0}(q, t, p)$.

Рассмотрим тешерь задачу в пространстве QTP (рис. 50) ${ }^{1}$ ). $\Sigma_{2 N}$ поверхность $t=0$, $B$ — какая-нибудь точка, и $\Gamma_{0}$ — невозмущенная траектория, проходящая через точку $B$ и пересекающая поверх-
Рис. 50, Возмущение, наблюдаемое в QTP. $\Gamma_{0}$ — невозмущенные траектории, $\Gamma$-возмущенная траектория.

ность $\Sigma_{2 N}$, например в точке $B^{*}$. Так как $c_{A}$ постоянны вдоль траектории $\Gamma_{0}$, то в точке $B^{*}$ имеем
\[
q_{\rho}^{*}=q_{\rho}(c, 0), \quad p_{\rho}^{*}=p_{\rho}(c, 0) .
\]

Таким образом, $c_{A}$ образуют систему координат на $\Sigma_{2 N}$, $(c, t)$ образуют систему координат в $Q T P$, вообще говоря, не канонических. Невозмущенные траектории $\Gamma_{0}$ образуют систему проектирующих линий, посредством которых точка $B$ проектируется на точку $B^{*}$; соответствующие значения $c_{A}$ определяются выражениями (106.11).

Рассмотрим теперь возмущенную траекторию $\Gamma$. В точке $B$ ее направление отличается от направления $\Gamma_{0}$, и в то время, как изображающая точка $B$ пробегает $\Gamma$, проекция этой точки $B^{*}$ движется по поверхности $\Sigma_{2 N}$. Поэтому метод, изложенный здесь, называется методом в ариаци п по извольных постоянных, так как $c_{A}$ постоянны для $\Gamma_{0}$, но не для $\Gamma$. Проблема возмущений сводится к изучению закона, по которому $c_{A}$ изменяются с $t$, когда изображающая точка пробегает $\Gamma$. Если бы мы знали этот закон, то могли бы найти $\Gamma$; ее уравнения в форме
\[
c_{A}=f_{A}(t)
\]

определяют кривую в пространстве $Q T P$ в системе координат $(c, t)$.
На кривой $\Gamma$ согласно (97.9) имеет место уравнение
\[
\dot{c}_{A}=\frac{\partial c_{A}}{\partial t}+\left[c_{A}, H_{0}+H_{1}\right]
\]

где $c_{A}$ — функции (106.11); на $\Gamma_{0}$ (вследствие того, что $c_{A}=$ const) эти уравнения превращаются в следующие:
\[
0=\frac{\partial c_{A}}{\partial t}+\left[c_{A}, H_{0}\right] .
\]

Вычитая, получаем уравнение на $\Gamma$ :
\[
\dot{c}_{A}=\left[c_{A}, H_{1}\right] .
\]

Вследствие (106.10) или эквивалентных уравнений (106.11) правая часть есть функция переменных ( $c, t$ ) и, следовательно, мы имеем здесь систему $2 N$ уравнений для определения функции (106.13), а отсюда и возмущенного движения.

Уравнения (106.16) можно представить в другой форме. Согласно (106.10) можно выразить $H_{1}$ как функцию $(c, t)$ :
\[
H_{1}(q, t ; p)=K(c, t) .
\]

Тогда
\[
\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{\rho}}=\frac{\partial K}{\partial c_{B}} \frac{\partial c_{B}}{\partial q_{\rho}}, \quad \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{\rho}}=\frac{\partial K}{\partial c_{B}} \frac{\partial c_{B}}{\partial p_{\rho}},
\]
n
\[
\left[c_{A}, H_{1}\right]=\frac{\partial c_{A}}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{\rho}}-\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial c_{A}}{\partial p_{\rho}}=\left[c_{A}, c_{B}\right] \frac{\partial K}{\partial c_{B}} \text {. }
\]

Таким образом, уравнения (106.16) можно написать в виде
\[
\dot{c}_{A}=\left[c_{A}, c_{B}\right] \frac{\partial \kappa^{\circ}}{\partial c_{B}}
\]

До сих пор все рассуждения были точными. Заметим теперь, что если производные $H_{1}$ малы, или, что то же самос, малы шроизводные $K$, то правые части (106.16) и (106.20) также малы. Тогда проектируемая точка $B^{*}$ движется медленно по поверхности $\Sigma_{2 N}$ и ее движение можно аппроксимировать в конечном интервале $\left(t_{1}, t_{2}\right)$, подставляя в эти правые части значения $c_{A}$ в $t=t_{1}$ и интегрируя в квадратурах ${ }^{1}$ ).