Две $2 \times 2$ спиновые матрицы Паули и единичная квадратная матрица определяются следующим образом ${ }^{2}$ )
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\sigma}_{i}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\sigma}_{2}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{\sigma}_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad \mathbf{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
Заметим, что все матрицы $\sigma$-эрмитовы (то есть $\boldsymbol{\sigma}^{+}=\boldsymbol{\sigma}$ ) и все они унитарные ( $\boldsymbol{\sigma} \sigma^{+}=1$ ) и что след ${ }^{1}$ ) каждой равен нулю.
Легко непосредственно проверить следующую таблицу умножения
\[
\left.\begin{array}{c}
\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma_{3}^{2}=1, \\
\sigma_{2} \sigma_{3}=-\sigma_{3} \sigma_{2}=i \sigma_{1}, \\
\sigma_{3} \sigma_{1}=-\sigma_{1} \sigma_{3}=i \sigma_{2}, \\
\sigma_{1} \sigma_{2}=-\sigma_{2} \sigma_{1}=i \sigma_{3} .
\end{array}\right\}
\]
Сравнение с правилами (12.2) показывает, что три матрищы $\tau_{Q}=-i \sigma_{Q}(\varrho=1,2,3$ ) подчиняются правилам для кватернионов ${ }^{2}$ ).
Любая $2 \times 2$-матрица может быть выражена в виде линейной комбинации матриц $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ и 1 ; независимо от того, какие заданы значения для коәффициентов $a, b, c, d$, будем иметь
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)=\frac{1}{2}(b+c) & \sigma_{1}+\frac{1}{2} i(b-c) \sigma_{2}+ \\
+ & \frac{1}{2}(a-d) \sigma_{3}+\frac{1}{2}(a+d) 1
\end{aligned}
\]
Если след данной матрицы равен нулю ( $a+d=0$ ), последний член исчезает. Если, кроме того, матрица эрмитова ( $a, d$ – действительные числа, $c=\bar{b}$ ), то коэффициенты при $\sigma_{i}$ – действительные числа.
Матрицы Паули связаны с трехмерной геометрией тождеством
\[
\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
z & x-i y \\
x+i y & -z
\end{array}\right)=x \boldsymbol{\sigma}_{1}+y \boldsymbol{\sigma}_{2}-z \boldsymbol{\sigma}_{3} ;
\]
любая точка $(x, y, z)$ определяет, таким образом, матрицу,
и обратно, каждая эрмитова $2 \times 2$-матрица со следом, равным нулю, определяет точку $(x, y, z)$.
Рассмотрим теперь какую-нибудь $2 \times 2$-матрицу $U$. Предшоложим, что она унитарна $\left(\boldsymbol{U} U^{+}=U^{+} \boldsymbol{U}=1\right)$, но вообще не эрмитова $\left(U^{+}
eq U\right)$. Если $P$-матрица вида (14.4), то формула
\[
\boldsymbol{P}^{\prime}=\boldsymbol{U P} \boldsymbol{U}^{+}
\]
определяет $2 \times 2$-матрицу $P^{\prime}$. Легко показать, что $\boldsymbol{P}^{\prime}-$ эрмитова матрица со следом, равным нулю и поэтому формула (14.5) определяет преобразование пространства в себя $(x, y, z) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$. Так как $U U^{+}=1$, то $\operatorname{det} \boldsymbol{U} \cdot \operatorname{det} \boldsymbol{U}^{\prime}=1$ п отсюда $\operatorname{det} \boldsymbol{P}^{\prime}=\operatorname{det} \boldsymbol{P} ;$ поэтому выполняется условие
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]
так что единичная сфера преобразуется в себя. Кроме того, формула преобразования (14.5) іет $d \boldsymbol{P}^{\prime}=\boldsymbol{U} d \boldsymbol{P} \boldsymbol{U}^{+}$и отсюда, как и выше,
\[
d x^{2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime 2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2},
\]
и, таким образом, преобразование есть жесткое вращение вокруг начала координат ${ }^{1}$ ).
Пусть $\chi$ – действительное число; положим $c=\cos \frac{1}{2} \chi$, $s=\sin \frac{1}{2} \chi$. Тогда легко видеть, что три матрицы, $U_{1}(\chi)=c 1-i s \sigma_{1}, \quad U_{2}(\chi)=c 1-i s \sigma_{2}, \quad U_{3}(\chi)=c 1-i s \sigma_{3}$,
согласно (14.2) унитарные. Рассмотрим преобразование $\boldsymbol{P}^{\prime}=\boldsymbol{U}_{3}(\chi) \boldsymbol{P} \boldsymbol{U}_{3}^{+}(\chi)=\left(c \mathbf{1}-i s \boldsymbol{\sigma}_{3}\right)\left(x \boldsymbol{\sigma}_{1}+y \boldsymbol{\sigma}_{2}+z \boldsymbol{\sigma}_{3}\right)\left(c \mathbf{1}+i s \boldsymbol{\sigma}_{3}\right)$.
Проведя алгебраические вычисления с учетом (14.2), находим, что при этом преобразовании
$x^{\prime}=x \cos \chi-y \sin \chi, \quad y^{\prime}=x \sin \chi+y \cos \chi, \quad z^{\prime}=z$.
Это преобразование (относительно осей, неподвижных в пространстве) соответствует вращению на угол $\chi$ вокруг оси $z$. Если в (14.9) вместо $U_{3}(\chi)$ подставить $U_{1}(\chi)$ или $U_{2}(\chi)$, то вследствие симметрии выражений (14.2) и (14.8) получатся аналогичные вращения вокруг осей $x$ или $y$ соответственно.
