Когда частица с массой $m$, несущая электрический заряд $e$, движется в электромагнитном поле с электрическим вектором $\boldsymbol{E}$ и магнитным вектором $\boldsymbol{H}$, уравнение движения ${ }^{2}$ ) имеет вид
\[
m \boldsymbol{a}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{H}) .
\]

Это дает уравнение:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m v^{2}\right)=e v \cdot E,
\]

следовательно, если $\boldsymbol{E}$ имеет потенциал $\left.{ }^{3}\right)(\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} V)$, то интеграл энергии имеет вид
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+e V=\text { const. }
\]

Если $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ – константы (однородное электромагнитное поле), то уравнение (40.1) легко решается следующим образом. В случае, если $H=0$, траекторией будет парабола. Если $H
eq 0$, мы представим $\boldsymbol{v}$ в форме
\[
\boldsymbol{v}=v_{1} \boldsymbol{E}+v_{2} \boldsymbol{H}+v_{3} \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} .
\]

Подставляя это значение в уравнение (40.1) и записывая в компонентах, получаем стедующие соотношения:
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{1}=-A H \sin (k H t+B), \\
v_{2}=C-\frac{\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{H}}{H^{2}}\{k t-A H \sin (k H t+B)\}, \\
v_{3}=\frac{1}{H^{2}}-A \cos (k H t+B),
\end{array}\right\}
\]

где $k=-e / m$ и $A, B, C-$ постоянные интегрирования. Радиус-вектор частицы, представленный в форме аналогичной (40.4), определится тогда интегрированием уравнений (40.5).

Если и электрическое и магнитное поля оба постоянны и ортогональны, мы имеем $\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{H}=0$ и отсюда $\dot{v}_{2}=$ const. Направляя оси Oxyz по векторам $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{H}, \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$, так что $\dot{x}=v_{1} E, \dot{y}=v_{2} H, \dot{z}=v_{3} E H$, имеем затем
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x_{0}+A^{\prime} \cos (k H t+B), \\
y=y_{0}+C^{\prime} t \\
z=z_{0}+\frac{E t}{H}-A^{\prime} \sin (k H t+B),
\end{array}\right\}
\]

где $A^{\prime}=A E / k, C^{\prime}=C H$. Если $C=0$, то уравнения представляют движение по окружности в плоскости, перпендикулярной к $\boldsymbol{H}$ с угловой скоростью $k H$; при этом центр окружности движется по прямой линии, перпендикулярной к $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ со скоростью $E / H$.

Если $E=0$, то траектория – круговая спираль с осью, параллельной магнитному полю, описываемая частицей с азимутальной угловой скоростью $\mathrm{He} / \mathrm{m}$.