Следуя (79.13), предполагалось, что точкам $C^{*}$ и $C$ можно придавать произвольные смещения $\delta y_{r}^{*}$ и $\delta y_{r}$ в пространстве $P H$, однако существуют важные частные случаи, в которых этого нельзя делать. Рассмотрим в пространстве $Q T$ луч или траекторию $\Gamma$, соединяющую точки $B^{*}$ и $B$ (рис. 38). Предполагаем, что в области $M^{*} \in Q T$, содержащей точку $B^{*}$, функция $\Omega(x, y)$ не зависит от первой группы аргументов, т. е. от $x$, и что то же имеет место в области $M$, содержащей точку $B$. Напишем затем уравнение энергии
\[
\Omega^{*}\left(y^{*}\right)=0 \quad \text { в } \quad M^{*}, \quad \Omega(y)=0 \quad \text { в } \quad M .
\]

Согласно (79.9) все $y$ постоянны вдоль луча в области $M^{*}$ или в $M$; действительно, луч есть прямая линия в каждой из этих областей пространства $Q T$. Тогда из уравнений (80.1) ясно, что переменным $y_{r}^{*}$ и $y_{r}$ нельзя придавать произвольные вариации.
Решая уравнения (80.1), получаем
\[
y_{N+1}^{*}=-\omega^{*}\left(y_{1}^{*}, \ldots, y_{N}^{*}\right), \quad y_{N+1}=-\omega\left(y_{1}, \ldots, y_{N}\right)
\]

или, соответственно,
\[
H^{*}=H^{*}\left(p^{*}\right), \quad H=H(p) .
\]

В самом деле, мы рассматриваем систему, для которой
в начальной и конечной точках гамильтонова функция зависит только от импульсов, как это, например, имеет место в случае свободной частицы или системы свободных частиц, не

Рис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными начальными и конечными участками.
Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве $P H$. В начале мы имеем фиксированную точку $C^{*}$, а в конце — фиксированную точку $C$.

взаимодействующих друг с другом. Уравнение (79.13) дает затем следующее выражение:
\[
\delta W=\left(x_{\rho}-x_{N+1} \frac{\partial \omega}{\partial y_{\rho}}\right) \delta y_{\rho}-\left(x_{\rho}^{*}-x_{N+1}^{*} \frac{\partial \omega}{\partial y_{\rho}^{*}}\right) \delta y_{\rho}^{*},
\]

которое показывает, что $W$ зависит только от $2 N$ величин $y_{\rho}, y_{\rho}^{*}$. В других обозначениях уравнение (80.4) имеет вид
\[
\delta W=\left(q_{\rho}-t \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}\right) \delta p_{\rho}-\left(q_{\rho}^{*}-t^{*} \frac{\partial H^{*}}{\partial p_{\rho}^{*}}\right) \delta p_{\rho}^{*},
\]

т. е. $W$ — функция только импульсов $p_{\rho}, p_{\rho}^{*}$. При таких обстоятельствах $W$ должна рассматриваться как произвольная функция своих $2 N$ аргументов, и не требуется, чтобы она удовлетворяла какому бы то ни было дифференциальному уравнению в частных производных вида (79.15). Так как переменным $p_{\rho}, p_{\rho}^{*}$ можно придавать произвольные независимые вариации, то уравнение (80.5) дает — следующую систему:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial p_{\rho}^{*}}=-q_{\rho}^{*}+t \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}^{*}} \\
\frac{\partial W}{\partial p_{\rho}}=q_{\rho}-t \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} .
\end{array}\right\}
\]

Если считать функцио $W$ заданной, то эти уравнения определяют начальный и конечный луч или траекторию; импульсы $p_{\rho}$, $p_{\rho}^{*}$ имеют постоянные значения вследствие канонических уравнений (79.9). Когда мы рассматриваем задачу в пространстве $Q T$, эти начальный и конечный лучи являются прямыми линиями. Когда имеем задачу в $P H$, это просто две точки, каждая из которых лежит на некоторой $N$-мерной поверхности, заданной уравнениями (80.1) или (80.3) (рис. 39).

Рассмотрим теперь столкновение системы $n$ частид, взаимодействующих друг с другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов). Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или из обобщенной потенциальной функции и, следовательно, в этом случае столкновение описывается гамильтоновой динамикой. Обозначим через $m_{1}=m_{2}=m_{3}$ массу первой частицы, а через $q_{1}, q_{2}, q_{3}-$ еe прямоугольные декартовы координаты; через $m_{4}=m_{5}=m_{6}$ обозначим массу второй частицы, через $q_{4}, q_{5}, q_{6}$ — ее координаты и т. д. Тогда лагранжева функция имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{A=1}^{N} m_{A} \dot{q}_{A}^{2}-V(q, \dot{q}),
\]

где $N=3 n$. Мы предполагаем, чтро $V$ — функция положений и, может быть, скоростей частиц, обращающаяся в нуль, когда расстояние между частицами стремится к бесконечности.

Пусть вначале частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, а затем начинают сближаться, взаимодействуют и, наконец, снова удаляются на бесконечное расстояние. Чтобы избежать затруднения с пределами $t \rightarrow \pm \infty$, предположим, что взаимодействие полностью отсутствует при $t<t_{0}^{*}$ и $t>t_{0}$ и может начинаться и прекращаться так, постепенно как мы этого пожелаем. Это означает, что мы должны изменить функцию (80.7), а именно: написать $U(q, t, \dot{q})$ вместо $V(q, \dot{q})$, понимая при этом, что $V=0$ для всех- $t$, кроме $t_{0}^{*}<t<t_{0}$. Тогда имеем следующее уравнение энергии для начального и конечного положений:
\[
\left.\begin{array}{rlr}
H^{*}=\frac{1}{2} \sum_{A=1}^{N} m_{A}^{-1} p_{A}^{* 2} & \text { для } & t^{*}<t_{0}^{*} \\
H=\frac{1}{2} \sum_{A=1}^{N} m_{A}^{-1} p_{A}^{2} & \text { для } & t>t_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Мы можем теперь описать явление любого возможного столкновения в гамильтоновой динамике с помощыю однойединственной функции $W$, зависящей от следующих аргументов:
\[
p_{1}^{*}, \ldots, p_{N}^{*}, p_{1}, \ldots, p_{N} .
\]

Это означает, что если задана такая характеристическая функция, то начальная и конечная траектории определяются уравнениями (80.6), величины (80.9) имеют произвольные постоянные значения, а функции $H^{*}, H$ имеют вид (80.8).

Функция $W$ не является соверпенно произвольной, так как мы предполагаем, что имеет место аксиома однородности и изотропности ньютоновой динамики (§5). Если $p^{*(1)}, \ldots, p^{*(n)}-$ векторы импульсов (в обычном пространстве) индивидуальных частиц перед столкновением, а $\boldsymbol{p}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{p}^{(n)}-$ векторы импульсов после столк-

новения, то $6 n$ компонент этих векторов могут входить в $W$ только в форме, инвариантной относительно жестких перемещений твердого тела. Таким образом, если существуют только две частицы, то $W$ должна быть функцией девяти скалярных произведений или эквивалентной совокушности аргументов
\[
\left.\begin{array}{ccc}
p^{(1)} \cdot p^{(1)}, & p^{(1)} \cdot p^{(2)}, & p^{(2)} \cdot p^{(2)} \\
p^{*(1)} \cdot p^{*(1)}, \quad p^{*(1)} \cdot p^{*(2)}, & p^{*(2)} \cdot p^{*(2)} \\
p^{(1)} \cdot p^{*(1)}, & p^{(2)} \cdot p^{*(2)} \\
p^{(1)} \cdot p^{*(2)}+p^{(2)} \cdot p^{*(1)}
\end{array}\right\}
\]

последние два произведения представлены суммой ради симметрии.