Уравнение движения (30.1) для частицы дает следующее соотношение:
\[
m v_{2}-m v_{1}=\int_{i_{1}}^{t_{2}} \boldsymbol{F} d t,
\]

индексы 1 и 2 относятся соответственно к моментам времени $t_{1}$ и $t_{2}$. Переходя к пределу, когда $\boldsymbol{F}$ стремится к бесконечности, а интервал $t_{2}-t_{1}$ стремится к нулю, приходим к понятию ударного импульса $\hat{\boldsymbol{F}}$, который, будучи приложен к частице, вызывает конечное мгновенное изменение скорости, определяемое формулой
\[
m \Delta \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{F}} .
\]

В ходе математического исследования ударные импульсы можно рассматривать аналогично обычным силам. Можно говорить о моменте $\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{F}}$ ударного импульса $\hat{\boldsymbol{F}}$, приложенного в точке $\boldsymbol{r}$, и о работе ударного импульса, определенной следующим образом:
\[
\delta \hat{W}=\hat{\boldsymbol{F}} \cdot \delta \boldsymbol{r} .
\]

Мы должны, конечно, постоянно иметь в виду, что добавление слов «под действием ударного импульса» изменяет природу основного понятия силы; это выражается в том, что размерность ее изменяется, а именно, умножается на время.

Интегрируя уравнения движения в других формах по короткому промежутку времени и переходя к пределу так же, как это было сделано выше, мы получим законы для ударного импульса из законов обычной динамики. Таким образом, уравнение (44.2) приводит к теореме об изменении импульса для днижения под действием ударных импульсов, выраженной в следующем виде:
\[
\Delta \boldsymbol{M}=\hat{\boldsymbol{F}},
\]

где $\hat{\boldsymbol{F}}$ — сумма всех внешних ударных импульсов, а (44.4) приводит к уравнению
\[
m \Delta v=\hat{\boldsymbol{F}},
\]

где $v$ — скорость центра масс системы. Кроме того, согласно уравнениям (44.5) и (44.7) имеем соотношения
\[
\Delta \boldsymbol{h}=\hat{\boldsymbol{G}}, \quad \Delta \boldsymbol{h}^{*}=\hat{G}^{*} ;
\]

первое уравнение относится $к$ случаю какой-нибудь неподвижной точки, второе — к случаю центра масс; здесь $\hat{G}$ и $\hat{G}^{*}$ — моменты ударных импульсов.

Однако, что касается энергии, то переход от обычной динамики к динамике движений под действием ударного импульса нельзя осуществить таким простым путем. Согласно уравнению (45.3) приращение кинетической энергии системы равно
\[
\Delta T=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{W} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i=1}^{P} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \dot{\boldsymbol{r}}_{i} d t,
\]

где суммирование производится по $P$ частицам, которые образуют систему. Но когда мы переходим к пределу, устремляя силы к бесконечности, а интервал времени $t_{2}-t_{1}$ — к нулю, то получаем следующее уравнение:
\[
\Delta T=\sum_{i=1}^{P} \hat{\boldsymbol{F}}_{i} \cdot \overline{\boldsymbol{v}}_{i},
\]

где $\bar{v}_{i}$ — неизвестные средние значения скоростей. Хотя, может быть, и удобно говорить о работе импульса, однако мы не будем связывать ее с приращением энергии. Дело в том, что в динамике движения под действием ударного

импульса механическая энергия может превращаться в теплоту; этой форме энергии нет места в ньютоновой динамике ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим теперь уравнения Лагранжа (46.17) для голономной системы. Так как обобщенные скорости остаются конечными при переходе к пределу, то получаем уравнения
\[
\Delta \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}=\hat{Q}_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, N),
\]

где $\hat{Q}_{\rho}$ — обобщенный ударный импульс, который может быть вычислен, если использовать понятие работы ударного импульса, по формуле
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \hat{Q}_{\rho} \delta q_{\rho}=\delta \hat{W}=\sum_{i=1}^{p} \hat{\boldsymbol{F}}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} .
\]

Математические проблемы динамики движения под действием ударного импульса гораздо проще, чем проблемы обычной динамики, потому что вместо дифференциальных имеют место только алгебраические уравнения.