Первые два закона Ньютона объединены в уравнении
\[
\frac{d}{d t}(m v)=F,
\]

где $m$ – масса частицы, $v$ – ее абсолютная скорость и $\boldsymbol{F}$ – сила, действующая на частицу. Если $m$ – постоянна (как мы это и предполагаем), то уравнение (30.1) эквивалентно следующему:
\[
m a=\boldsymbol{F},
\]

где $a$ – абсолютное ускорение.
Пусть $x^{\rho}$ – криволинейные координаты в абсолютном пространстве (ср. с § 17, 18). Тогда, согласно выражению (18.3), уравнение движения (30.2) можно записать в контравариантной форме:
\[
m a^{\rho} \equiv m\left(\ddot{x}^{\rho}+\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu
u
\end{array}\right\} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{
u}\right)=F^{\rho},
\]

где $F^{\rho}$ – контравариантный вектор силы. Ковариантный вектор силы $F_{\rho}$ можно вычислить из инвариантной формулы
\[
\delta W=F_{\rho} \delta x^{\rho},
\]

где $\delta W$ – работа, произведенная силой при произвольном перемещении $\delta x^{\rho}$, и $F^{\rho}$ – получена из $F_{\rho}$ по формуле
\[
F^{\rho}=g^{\rho \mu} F_{\mu} .
\]

Согласно (18.5) ковариантная форма уравнения движения ${ }^{1}$ ) имеет вид
\[
m a_{\rho} \equiv \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial x^{\rho}}=F_{p},
\]

где $T$, кинетическая энергия частицы, определяется формулой
\[
T=\frac{1}{2} m g_{\rho \sigma} \dot{x}^{\rho} \dot{x}^{\sigma} .
\]

Если существует функция $\left.{ }^{2}\right) V(x, t)$ (ср. (29.9)), такая, что
\[
F_{\rho}=-\frac{\partial V}{\partial x^{\rho}},
\]

или если существует обобщенная потенциальная функция $V(x, \dot{x}, t)$, такая, что
\[
F_{\rho}=\frac{d}{d t} \frac{\partial V}{d \dot{x}^{\rho}}-\frac{\partial V}{\partial x^{\rho}},
\]

то уравнение движения (30.6) можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\dot{x}^{\rho}}-\frac{\partial L}{\partial x^{\rho}}=0
\]

где . $L-$ ларранжева функция
\[
L=T-V .
\]

В случае движения в плоскости наиболее удобными координатами являются обычно прямоугольные декартовы координаты $(x, y)$, в которых уравнения движения выглядят так:
\[
m \ddot{x}=X, \quad m \ddot{y}=Y,
\]

либо полярные координаты $(r, \vartheta)$, в которых әти уравнения принимают вид
\[
m\left(\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}\right)=R, \quad m \frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\vartheta}\right)=\theta,
\]

где $R$ и $\theta$ – радиальная и трансверсальная компоненты силы.

В трехмерном пространстве удобно использовать цилиндрические (18.8) или сферические полярные (18.10) координаты.