Первые два закона Ньютона объединены в уравнении
$$\frac{d}{dt}(mv)=F,$$

где $m$ — масса частицы, $v$ — ее абсолютная скорость и $\mathit{F}$ — сила, действующая на частицу. Если $m$ — постоянна (как мы это и предполагаем), то уравнение (30.1) эквивалентно следующему:
$$ma=\mathit{F},$$

где $a$ — абсолютное ускорение.
Пусть $x^{\rho }$ — криволинейные координаты в абсолютном пространстве (ср. с § 17, 18). Тогда, согласно выражению (18.3), уравнение движения (30.2) можно записать в контравариантной форме:
$$m{a}^{\rho }\equiv m({\ddot{x}}^{\rho }+\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \mu u\end{array}\right\}{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^u)=F^{\rho },$$

где $F^{\rho }$ — контравариантный вектор силы. Ковариантный вектор силы $F_{\rho }$ можно вычислить из инвариантной формулы
$$\delta W=F_{\rho }\delta x^{\rho },$$

где $\delta W$ — работа, произведенная силой при произвольном перемещении $\delta x^{\rho }$, и $F^{\rho }$ — получена из $F_{\rho }$ по формуле
$$F^{\rho }=g^{\rho \mu }{F}_{\mu }.$$

Согласно (18.5) ковариантная форма уравнения движения ${}^1$ ) имеет вид
$$m{a}_{\rho }\equiv \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{x}}^{\rho }}-\frac{\partial T}{\partial x^{\rho }}=F_p,$$

где $T$, кинетическая энергия частицы, определяется формулой
$$T=\frac{1}{2}m{g}_{\rho \sigma }{\dot{x}}^{\rho }{\dot{x}}^{\sigma }.$$

Если существует функция ${}^2)V(x,t)$ (ср. (29.9)), такая, что
$$F_{\rho }=-\frac{\partial V}{\partial x^{\rho }},$$

или если существует обобщенная потенциальная функция $V(x,\dot{x},t)$, такая, что
$$F_{\rho }=\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{d{\dot{x}}^{\rho }}-\frac{\partial V}{\partial x^{\rho }},$$

то уравнение движения (30.6) можно записать в виде
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{{\dot{x}}^{\rho }}-\frac{\partial L}{\partial x^{\rho }}=0$$

где . $L-$ ларранжева функция
$$L=T-V.$$

В случае движения в плоскости наиболее удобными координатами являются обычно прямоугольные декартовы координаты $(x,y)$, в которых уравнения движения выглядят так:
$$m\ddot{x}=X,m\ddot{y}=Y,$$

либо полярные координаты $(r,\vartheta )$, в которых әти уравнения принимают вид
$$m(\ddot{r}-r{\dot{\vartheta }}^2)=R,m\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\vartheta }\right)=\theta ,$$

где $R$ и $\theta$ — радиальная и трансверсальная компоненты силы.

В трехмерном пространстве удобно использовать цилиндрические (18.8) или сферические полярные (18.10) координаты.