Пусть $u, v$ – две функции ( $2 N+2$ ) независимых переменных $(x, y)$; скобки Пуассона $[u, v]$ определяются следующим образом:
\[
[u, v]=\frac{\partial u}{\partial x_{r}} \frac{\partial v}{\partial y_{r}}-\frac{\partial v}{\partial x_{r}} \frac{\partial u}{\partial y_{r}}=-[v, u] .
\]

Пусть $(x, y)$ – функции двух независимых переменных $u, v$; скобки Лагранжа $\{u, v\}$ определяются формулами
\[
\{u, v\}=\frac{\partial x_{r}}{\partial u} \frac{\partial y_{r}}{\partial v}-\frac{\partial x_{r}}{\partial v} \frac{\partial y_{r}}{\partial u}=-\{v, u\} .
\]

В § 97 мы будем употреблять эти же обозначения, подставляя $q_{\rho}, p_{\rho}$ вместо $x_{r}, y_{r}$; во всех следующих результатах можно немедленно перейти от обозначений $(x, y)$ к $\left(q_{\rho}, p_{\rho}\right)$.

Если $u, v, w$ – три произвольные функции переменных $(x, y)$, то
\[
[[u, v], w]-[[v, w], u]+[[w, u], v]=0 .
\]

Это тождество Пуассона – Якоби легко доказать непосредственным вычислением ${ }^{1}$ ).
Пользуясь матричными обозначениями (87.11), имеем

При произвольном преобразовании $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, в котором $u$ и $v$ рассматриваются как инварианты, имеем следующие формулы преобразования (ср. 87.6) и (87.10)):
\[
\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial u} \\
\frac{\partial y}{\partial u}
\end{array}\right)=\boldsymbol{J}\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial x^{\prime}}{\partial u} \\
\frac{\partial y^{\prime}}{\partial u}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial x} \\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{array}\right)=\widetilde{\boldsymbol{J}}^{-1}\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial x^{\prime}} \\
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}
\end{array}\right),
\]

и такие же уравнения, в которых $u$ заменено на $v$. Отсюда

уравнения (89.4) дают
\[
\left.\begin{array}{l}
{[u, v]=\left(\frac{\partial u}{\partial x^{\prime}}, \frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}\right) \boldsymbol{J}^{-1} \tilde{\Gamma}^{-1}\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial v}{\partial x^{\prime}} \\
\frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}
\end{array}\right),} \\
\{u, v\}=\left(\frac{\partial x^{\prime}}{\partial u}, \frac{\partial y^{\prime}}{\partial u}\right) \tilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{J}\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial x^{\prime}}{\partial v} \\
\frac{\partial y^{\prime}}{\partial v}
\end{array}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Если преобразование каноническое, то согласно (87.15) и (87.16) эти уравнения принимают следующий вид:
\[
\left[\begin{array}{ll}
a, & v
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
u, v
\end{array}\right]^{\prime},\{u, v\}=\{u, v\}^{\prime},
\]
m. е. скобки Пуассона и скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований.

Возвратимся к произвольному преобразованию $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Пусть $u_{A}$ представляют переменные $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N+1}^{\prime}, \quad y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{N+1}^{\prime} ;$ большие латинские индексы принимают значения $1,2, \ldots, 2 N+2$ с обычным условием суммирования. Мы имеем затем две кососимметричные $(2 N+2) \times(2 N+2)$ матрицы – матрицу Пуассона $\boldsymbol{P}$, элементами которой являются $P_{A B}=\left[u_{A}, u_{B}\right]$, и матрицу Лагранжа $L$ с элементами $L_{A B}=\left\{u_{A}, u_{B}\right\}$. Элемент $A C$ произведения $\boldsymbol{L P}$ равен тогда
\[
\begin{array}{l}
(L P)_{A C}=\left\{u_{A}, u_{B}\right\}\left[u_{B}, u_{C}\right]= \\
=\left(\frac{\partial x_{r}}{\partial u_{A}} \frac{\partial y_{r}}{\partial u_{B}}-\frac{\partial x_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial y_{r}}{\partial u_{A}}\right)\left(\frac{\partial u_{B}}{\partial x_{s}} \frac{\partial u_{C}}{\partial y_{s}}-\frac{\partial u_{C}}{\partial x_{s}} \frac{\partial u_{B}}{\partial y_{s}}\right) .
\end{array}
\]

Кроме того,
\[
\frac{\partial x_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial u_{B}}{\partial y_{s}}=\frac{\partial y_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial u_{B}}{\partial x_{s}}=0, \quad \frac{\partial x_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial u_{B}}{\partial x_{s}}=\frac{\partial y_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial u_{B}}{\partial y_{s}}=\delta_{s}^{r}
\]

и отсюда
\[
(L P)_{A C}=-\frac{\partial u_{C}}{\partial y_{r}} \frac{\partial y_{r}}{\partial u_{A}}-\frac{\partial u_{C}}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}}{\partial u_{A}}=-\delta_{A}^{C} .
\]

В самом деле, имеем
\[
\boldsymbol{L P}=-1, \quad \boldsymbol{L}=-\boldsymbol{P}^{-1}, \quad \boldsymbol{P}=-\boldsymbol{L}^{-1} .
\]

Это соотношение между матрицами Пуассона и Лагранжа справедливо для произвольного преобразования $(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Кроме того, для произвольных независимых вариаций имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\delta_{1} \boldsymbol{x}^{\prime}, \delta_{1} y^{\prime}\right) \boldsymbol{L}\left(\begin{array}{c}
\delta_{2} \boldsymbol{x}^{\prime} \\
\delta_{2} y^{\prime}
\end{array}\right)=\delta_{1} u_{A}\left\{u_{A}, u_{B}\right\} \delta_{2} u_{B}= \\
=\left(\frac{\partial x_{r}}{\partial u_{A}} \frac{\partial y_{r}}{\partial u_{B}}-\frac{\partial x_{r}}{\partial u_{B}} \frac{\partial y_{r}}{\partial u_{A}}\right) \delta_{1} u_{A} \delta_{2} u_{B}= \\
=\delta_{1} x_{r} \delta_{2} y_{r}-\delta_{2} x_{r} \delta_{1} y_{r}=\left(\delta_{1} \boldsymbol{x}, \delta_{1} \dot{y}\right) \boldsymbol{\Gamma}\left(\begin{array}{c}
\delta_{2} \boldsymbol{x} \\
\delta_{2} \boldsymbol{y}
\end{array}\right)= \\
=\left(\delta_{1} x^{\prime}, \delta_{1} y^{\prime}\right) \tilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{J}\left(\begin{array}{c}
\delta_{2} x^{\prime} \\
\delta_{2} y^{\prime}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому при произвольном преобразовании $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ матрица Лаграниа $L$ свлзана с матрицей Ягоби $\boldsymbol{J}$ соотношением
\[
\boldsymbol{L}=\widetilde{\boldsymbol{J}} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{J} .
\]

Для КП имеем тогда согласно (87.16)
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{\Gamma}, \quad \boldsymbol{P}=-\boldsymbol{L}^{-1}=-\boldsymbol{\Gamma}^{-1}=\boldsymbol{\Gamma} .
\]

В изложенной теории скобки Пуассона и Лагранжа не имели никакого отношения к функции энергии $\Omega$. Введем ее и рассмотрим луч или траекторию, удовлетворяющую каноническим уравнениям (86.6). Пусть $F(x, y)$ – произвольная функция. Тогда если изображающая точка движется вдоль луча или траектории, то справедливы следующие равенства:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d F^{\prime}}{d w}=\frac{\partial F}{\partial x_{r}} \frac{d x_{r}}{d w}+\frac{\partial F}{\partial y_{r}} \frac{d y_{r}}{d w}= \\
= \frac{\partial F}{\partial x_{r}} \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}-\frac{\partial F}{\partial y_{r}} \frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}=\left[F, \varsigma_{c}\right] .
\end{array}
\]

В частности, и сами канонические уравнения могут быть записаны через скобки Пуассона в виде
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\left[x_{r}, \Omega\right], \quad \frac{d y_{r}}{d w}=\left[y_{r}, \Omega\right] .
\]

Таким образом, скобки Пуассона внутренне связаны с движением динамической системы.

Из уравнения (89.15) и тождества Пуассона – Якоби (89.3) следует, тто для любых двух функций $f(x, y)$ и $F(x, y)$ имеет место соотношение
\[
\frac{d}{d w}[f, F]=[[f, F], \Omega]=-[[F, \Omega], f]-[[\Omega, f], F] .(89.17)
\]

Если $f$ и $F$ – постоянные движения, т. е.
\[
\frac{d f}{d w}=[f, \Omega]=0, \quad \frac{d F}{d w}=[F, \Omega]=0,
\]

то из (89.17) следует, что скобка Пуассона $[f, F]$ также является постоянной движения (теорема Пуассона) ${ }^{1}$ ).

Будем теперь употреблять обозначения ( $q, t, p, H$ ), связанные с обозначениями ( $x, y$ ) уравнениями (86.1); возьмем функцию энергии в виде (86.3), т. е.
\[
\Omega(x, y)=y_{N+1}+\omega\left(x_{1}, \ldots, \dot{x}_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}\right),
\]

или, что то же самое, в виде
\[
\Omega(x, y)=-H+\omega(q, t, p) .
\]

Канонические уравнения (86.6) принимают вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d q_{\rho}}{d w}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d w}=-\frac{\partial \omega}{\partial q_{\rho}}, \\
\frac{d t}{d w}=1, \quad-\frac{d H}{d w}=-\frac{\partial \omega}{\partial t} .
\end{array}\right\}
\]
Таким образом, $t=w+$ const, и мы имеем следующие уравнения:
\[
\frac{d q_{\rho}}{d t}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d t}=-\frac{\partial \omega}{\partial q_{\rho}}, \quad \frac{d H}{d t}=\frac{\partial \omega}{\partial t} .
\]

На поверхности энергии $\Omega=0$ можно подставить $H$ вместо $w$ и уравнения примут обычную форму
\[
\frac{d q_{\rho}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}, \quad \frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Для произвольной функции $F(q, t, p, H)$ имеем согласно (89.15) следующее уравнение:
\[
\begin{aligned}
\frac{d F}{d t} & =\frac{\partial F}{\partial x_{\rho}} \frac{\partial \Omega}{\partial y_{\rho}}+\frac{\partial F}{\partial x_{N+1}} \frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{\rho}} \frac{\partial F}{\partial y_{\rho}}- \\
& -\frac{\partial \Omega}{\partial x_{N+1}} \frac{\partial F}{\partial y_{N+1}}=\frac{\partial F}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial \omega}{\partial p_{\rho}}+\frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial \omega}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial F}{\partial p_{\rho}}+\frac{\partial \omega}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial H} .
\end{aligned}
\]

На поверхности энергии $\Omega=0$ и можно писать $H$ вместо $\omega$, получив таким образом
\[
\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial H}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial H}+[F, H]_{q p},
\]

где
\[
[F, H]_{q p}=\frac{\partial F}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} \frac{\partial F}{\partial p_{\rho}} .
\]

Если $F=F(q, t, p)$, это уравнение превращается в следующее:
\[
\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]_{q p},
\]

а если $F=H$, оно превращается в простое уравнение:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]