Начнем рассуждения сначала. До сих пор мы рассматривали $(N+1)$-мерное пространство $Q T$ с координатами $x_{r}$, выражающимися через $q_{\rho}$ и $t$ как
\[
x_{\rho}=q_{\rho}, \quad x_{N+1}=t
\]
Будем рассматривать вместо лагранжиана $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ или $L(q, t, \dot{q})$ в пространстве $Q T$ уравнение энергии $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\Omega(x, y)=0,
\]
связывающее координаты $x_{r}$ точки в пространстве $Q T$ с вектором $y_{r}$. С геомстрической точки зрения это уравнение можно рассматривать как сопоставляющее каждой точке $Q T$-пространства $N$-мерную поверхность в $(N+1)$ мерном пространстве, касательном $Q T$, причем $y_{r}$ – координаты в этом касательном пространстве.
В области, где частично перекрываютея две координатные системы $\left(x, x^{*}\right), y_{r}$ преобразуется как ковариантный вектор
\[
y_{r}^{*}=y_{s} \frac{\partial x_{s}}{\partial x_{r}^{*}} .
\]
Это дает условие
\[
y_{r}^{*} d x_{r}^{*}=y_{r} d x_{r},
\]
так что эта форма Пфаффа есть инвариант преобразования.
Для общей теории часто лучше рассматривать все координаты симметрично, поэтому мы оставляем уравнение (67.2) в этой общей форме. Но иногда удобно разрешить уравнение энергии относительно $y_{N+1}$, так что оно принимает вид ${ }^{2}$ )
\[
y_{N+1}+\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, x_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}\right)=0 \text {. }
\]
Определим $p_{\rho}$ и $H$ следующими уравнениями:
\[
y_{\rho}=p_{\rho}, y_{N+1}=-H
\]
(подчеркиваем наличие знака минус). Тогда уравнение (67.2) выражает соотношение между $2 N+2$ величинами $q_{\rho}, t, p_{\rho}, H$, а уравнение (67.5) выражает $H$ как функцию
остальных переменных,
\[
H=\omega\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, p_{1}, \ldots, p_{N}\right),
\]
или, кратко, можно записать ее в виде
\[
H=H(q, t, p) .
\]
Для последующих целей представляется соблазнительным связать найденную функцию с физическими понятиями, назвав $H$ гамильтонианом, а $y_{r}$ – вектором импульса – энереии; ради краткости можно называть $y_{r}$ просто импульсом, если нет опасности какой-либо путаницы. Так как для простейших систем гамильтониан равен энергии, то удобнее назвать (67.2) уравнением энергии, ибо оно эквивалентно уравнению (67.8) ${ }^{1}$ ).
