Теорию движущихся осей часто считают трудной и неясной из-за тех требований, которые она предъявляет к нашей способности наглядно представить тела в движении. Наилучший метод избежать возникающей таким образом неясности состоит в рассмотрении проблемы с помощью бесконечно малых смещений, разлагая действительные перемещения, которые происходят за время $d t$, на совокупность элементарных смещений, каждое из которых вызвано своей причиной. При этом порядок, в котором действуют эти причины, не важен, так как бесконечно малые перемещения коммутативны. Для краткости при дальнейпем выводе формул мы не рассматриваем эти причины бесконечно малых перемещений.

Пусть $(i, j, k)$ – ортогональный триәдр, вращающийся с угловой скоростью $\omega$. Пусть компоненты вектора $V$ по осям этого триэдра равны $\left(V_{1}, V_{2}, V_{3}\right.$ ), так что
\[
V=V_{1} i+V_{2} j+V_{3} k .
\]

Скорость изменения векторов $(i, j, k$ ) не зависит от того, закреплено или движется начало триэдра. Эти скорости определяются единственно только угловой скоростью $\omega$. Если начало неподвижно, эти скорости совпадают со скоростями точек с радиусами-векторами $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ и, следовательно, согласно (19.2) имеем
\[
\frac{d i}{d t}=\omega \times i, \quad \frac{d j}{d t}=\omega \times j, \quad \frac{d \boldsymbol{k}}{d t}=\omega \times k .
\]

Дифференцируя выражение (20.1), видим, что абсолютная скорость изменения вектора есть
\[
\frac{d \boldsymbol{V}}{d t}=\frac{\delta \boldsymbol{V}}{\delta t}+\omega \times \boldsymbol{V},
\]

где
\[
\frac{\delta \boldsymbol{V}}{\delta t}=\frac{d V_{1}}{d t} \boldsymbol{i}+\frac{d V_{2}}{d t} \boldsymbol{j}+\frac{d V_{3}}{d t} \boldsymbol{k}
\]

это относительная скорость изменения $V$.

Если, в частности, $V=\boldsymbol{\sigma}$, то имеем соотношение
\[
\frac{d \omega}{d t}=\frac{\delta \omega}{\delta t}
\]

и, таким образом, абсолютная и относительная скорости совпадают.
Для абсолютной второй производной имеем выражение
\[
\frac{d^{2} \boldsymbol{V}}{d t^{2}}=\frac{\delta^{2} \boldsymbol{V}}{\delta t^{2}}+2 \boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta \boldsymbol{V}}{\delta t}+\frac{\delta \boldsymbol{\omega}}{\delta t} \times \boldsymbol{V}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{V}) .
\]

Применим эти формулы к вычислению скорости и ускорения. Пусть $S_{0}$ абсолютно неподвижно, а $S$ – твердое тело, находящееся в некотором движении. С телом связан и ортогональный триэдр $(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ), начало $O$ которого имеет радиус-вектор $r_{0}(t)$ относительно некоторого начала неподвижной системы координат. Пусть $P$ – какая-либо движущаяся точка или частица, не обязательно принадлежащая телу $S$; ее абсолютный радиус-вектор $r$ (относительно начала в $S_{0}$ ) может быть представлен в виде
\[
r=\boldsymbol{r}_{0}+\boldsymbol{r}^{\prime},
\]

где
\[
\boldsymbol{r}^{\prime}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
\]

Этот последний вектор в действительности не что иное, как вектор $\overrightarrow{O P} ;(x, y, z)$ – координаты точки $P$ с точки зрения наблюдателя, связанного с телом $S$. Тело $S$ есть тогда движущаяся система отсчета. Согласно (20.3) абсолютная скорость точки $P$ равна
\[
\boldsymbol{v}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{d r_{0}}{d t}+\frac{d \boldsymbol{r}^{\prime}}{d t}=\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}^{\prime},
\]

где $v_{0}$-абсолютная скорость начала координат $O$, $v^{\prime}=\frac{\delta \boldsymbol{r}^{\prime}}{\delta t}$ – относительная скорость точки $P$, измеряемая наблюдателем, движущимся вместе с $S$; ее компоненты равны $(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}), \omega-$ угловая скорость тела $S$.

Если точка $P$ принадлежит $S$, то $v^{\prime}=0$, поэтому оставшаяся часть $\left(v_{0}+\omega \times r^{\prime}\right.$ ) называется переносной скоростью.

Дифференцирование выражения (20.9) дает абсолютное ускорение точки $P$ в виде
\[
a=a_{0}+a^{\prime}+a_{c}+a_{t},
\]

где
$a_{0}=\frac{d v_{0}}{d t}-$ абсолютное ускорение точки $O$,
$\boldsymbol{a}^{\prime}=\frac{\delta^{2} r^{\prime}}{\delta t^{2}}=\ddot{x} \boldsymbol{i}+\ddot{y} \boldsymbol{j}+\ddot{z} \boldsymbol{k}$ – относительное ускорение,
$\boldsymbol{a}_{c}=2 \omega \times \boldsymbol{v}^{\prime}-$ ускорение Кориолиса (или дополнительное),
\[
a_{t}=\dot{\omega} \times r^{\prime}+\omega \times\left(\omega \times r^{\prime}\right)=\dot{\omega} \times r^{\prime}+\omega\left(\omega \cdot r^{\prime}\right)-\omega^{2} r^{\prime} .
\]

Здесь $\dot{\omega}=d \omega / d t=\delta \omega / \delta t$.
Если $P$ принадлежит телу $S$, то $a^{\prime}=a_{c}=0$ и
\[
a=a_{0}+a_{t} .
\]

Эта часть выражения (20.10) называется переносным ускорснием.

Если угловая скорость постоянна $(\omega=$ const $)$, то имеет место соотношение
\[
\boldsymbol{a}_{t}=-\boldsymbol{R} \omega^{2},
\]

где $\boldsymbol{R}$ – вектор, проведенный в точку $P$ и перпендикулярный к оси $\omega$; его можно назвать центростремительным ускорением.