Для матриц будут употребляться следующие обозначения:
$\widetilde{\boldsymbol{M}}$ – транспозиция матрицы $\boldsymbol{M}$ (транспопированная матрица),
$M^{+}$- комплексная сопряженная матрицы $\boldsymbol{M}$,
1 – единичная матрида,
$\boldsymbol{M}$ – ортогональная матрица, если $\boldsymbol{M} \cdot \widetilde{M}=1$ (или, что то же, $\boldsymbol{M}^{-1}=\tilde{\boldsymbol{M}}$ ), и собственная или несобственная, в зависимости от того, чему равен $\operatorname{det} M:+1$ или -1 ,
$M$ – унитарная матрица, если $M M^{+}=1$ (или, что то же, $\boldsymbol{M}^{-1}=\boldsymbol{M}^{+}$,
$\boldsymbol{M}$ – симметричная матрица, если $\tilde{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M}$,
$\boldsymbol{M}$ – эрмитова матрица, если $\boldsymbol{M}^{+}=\boldsymbol{M}$,
$r$ – одностолбцовая матрица $(x, y, z)$.
Пусть $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ – ортогональный триэдр единичных векторов с началом в точке $O$ (ортонормальный триэдр). Пусть твердое тело имеет заданное вращение вокруг $O$. И пусть в результате вращения $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}$ ), которые мы считаем неподвижными относительно тела, переводятся в ортонормальный триәдр $(i, j, k)$. Тогда существует матрица скалярных произведений (или соответствующих направляющих косинусов):
\[
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{lll}
\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{i} & \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{j} & \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{k}
\end{array}\right) .
\]
Используя ортогональные проекции и вводя одностолбцовые матрицы векторов
\[
T=\left(\begin{array}{l}
I \\
J \\
K
\end{array}\right), \quad t=\left(\begin{array}{l}
i \\
j \\
k
\end{array}\right),
\]
можно выразить связь между двумя этими триэдрами в следующих формулах:
\[
\boldsymbol{t}=\tilde{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{T}, \quad \boldsymbol{T}=\boldsymbol{M} \boldsymbol{t} .
\]
Пусть орт $\boldsymbol{i}$ имеет направляющие косинусы $\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}\right.$ ) в системе $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}$ ). Аналогичные обозначения введем
и для ортов $\boldsymbol{j}$ и $\boldsymbol{k}$. Тогда матрицы $\boldsymbol{M}$ и $\widetilde{\boldsymbol{M}}$ имеют следующий вид:
\[
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc}
l_{1} & l_{2} & l_{3} \\
m_{1} & m_{2} & m_{3} \\
n_{1} & n_{2} & n_{3}
\end{array}\right), \quad \tilde{\boldsymbol{M}}=\left(\begin{array}{ccc}
l_{1} & m_{1} & n_{1} \\
l_{2} & m_{2} & n_{2} \\
l_{3} & m_{3} & n_{3}
\end{array}\right) .
\]
Из ортонормальности триәдров имеем шесть условий, первые два из которых таковы:
\[
l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{3}^{2}=1, \quad l_{1} m_{1}+l_{2} m_{2}+{ }_{3} m_{3}=0 .
\]
Из них следует, что $M$ – ортогональная матрица, так как
\[
\boldsymbol{M} \tilde{\boldsymbol{M}}=1=\tilde{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{M} .
\]
Отсюда $\operatorname{det} \boldsymbol{M}= \pm 1$. Если триэдр неподвижен, то $\boldsymbol{M}=1$, $\operatorname{det} \boldsymbol{M}=1$; поэтому, вследствие непрерывности, $\boldsymbol{M}$ – собственная матрица всех вращений. Несобственная ортогональная матрица соответствует вращению с отражением относительно начала координат. Мы ограничимся исследованием случая вращения, хотя некоторые из формул приложимы и к несобственным ортогональным преобразованиям.
До сих пор мы избегали употребления координат. Пусть теперь $O X Y Z$ – оси, неподвижные в пространстве, и пусть $(I, J, K)$ совпадают с этими осями, так что $I=(1,0,0)$, $\boldsymbol{J}=(0,1,0), \boldsymbol{K}=(0,0,1)$. Рассмотрим какую-нибудь точку тела. Пусть $(x, y, z)$ – ее координаты до вращения, $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ – после вращения. Тогда начальный и конечный радиусы-векторы точки равны соответственно
\[
\left.\begin{array}{rl}
\boldsymbol{r} & =x \boldsymbol{I}+y \boldsymbol{J}+z \boldsymbol{K} \\
\boldsymbol{r}^{\prime} & =x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}
\end{array}\right\}
\]
так что
\[
x^{\prime}=\boldsymbol{r}^{\prime} \cdot \boldsymbol{I}=l_{1} x+l_{2} y+l_{3} z \quad \text { п } \quad \text { т. д. }
\]
и преобразование координат можно выразить в.матричной форме следующим образом:
\[
\boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{M r}, \quad \boldsymbol{r}=\tilde{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{r}^{\prime} ;
\]
вторая формула следует из первой на основании (9.6). Отметим наиболее важный факт – линейность этого
преобразования. Отметим, кроме того, сравнивая формулы (9.3) и (9.9), формальную взаимную перестановочность $\boldsymbol{M}$ и $\tilde{\boldsymbol{M}}$.
Для данного вращения матрица $M$ зависит от выбора векторов $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ или, что то же, от выбора осей $O X Y Z$. Направляя вектор $K$ вдоль оси вращения, можно упростить матрицу $M$ и привести ее к виду
\[
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \chi & -\sin \chi & 0 \\
\sin \chi & \cos \chi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\]
где $\chi$ – угол вращения.
Рассматривая несколько последовательных вращений, мы, как правило, для каждого нового вращения выбираем новую неподвижную систему координат $O X Y Z$. Мы можем последовать схеме
\[
\boldsymbol{T} \underset{\boldsymbol{M}_{1}}{\longrightarrow} T_{1} \underset{\boldsymbol{M}_{2}}{\longrightarrow} T_{2} \underset{M_{3}}{\longrightarrow} \cdots \underset{M_{n-1}}{\longrightarrow} T_{n-1} \underset{M_{n}}{\longrightarrow} t,
\]
на которой показаны матрицы вида (9.1) или (9.4), соответствующие каждому переходу от одного триэдра к другому. Результирующее вращение будет представлено тогда формулой, аналогичной (9.3),
\[
\boldsymbol{t}=\tilde{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{T}, \quad \tilde{\boldsymbol{M}}=\tilde{\boldsymbol{M}}_{n} \tilde{\boldsymbol{M}}_{n-1} \ldots \tilde{\boldsymbol{M}}_{1} .
\]
Чтобы шолучить соответствующее преобразование координат, используя неподвижные оси, совпадающие с $\boldsymbol{T}$, мы должны, как и в случае перехода от (9.3) к (9.9), заменить M транспонированной матрицей; тогда получим
\[
r^{\prime}=M r, \quad M=M_{1} M_{2} \ldots M_{n} .
\]
Заметим, что матрицы написаны здесь в порядке возрастания номера, но на самом деле операции выполняются в обратном цорядке.
Разница между преобразованиями (9.12) и (9.13) (перемена местами $M$ и $\widetilde{M}$ ) может быть источником незначительной путаницы. Существует еще третья точка зрения на вращение. Мы можем считать точку неподвижной в пространстве и рассматривать ее координаты $(x, y, z)$ в старом триэдре $T$, а координаты $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ – в новом
триэдре $t$. Тогда преобразование имеет вид
\[
r^{\prime}=M r,
\]
что аналогично представлению (9.12).
Чтобы пояснить сказанное, подведем итог: собственную ортогональную $3 \times 3$ матрицу $\boldsymbol{M}$ можно представить следующими четырьмя согласующимися между собой способами:
(I) Таблица скалярных произведений (9.1) старой и повой системы векторов $(\boldsymbol{I}, J, K)$ и $(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k})$.
(II) Вращение ортонормального триэдра, $\boldsymbol{T} \rightarrow \boldsymbol{t} \mathrm{c}$ $t=\tilde{M} T$.
(III) Преобразование координат, при котором оси остаются неподвижными в пространстве, а точка перемещается вместе с телом,
\[
\boldsymbol{r} \rightarrow \boldsymbol{r}^{\prime} \quad \text { с } \quad \boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{M r} .
\]
(IV) Преобразование координат, при котором одна точка пространства остается неподвижной, а оси перемсщаотся вместе с телом, $\boldsymbol{r} \rightarrow \boldsymbol{r}^{\prime}$ с $\boldsymbol{r}^{\prime}=\tilde{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{r}$.
